第四章 第九节 微型专题 动力学连接体问题和临界问题文档格式.docx
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FT=400N.
【考点】整体法与隔离法在动力学中的应用
【题点】整体法与隔离法在动力学中的应用
当物体各部分加速度相同且不涉及求内力的情况,用整体法比较简单;
若涉及物体间相互作用力时必须用隔离法.整体法与隔离法在较为复杂的问题中常常需要有机地结合起来运用,这将会更快捷有效.
针对训练1 在水平地面上有两个彼此接触的物体A和B,它们的质量分别为m1和m2,与地面间的动摩擦因数均为μ,若用水平推力F作用于A物体,使A、B一起向前运动,如图2所示,求两物体间的相互作用力为多大?
图2
答案
解析 以A、B整体为研究对象,其受力如图甲所示,由牛顿第二定律可得
F-μ(m1+m2)g=(m1+m2)a
所以a=
-μg
再以B物体为研究对象,其受力如图乙所示,由牛顿第二定律可得FAB-μm2g=m2a
联立得两物体间的作用力FAB=
.
例2
如图3所示,装有支架的质量为M(包括支架的质量)的小车放在光滑水平地面上,支架上用细线拖着质量为m的小球,当小车在光滑水平地面上向左匀加速运动时,稳定后细线与竖直方向的夹角为θ.重力加速度为g,求小车所受牵引力的大小.
图3
答案 (M+m)gtanθ
解析 小球与小车相对静止,它们的加速度相同,小车的加速度方向水平向左,小球的加速度方向也水平向左,由牛顿第二定律可知,小球所受合力的方向水平向左,如图所示,小球所受合力的大小为mgtanθ.
由牛顿第二定律有mgtanθ=ma ①
对小车和小球组成的整体,运用牛顿第二定律有
F=(M+m)a②
联立①②解得:
F=(M+m)gtanθ.
二、动力学的临界问题
1.临界问题:
某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的转折状态.
2.关键词语:
在动力学问题中出现的“最大”“最小”“刚好”“恰能”等词语,一般都暗示了临界状态的出现,隐含了相应的临界条件.
3.临界问题的常见类型及临界条件:
(1)接触与脱离的临界条件:
两物体相接触(或脱离)的临界条件是弹力为零.
(2)相对静止或相对滑动的临界条件:
静摩擦力达到最大静摩擦力.
(3)绳子断裂与松弛的临界条件:
绳子所能承受的张力是有限的,绳子断与不断的临界条件是实际张力等于它所能承受的最大张力,绳子松弛的临界条件是绳上的张力为零.
(4)加速度最大与速度最大的临界条件:
当物体在变化的外力作用下运动时,其加速度和速度都会不断变化,当所受合力最大时,具有最大加速度;
当所受合力最小时,具有最小加速度.当出现加速度为零时,物体处于临界状态,对应的速度达到最大值或最小值.
4.解题关键:
正确分析物体运动情况,对临界状态进行判断与分析,其中处于临界状态时存在的独特的物理关系即临界条件.
例3
如图4所示,矩形盒内用两根细线固定一个质量为m=1.0kg的均匀小球,a线与水平方向成53°
角,b线水平.两根细线所能承受的最大拉力都是Fm=15N.(cos53°
=0.6,sin53°
=0.8,g取10m/s2)求:
图4
(1)当该系统沿竖直方向匀加速上升时,为保证细线不被拉断,加速度可取的最大值.
(2)当该系统沿水平方向向右匀加速运动时,为保证细线不被拉断,加速度可取的最大值.
答案
(1)2m/s2
(2)7.5m/s2
解析
(1)竖直向上匀加速运动时小球受力如图所示,当a线拉力为15N时,由牛顿第二定律得:
竖直方向有:
Fmsin53°
-mg=ma
水平方向有:
Fmcos53°
=Fb
解得Fb=9N,此时加速度有最大值a=2m/s2
(2)水平向右匀加速运动时,由牛顿第二定律得:
Fasin53°
=mg
Fb-Facos53°
=ma
解得Fa=12.5N
当Fb=15N时,加速度最大,有a=7.5m/s2
【考点】动力学中的临界、极值问题
【题点】弹力发生突变的临界、极值问题
例4
如图5所示,细线的一端固定在倾角为45°
的光滑楔形滑块A的顶端P处,细线的另一端拴一质量为m的小球(重力加速度为g).
图5
(1)当滑块至少以多大的加速度向右运动时,线对小球的拉力刚好等于零?
(2)当滑块至少以多大的加速度向左运动时,小球对滑块的压力等于零?
(3)当滑块以a′=2g的加速度向左运动时,线中拉力为多大?
答案
(1)g
(2)g (3)
mg
解析
(1)当FT=0时,小球受重力mg和斜面支持力FN作用,如图甲,则
FNcos45°
=mg,FNsin45°
解得a=g.故当向右运动的加速度为g时线上的拉力为0.
(2)假设滑块具有向左的加速度a1时,小球受重力mg、线的拉力FT1和斜面的支持力FN1作用,如图乙所示.由牛顿第二定律得
水平方向:
FT1cos45°
-FN1sin45°
=ma1,
竖直方向:
FT1sin45°
+FN1cos45°
-mg=0.
由上述两式解得FN1=
,FT1=
由此两式可以看出,当加速度a1增大时,球所受的支持力FN1减小,线的拉力FT1增大.
当a1=g时,FN1=0,此时小球虽与斜面接触但无压力,处于临界状态,这时绳的拉力为FT1=
mg.所以滑块至少以a1=g的加速度向左运动时小球对滑块的压力等于零.
(3)当滑块加速度大于g时,小球将“飘”离斜面而只受线的拉力和重力的作用,如图丙所示,此时细线与水平方向间的夹角α<
45°
.由牛顿第二定律得FT′cosα=ma′,FT′sinα=mg,解得FT′=m
=
mg.
1.(连接体问题)如图6所示,质量为2m的物块A与水平地面间的动摩擦因数为μ,质量为m的物块B与地面的摩擦不计,在大小为F的水平推力作用下,A、B一起向右做加速运动,则A和B之间的作用力大小为( )
图6
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 以A、B组成的整体为研究对象,由牛顿第二定律得,F-μ·
2mg=(2m+m)a,整体的加速度大小为a=
;
以B为研究对象,由牛顿第二定律得A对B的作用力大小为FAB=ma=
,即A、B间的作用力大小为
,选项D正确.
2.(连接体问题)如图7所示,光滑水平面上,水平恒力F作用在小车上,使小车和木块一起做匀加速直线运动,小车质量为M,木块质量为m,它们的共同加速度为a,木块与小车间的动摩擦因数为μ.,则在运动过程中( )
图7
A.木块受到的摩擦力大小一定为μmg
B.木块受到的合力大小为(M+m)a
C.小车受到的摩擦力大小为
D.小车受到的合力大小为(m+M)a
答案 C
解析 把小车和木块看成一个整体,根据牛顿第二定律得:
a=
.木块水平方向只受静摩擦力,根据牛顿第二定律得Ff=ma=
,故A错误;
对木块运用牛顿第二定律得F合=ma,故B错误;
小车受到的摩擦力与Ff大小相等,故C正确;
对小车运用牛顿第二定律得F车合=Ma,故D错误.
3.(动力学的临界问题)如图8所示,光滑水平面上放置质量分别为m、2m的A、B两个物体,A、B间的最大静摩擦力为μmg,现用水平拉力F拉B,使A、B以同一加速度运动,则拉力F的最大值为( )
图8
A.μmgB.2μmg
C.3μmgD.4μmg
解析 当A、B之间恰好不发生相对滑动时力F最大,此时,A物体所受的合力为μmg,由牛顿第二定律知aA=
=μg,对于A、B整体,加速度a=aA=μg.由牛顿第二定律得F=3ma=3μmg.
【题点】摩擦力发生突变的临界、极值问题
一、选择题
考点一 动力学的连接体问题
1.如图1所示,弹簧测力计外壳质量为m0,弹簧及挂钩的质量忽略不计,挂钩吊着一质量为m的重物.现用一竖直向上的外力F拉着弹簧测力计,使其向上做匀加速直线运动,则弹簧测力计的读数为( )
A.mgB.F C.
FD.
F
解析 将弹簧测力计及重物视为一个整体,设它们共同向上的加速度为a.由牛顿第二定律得
F-(m0+m)g=(m0+m)a①
弹簧测力计的示数等于它对重物的拉力,设此力为FT.
则对重物由牛顿第二定律得FT-mg=ma②
联立①②解得FT=
F,C正确.
2.如图2所示,放在光滑水平面上的物体A和B,质量分别为2m和m,第一次水平恒力F1作用在A上,第二次水平恒力F2作用在B上.已知两次水平恒力作用时,A、B间的作用力大小相等.则( )
A.F1<
F2B.F1=F2 C.F1>
F2D.F1>
2F2
解析 设A、B间作用力大小为FN,则水平恒力作用在A上时,隔离B受力分析有:
FN=maB.
水平恒力作用在B上时,隔离A受力分析有:
FN=2maA.
F1=(2m+m)aB,F2=(2m+m)aA,解得F1=3FN,F2=
FN,所以F1=2F2,即F1>
F2.
3.如图3所示,在光滑的水平桌面上有一物体A,通过绳子与物体B相连,假设绳子的质量以及绳子与定滑轮之间的摩擦力都可以忽略不计,绳子不可伸长.如果mB=3mA,则绳子对物体A的拉力大小为( )
A.mBgB.
mAgC.3mAgD.
mBg
答案 B
解析 对A、B整体进行受力分析,根据牛顿第二定律可得mBg=(mA+mB)a,对物体A,设绳的拉力为F,由牛顿第二定律得,F=mAa,解得F=
mAg,B正确.
4.如图4所示,质量为M、中间为半球形的光滑凹槽放置于光滑水平地面上,光滑槽内有一质量为m的小铁球,现用一水平向右的推力F推动凹槽,小铁球与光滑凹槽相对静止时,凹槽球心和小铁球的连线与竖直方向成α角.重力加速度为g,则下列说法正确的是( )
A.小铁球受到的合外力方向水平向左
B.F=(M+m)gtanα
C.系统的加速度为a=gsinα
D.F=mgtanα
解析 隔离小铁球受力分析得F合=mgtanα=ma且合外力方向水平向右,故小铁球加速度为gtanα,因为小铁球与凹槽相对静止,故系统的加速度也为gtanα,A、C错误.对整体受力分析得F=(M+m)a=(M+m)gtanα,故B正确,D错误.
考点二 动力学的临界、极值问题
5.(多选)如图5所示,已知物块A、B的质量分别为m1=4kg、m2=1kg,A、B间的动摩擦因数为μ1=0.5,A与地面之间的动摩擦因数为μ2=0.5,设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等,g取10m/s2,在水平力F的推动下,要使A、B一起运动而B不致下滑,则力F大小可能的是( )
A.50NB.100N
C.125ND.150N
答案 CD
解析 对B不下滑有μ1FN≥m2g,由牛顿第二定律FN=m2a;
对整体有F-μ2(m1+m2)g=(m1+m2)a,得F≥(m1+m2)
g=125N,选项C、D正确.
6.如图6所示,质量为M的木板,上表面水平,放在水平桌面上,木板上面有一质量为m的物块,物块与木板及木板与桌面间的动摩擦因数均为μ,若要以水平外力F将木板抽出,则力F的大小至少为(设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等)( )
A.μmgB.μ(M+m)g C.μ(m+2M)gD.2μ(M+m)g
二、非选择题
7.(临界问题)如图7所示,质量为4kg的小球用细线拴着吊在行驶的汽车后壁上,线与竖直方向夹角为37°
.已知g=10m/s2,sin37°
=0.6,cos37°
=0.8,求:
(1)当汽车以加速度a=2m/s2向右匀减速行驶时,细线对小球的拉力大小和小球对车后壁的压力大小.
(2)当汽车以加速度a=10m/s2向右匀减速行驶时,细线对小球的拉力大小和小球对车后壁的压力大小.
答案
(1)50N 22N
(2)40
N 0
解析
(1)当汽车以加速度a=2m/s2向右匀减速行驶时,小球受力分析如图甲.
由牛顿第二定律得:
FT1cosθ=mg,FT1sinθ-FN=ma
代入数据得:
FT1=50N,FN=22N
由牛顿第三定律知,小球对车后壁的压力大小为22N.
(2)当汽车向右匀减速行驶时,设小球所受车后壁弹力为0时(临界条件)的加速度为a0,受力分析如图乙所示.由牛顿第二定律得:
FT2sinθ=ma0,FT2cosθ=mg
a0=gtanθ=10×
m/s2=7.5m/s2
因为a=10m/s2>a0
所以小球会飞起来,FN′=0
FT2=
=40
N.
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