初三数学第1讲 一元二次方程定义及解法直接开方配方法教案Word下载.docx
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,结合以前学过的知识,你能否求出它的根?
3、今天我们就学习一种新的方程——一元二次方程.
二、复习预习
复习提问
1.什么叫做一元一次方程?
定义:
只含有一个未知数,且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程。
一般形式:
ax+b=0(a、b为常数,a≠0)。
一元一次方程标准形式:
只含有一个未知数(即“元”),并且未知数的最高次数为1(即“次”)的整式方程叫做一元一次方程。
一元一次方程的标准形式(即所有一元一次方程经整理都能得到的形式)是ax+b=0(a,b为常数,x为未知数,且a≠0)。
其中a是未知数的系数,b是常数,x是未知数。
未知数一般设为x,y,z。
三、知识讲解
考点/易错点1
一元二次方程的定义
1.方程的分类:
通过上面的复习,引导学生答出:
学过的几类方程是
没学过的方程是
x2-70x+825=0,x(x+5)=150.
这类“两边都是关于未知数的整式的方程,叫做整式方程.”而在整式方程中,“只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2,这样的整式方程叫做一元二次方程.”
据此得出复习中学生未学过的方程是
(4)一元二次方程:
x2-70x+825=0,x(x+5)=150.
同时指导学生把学过的方程分为两大类:
特点总结:
(1)该方程为整式方程。
(2)该方程有且只含有一个未知数。
(3)该方程中未知数的最高次数是2。
考点/易错点2
一元二次方程的一般形式
注意引导学生考虑方程
x2-70x+825=0
和方程x(x+5)=150,即x2+5x=150,
可化为:
x2+5x-150=0.
从而引导学生认识到:
任何一个一元二次方程,经过整理都可以化为
ax2+bx+c=0(a≠0)
的形式.并称之为一元二次方程的一般形式.强调,其中ax2,bx,c分别称为二次项、一次项、常数项;
a,b分别称为二次项系数、一次项系数.要特别注意:
二次项系数a是不等于0的实数(a=0时,方程化为bx+c=0,不再是二次方程了);
b,c可为任意实数.
考点/易错点3
判断方法:
要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程。
若是,再对它进行整理。
如果能整理为(a≠0)的形式,则这个方程就为一元二次方程。
点拨:
①“a≠0”是一元二次方程的一般形式的重要组成部分,当a=0,b≠0时,她就成为一元一次方程了。
反之,如果明确了
是一元二次方程,就隐含了a≠0这个条件;
②任何一个一元二次方程,经过整理都能化成一般形式,在判断一个方程是不是一元二次方程时,首先化成一般形式,再判断;
③二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的,所以咋确定一元二次方程各项的系数时,应首先将方程化为一般形式;
④项的系数包括它前面的符号。
如:
x2+5x+3=0的一次项系数是5,而不是5x;
3x2+4x-1=0的常数项是-1而不是1;
⑤若一元二次方程化为一元二次方程的一般形式,并指出二次项系数、一次项系数和常数项。
考点/易错点4
直接开平方法
回忆数的开方一章中的知识,请学生回答下列问题,并说明解决问题的依据.
求下列各式中的x:
1.x2=225;
2.x2-169=0;
3.36x2=49;
4.4x2-25=0.
回答解题过程中的依据.
解题的依据是:
一个正数有两个平方根,这两个平方根互为相反数.
即一般地,如果一个数的平方等于a(a≥0),那么这样的数有两个,它们是互为相反数.
引入新课
我们已经学过了一些方程知识,那么上述方程属于什么方程呢?
新课
例1解方程x2-4=0.
解:
先移项,得x2=4.
即x1=2,x2=-2.
这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.
考点/易错点5
配方法解一元二次方程
我们研究方程x2+6x+7=0的解法:
将方程视为:
x2+2·
x·
3=-7, 即x2+2·
3+32=32-7,∴(x+3)2=2,
这种解一元二次方程的方法叫做配方法.这种方法的特点是:
先把方程的常数项移到方程的右边,再把左边配成一个完全平方式,如果右边是非负数,就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解.
1.移项:
把常数项移到方程的右边;
2.配方:
方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;
3.变形:
方程左边分解因式,右边合并同类项;
4.开方:
5.求解:
解一元一次方程;
6.定解:
写出原方程的解.
四、例题精析
【例题1】
【题干】下列方程是一元二次方程( )
A.x+2y=1B.2x(x-1)=2x2+3
C.3x+
=4D.x2-2=0
【答案】D
【解析】:
只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.
一元二次方程有三个特点:
(1)只含有一个未知数;
(2)未知数的最高次数是2;
(3)是整式方程.
解:
A、x+2y=1是二元一次方程,故错误;
B、方程去括号得:
2x2-2x=2x2+3,
整理得:
-2x=3,为一元一次方程,故错误;
C、3x+
=4是分式方程,故错误;
D、x2-2=0,符合一元二次方程的形式,正确.
故选D.
【例题2】
【题干】把关于x的方程
化为一元二次方程的一般式,并指出二次项,一次项的系数和常数项.
【答案】x2-x-4=0.
二次项系数为1,一次项系数为-1,常数项为-4.
【解析】先把分母去掉,即方程两边都乘2,再合并得方程的一般式,再根据一元二次方程的定义指出.
整理得,x2-2x+1+6x=5x+5,
所以x2-x-4=0.
【例题3】
【题干】一元二次方程a(x+1)2+b(x+1)+c=0化为一般式后为3x2+2x-1=0,试求a2+b2-c2的值的算术平方根.
【答案】a2+b2-c2=9+16=25,
a2+b2-c2的值的算术平方根是5.
【解析】分析:
把a(x+1)2+b(x+1)+c=0去括号、合并同类项,化作一元二次方程的一般形式,对照3x2+2x-1=0,求出a、b、c的值,再代入计算.
整理a(x+1)2+b(x+1)+c=0得ax2+(2a+b)x+(a+b+c)=0,
a2+b2-c2=9+16=25,
【例题4】
【题干】将代数式x2+4x-1化成(x+p)2+q的形式( )
A.(x-2)2+3B.(x+2)2-4C.(x+2)2-5D.(x+2)2+4
【答案】C
根据配方法,若二次项系数为1,则常数项是一次项系数的一半的平方,若二次项系数不为1,则可先提取二次项系数,将其化为1后再计算.
解答:
x2+4x-1=x2+4x+4-4-1=(x+2)2-5,
故选C.
点评:
本题考查了学生的应用能力,解题时要注意配方法的步骤,注意在变形的过程中不要改变式子的值.
【例题5】
【题干】方程x2﹣4=0的解是( )
A、x=2B、x=﹣2
C、x=±
2D、x=±
4
方程变形为x2=4,再把方程两边直接开方得到x=±
2.
x2=4,
∴x=±
本题考查了直接开平方法解一元二次方程:
先把方程变形为x2=a(a≥0),再把方程两边直接开方,然后利用二次根式的性质化简得到方程的解.
【例题6】
【题干】我们知道,配方法是一种非常重要的数学方法,它的运用非常广泛.学好配方法,对于中学生来说显得尤为重要.试用配方法解决下列问题吧!
(1)试证明:
不论x取何值,代数x2+4x+
的值总大于0.
(2)若
2x2-8x+14=k,求k的最小值.
(3)若x2-8x+12-k=0,求2x+k的最小值.
【答案】解:
(1)x2+4x+
=(x+2)2+
.
因此不论x取何值,代数式的值总大于0.
(2)k=2x2-8x+14=2(x-2)2+6,
所以当x=2时,k的最小值为6.
(3)∵x2-8x+12-k=0,
∴k=x2-8x+12.
∴2x+k=2x+x2-8x+12=x2-6x+12=(x-3)2+3.所以2x+k的最小值是3.
(1)通过配方后形式可以看出不论x取何值,代数式总大于0.
(2)通过配方可求出最小值.
(3)先求出2x+k的代数式,然后通过配方求出最小值.
本题考查二次函数式的最值以及用配方法求完全平方式的最值.
【例题7】
【题干】“数形结合”是一种很重要的数学思想,在我们学习过程中如果能够加以体会和利用,往往会给我们解题带来帮助,如右所示,图
(一)~图(四)
就反映了给一个方程配方的过程,
(1)请你根据图示顺序分别用方程表示出来:
图
(一):
=21;
图
(二):
图(三):
=21+22;
图(四):
=25.
(2)请你运用配方法直接填空:
x2-5x+()2=(x-)2
(3)请你运用配方法解方程:
2x2+5x+2=0.
(1)x(x+4);
x2+4x;
x2+4x+22;
(x+2)2;
(2)(
)2,
;
(3)方程两边除以2得,x2+
x=-1,
方程两边加上(
)2得,x2+
x+(
)2=-1+(
∴(x+
)2=
,
∴x+
=±
∴x1=-
,x2=-2.
【解析】
(1)根据图表即可得到答案;
(2)利用完全平方公式方程左边加一次项系数一半的平方即可;
(3)先把二次项系数变为1,得到x2+
x=-1,然后方程两边加一次项系数一半的平方,方程左边为完全平方公式(x+
,再利用直接开平方法解即可.
课程小结
1、一元二次方程的特点;
2、一元二次方程的判断方法:
3、直接开平方法
(1)本节主要学习了简单的一元二次方程的解法——直接开平方法.
(2)直接法适用于ax2+c=0(a>0,c<0)型的一元二次方程.
4、配方法的一般步骤:
(1)把常数项移到等号的右边;
(2)把二次项的系数化为1;
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.
选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.
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