人教版平面向量的数量积及平面向量的应用.doc
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平面向量的数量积及平面向量的应用
【知识梳理】1.平面向量的数量积
平面向量数量积的定义
已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,把数量|a||b|cosθ叫做a和b的数量积(或内积),记作a·b.即a·b=|a||b|cosθ,规定0·a=0.
2.向量数量积的运算律
(1)a·b=b·a;
(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb);
(3)(a+b)·c=a·c+b·c.[来源:
学科网ZXXK]
3.平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|=
|a|=
夹角
cosθ=
cosθ=
a⊥b的充
要条件
a·b=0
x1x2+y1y2=0
【问题思考】1.若a·b=a·c,则b=c吗?
为什么?
提示:
不一定.a=0时不成立,另外a≠0时,由数量积概念可知b与c不能确定.[来源:
学科网]
2.等式(a·b)c=a(b·c)成立吗?
为什么?
提示:
(a·b)c=a(b·c)不一定成立.(a·b)c是c方向上的向量,而a(b·c)是a方向上的向量,当a与c不共线时它们必不相等.[来源:
学§科§网Z§X§X§K]
3.|a·b|与|a|·|b|的大小之间有什么关系?
提示:
|a·b|≤|a|·|b|.因为a·b=|a||b|cosθ,所以|a·b|=|a||b||cosθ|≤|a|·|b|.
【基础自测】
1.若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则a与b的夹角为( )
A.30°B.60°C.120°D.150°
解析:
选C ∵(2a+b)·b=0,∴2a·b+b2=0,[来源:
Zxxk.Com]
∴2|a||b|cosθ+|b|2=0.又∵|a|=|b|,∴2cosθ+1=0,即cosθ=-.
又θ∈[0,π],∴θ=,即a与b的夹角为120°.
2.已知向量a=(1,-1),b=(2,x),若a·b=1,则x=( )
A.-1B.-C.D.1
解析:
选D ∵a=(1,-1),b=(2,x),a·b=1,∴2-x=1,即x=1.
3.设向量a,b满足|a|=|b|=1,a·b=-,则|a+2b|=( )
A.B.C.D.
解析:
选B |a+2b|====.
4.已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,则t=________.
解析:
因为向量a,b为单位向量,所以b2=1,又向量a,b的夹角为60°,所以a·b=,由b·c=0,得b·[ta+(1-t)b]=0,即ta·b+(1-t)b2=0,所以t+(1-t)=0,所以t=2.
5.已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则·=________.
解析:
选向量的基底为,,则=-,=+,那么·=·(-)=2.
【考点分析】
【考点一】平面向量数量积的概念及运算
[例1]
(1)已知点A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4),则向量在方向上的投影为( )
A.B.C.-D.-
(2)如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若·=,则·的值是________.
[解]
(1)∵A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),
∴=(2,1),=(5,5),因此cos〈,〉==,
∴向量在方向上的投影为||·cos〈,〉=×=.
(2)以A为坐标原点,AB,AD所在的直线分别为x,y轴建立直角坐标系,则B(,0),E(,1),D(0,2),C(,2).设F(x,2)(0≤x≤),由·=⇒x=⇒x=1,所以F(1,2),·=(,1)·(1-,2)=.
【互动探究】在本例
(2)中,若四边形ABCD是边长为1的正方形,点E是AB上的动点,求·的值及·的最大值.
解:
以A点为原点,AB边所在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示,则正方形各顶点坐标分别为A(0,0)、B(1,0)、C(1,1)、D(0,1),设E(a,0),0≤a≤1.
·=(a,-1)·(0,-1)=a×0+(-1)×(-1)=1.
·=(a,-1)·(1,0)=a+(-1)×0=a≤1,故·的最大值为1.
【方法规律】平面向量数量积的类型及求法
(1)平面向量数量积有两种计算公式:
一是夹角公式a·b=|a||b|cosθ;二是坐标公式a·b=x1x2+y1y2.
(2)求复杂的平面向量数量积的运算时,可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.
变式:
1.若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),满足条件(8a-b)·c=30,则x=________.
解析:
∵a=(1,1),b=(2,5),∴8a-b=(8,8)-(2,5)=(6,3).
又c=(3,x),∴(8a-b)·c=18+3x=30,∴x=4.
2.若e1,e2是夹角为的两个单位向量,a=e1-2e2,b=ke1+e2,若a·b=0,则实数k的值为________.
解析:
∵e1,e2的模为1,且其夹角θ=.
∴a·b=(e1-2e2)·(ke1+e2)=ke+e1·e2-2ke1·e2-2e
=k+(1-2k)cos-2=2k-.
又∵a·b=0,∴2k-=0,即k=.
【考点二】平面向量的夹角与模的问题
1.平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容,题型多为选择题、填空题,难度适中,属中档题.
2.高考对平面向量的夹角与模的考查常有以下几个命题角度:
(1)求两向量的夹角;
(2)两向量垂直的应用;
(3)已知数量积求模;
(4)知模求模.
[例2]
(1)若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a与b夹角的余弦值为________.
(2)已知向量与的夹角为120°,且||=3,||=2.若=λ+,且⊥,则实数λ的值为________.
(3)在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若·=1,则AB的长为________.
[解]
(1)由|a|=|a+2b|,两边平方,得|a|2=|a+2b|2=|a|2+4|b|2+4a·b,所以a·b=-|b|2.
又|a|=3|b|,所以cos〈a,b〉==-=-.
(2)∵⊥,∴·=0,
∴(λ+)·=0,即(λ+)·(-)=λ·-λ2+2-·=0.∵向量与的夹角为120°,||=3,||=2,
∴(λ-1)||||·cos120°-9λ+4=0,解得λ=.
(3)法一:
由题意可知,=+,=-+.因为·=1,所以(+)·=1,即2+·-2=1.
因为||=1,∠BAD=60°,所以||=,即AB的长为.
法二:
以A为原点,AB为x轴建立如图所示的直角坐标系,过D作DM⊥AB于点M.由AD=1,∠BAD=60°,可知AM=,DM=.[来源:
学科网ZXXK]
设|AB|=m(m>0),则B(m,0),C,D.
因为E是CD的中点,所以E.所以=,=.[来源:
学科网]
由·=1,可得+=1,即2m2-m=0,所以m=0(舍去)或.
故AB的长为.
[答案]
(1)-
(2)5 (3)
【方法规律】平面向量的夹角与模问题的常见类型及解题策略
(1)求两向量的夹角.cosθ=,要注意θ∈[0,π].
(2)两向量垂直的应用.两非零向量垂直的充要条件是:
a⊥b⇔a·b=0⇔|a-b|=|a+b|.
(3)求向量的模.利用数量积求解长度问题的处理方法有:
①a2=a·a=|a|2或|a|=.
②|a±b|==.
③若a=(x,y),则|a|=.
变式:
1.若a=(1,2),b=(1,-1),则2a+b与a-b的夹角等于( )
A.-B.C.D.
解析:
选C 2a+b=2(1,2)+(1,-1)=(3,3),
a-b=(1,2)-(1,-1)=(0,3),(2a+b)·(a-b)=9,|2a+b|=3,|a-b|=3.
设所求两向量夹角为α,则cosα==,又α∈[0,π],故α=.
2.已知a与b为两个不共线的单位向量,k为实数,若向量a+b与向量ka-b垂直,则k=________.
解析:
∵a与b是不共线的单位向量,∴|a|=|b|=1.
又ka-b与a+b垂直,∴(a+b)·(ka-b)=0,
即ka2+ka·b-a·b-b2=0.∴k-1+ka·b-a·b=0,
即k-1+kcosθ-cosθ=0(θ为a与b的夹角).∴(k-1)(1+cosθ)=0,
又a与b不共线,∴cosθ≠-1,∴k=1.
3.已知平面向量α,β,|α|=1,β=(2,0),α⊥(α-2β),则|2α+β|的值为________.
解析:
∵β=(2,0),∴|β|=2,又α⊥(α-2β),
∴α·(α-2β)=α2-2α·β=1-2α·β=0.∴α·β=.
∴(2α+β)2=4α2+β2+4α·β=4+4+2=10.∴|2α+β|=.
【考点三】平面向量数量积的应用
[例3] 已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),0<β<α<π.
(1)若|a-b|=,求证:
a⊥b;
(2)设c=(0,1),若a+b=c,求α,β的值.
[解]
(1)证明:
由题意得|a-b|2=2,即(a-b)2=a2-2a·b+b2=2.
又因为a2=b2=|a|2=|b|2=1,所以2-2a·b=2,即a·b=0,故a⊥b.
(2)因为a+b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(0,1),所以
由此得,cosα=cos(π-β),由0<β<π,得0<π-β<π,又0<α<π,故α=π-β.代入sinα+sinβ=1,得sinα=sinβ=,而α>β,所以α=,β=.
【方法规律】平面向量与三角函数的综合问题的命题形式与解题思路
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解.
(2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等.
变式:
设向量a=(4cosα,sinα),b=(sinβ,4cosβ),c=(cosβ,-4sinβ).
(1)若a与b-2c垂直,求tan(α+β)的值;
(2)若tanαtanβ=16,求证:
a∥b.
解:
(1)由a与b-2c垂直,得a·(b-2c)=a·b-2a·c=0,
即4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,tan(α+β)=2.
(2)证明:
由tanαtanβ=16,得sinαsinβ=16cosαcosβ,即
4cosα·4cosβ-sinαsinβ=0,所以a∥b.
小结】1个条件——两个非零向量垂直的充要条件
两个非零向量垂直的充要条件为:
a⊥b⇔a·b=0.
2个结论——与向量夹角有关的两个结论
(1)若a·b>0,则a与b的夹角为锐角或0°;
(2)若a·b<0,则a与b的夹角为钝角或180°.
4个注意点——向量运算中应注意的四个问题
(1)在求△ABC的三边所对应向量的夹角时,要注意是三角形的内角还是外角.如在等边△ABC中,与的夹角应为120°而不是60°.
(2)在平面向量数量积的运算中,不能从a·b=0推出a=0或b=0成立.实际上由a·b=0可推出以下四种结论:
①a=0,b=0;②a=0,
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- 人教版 平面 向量 数量 应用