不等式的性质与绝对值不等式(含答案).docx

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不等式的性质与绝对值不等式

典题探究

例1解不等式2＜｜2x－5｜≤7．

例2解关于x的不等式：

（1）｜2x＋3｜－1＜a（a∈R）；

（2）｜2x＋1｜＞x＋1．

例3解不等式|x－|2x＋1||＞1．

例4.求证：

演练方阵

A档（巩固专练）

1．下列各式中，最小值等于的是（）

A．B．C．D．

2．若且满足，则的最小值是（）

A．B．C．D．

3．不等式|8－3x|＞0的解集是（）

A．B．RC．{x|x≠，x∈R}D．{}

4．下列不等式中，解集为R的是（）

A．｜x＋2｜＞1B．｜x＋2｜＋1＞1C．（x－78）2＞－1D．（x＋78）2－1＞0

5．在数轴上与原点距离不大于2的点的坐标的集合是（）

A．｛x｜－2＜x＜2B．｛x｜0＜x≤2C．｛x｜－2≤x≤2｝D．｛x｜x≥2或x≤－2｝

6．不等式｜1－2x｜＜3的解集是（）

A．｛x｜x＜1B．｛x｜－1＜x＜2C．｛x｜x＞2｝D．｛x｜x＜－1或x＞2｝

7．若，则的最小值是_____________。

8．函数的最小值为_____________。

9．不等式｜x＋4｜＞9的解集是__________．

10．当a＞0时，关于x的不等式｜b－ax｜＜a的解集是________．

B档（提升精练）

1．不等式｜x＋a｜＜1的解集是（）

A．｛x｜－1＋a＜x＜1＋aB．｛x｜－1－a＜x＜1－a

C．｛x｜－1－｜a｜＜x＜1－｜a｜D．｛x｜x＜－1－｜a｜或x＞1－｜a｜｝

2．不等式1≤｜x－3｜≤6的解集是（）

A．｛x｜－3≤x≤2或4≤x≤9｝B．｛x｜－3≤x≤9｝

C．｛x｜－1≤x≤2｝D．｛x｜4≤x≤9｝

3．下列不等式中，解集为｛x｜x＜1或x＞3｝的不等式是（）

A．｜x－2｜＞5B．｜2x－4｜＞3

C．1－｜－1｜≤D．1－｜－1｜＜

4．已知集合A＝{x||x－1|＜2}，B＝{x||x－1|＞1}，则A∩B等于（）

A．{x|－1＜x＜3}B．{x|x＜0或x＞3}

C．{x|－1＜x＜0}D．{x|－1＜x＜0或2＜x＜3}

5．若，则函数有（）

A．最小值B．最大值C．最大值D．最小值

6．设，且，若，则必有（）

A．B．C．D．

7．已知不等式｜x－2｜＜a（a＞0）的解集是｛x｜－1＜x＜b}，则a＋2b＝．

8．不等式|x＋2|＞x＋2的解集是______．

9．解下列不等式：

（1）|2－3x|≤2；

（2）|3x－2|＞2．

10．求函数的最大值。

C档（跨越导练）

1．若，则的最小值是（）

A．B．C．D．

2．若，则函数的最小值为（）

A．B．C．D．非上述情况

3．设，且，，，，，

则它们的大小关系是（）

A．B．

C．D．

4．若，且,，则与的大小关系是

A．B．C．D．

5.设，则函数的最大值是__________。

6．若实数满足，则的最小值为

7．函数的值域是.

8．若是正数，且满足，则的最小值为______。

9.求证：

（1）

（2）已知，求证：

10．设A＝｛x｜｜2x－1｜≤3｝，B＝｛x｜|x＋2｜＜1｝，求集合M，使其同时满足下列三个条件：

（1）M［（A∪B）∩Z］；

（2）M中有三个元素；（3）M∩B≠

不等式的性质与绝对值不等式答案

典题探究

例1【解析一】：

原不等式等价于∴即

∴原不等式的解集为｛x｜－1≤x＜或＜x≤6｝

【解析二】：

原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集

（Ⅰ）（Ⅱ）

不等式组（Ⅰ）的解集为｛x｜＜x≤6｝

不等式组（Ⅱ）的解集是｛x｜－1≤x＜｝

∴原不等式的解集是｛x｜－1≤x＜或＜x≤6｝

【解析三】：

原不等式的解集是下面两个不等式解集的并集．

（Ⅰ）2＜2x－5≤7（Ⅱ）2＜5－2x≤7

不等式（Ⅰ）的解集为｛x｜＜x≤6｝不等式（Ⅱ）的解集是｛x｜－1≤x＜｝

∴原不等式的解集是｛x｜－1≤x＜或＜x≤6｝．

例2【解析】

（1）原不等式可化为｜2x＋3｜＜a＋1

当a＋1＞0，即a＞－1时，由原不等式得即＜x＜

当a＋1≤0,即a≤－1时，原不等式的解集为，

综上，当a＞－1时，原不等式的解集是｛x｜－＜x＜

当a≤－1时，原不等式的解集是．

（2）原不等式可化为下面两个不等式组来解

（Ⅰ）或（Ⅱ）

不等式组（Ⅰ）的解为x＞0不等式组（Ⅱ）的解为x＜－

∴原不等式的解集为｛x｜x＜－或x＞0｝

例3【解析】∵由|x－|2x＋1||＞1等价于（x－|2x＋1|）＞1或x－|2x＋1|＜－1

（1）由x－|2x＋1|＞1得|2x＋1|＜x－1

∴即均无解

（2）由x－|2x＋1|＜－1得|2x＋1|＞x＋1

∴或

即，∴x＞0或x＜－

综上讨论，原不等式的解集为{x|x＜－或x＞0}．

例4证明：

演练方阵

A档（巩固专练）

1【答案】D【解析】：

2【答案】D【解析】：

3【答案】C【解析】:

4【答案】C【解析】;

5【答案】Ｃ【解析】所求点的集合即不等式｜x｜≤2的解集．

6【答案】B【解析】由｜1－2x｜＜3得－3＜2x－1＜3，∴－1＜x＜2

7【答案】3【解析】:

8【答案】9【解析】：

9【答案】｛x｜x＞5或x＜－13

【解析】由原不等式得x＋4＞9或x＋4＜－9，∴x＞5或x＜－13

10【答案】｛x｜－1＜x＜＋1｝

【解析】由原不等式得｜ax－b｜＜a，∴－a＜ax－b＜a

∴－1＜x＜＋1∴｛x｜－1＜x＜＋1

B档（提升精练）

1【答案】B【解析】由｜x＋a｜＜1得－1＜x＋a＜1∴－1－a＜x＜1－a

2【答案】A【解析】不等式等价于或

解得：

4≤x≤9或－3≤x≤2．

3【答案】D【解析】A中，由｜x－2｜＞5得x－2＞5或x－2＜－5∴x＞7或x＜－3

同理，B的解集为｛x｜x＞或x＜－1｝C的解集为｛x｜x≤1或x≥3｝

D的解集为｛x｜x＜1或x＞3｝

4【答案】D【解析】|x－1|＜2的解为－1＜x＜3，|x－1|＞1的解为x＜0或x＞2．

∴A∩B＝{x|－1＜x＜0或2＜x＜3}．

5【答案】C

【解析】

6【答案】D【解析】

7【答案】13【解析】不等式｜x－2｜＜a的解集为｛x｜2－a＜x＜2＋a｝

由题意知：

｛x｜2－a＜x＜2＋a｝＝｛x｜－1＜x＜b｝

∴∴a＋2b＝3＋2×5＝13

8【答案】｛x｜x＜－2｝【解析】∵当x＋2≥0时，|x＋2|＝x＋2，x＋2＞x＋2无解．

当x＋2＜0时，|x＋2|＝－（x＋2）＞0＞x＋2∴当x＜－2时，｜x＋2｜＞x＋2

9【解析】

（1）由原不等式得－2≤2－3x≤2，各加上－2得－4≤－3x≤0，各除以－3得≥x≥0，解集为{x|0≤x≤}．

（2）由原不等式得3x－2＜－2或3x－2＞2，解得x＜0或x＞，故解集为{x|x＜0或x＞}．

10解：

函数的定义域为，且

C档（跨越导练）

1.【答案】A【解析】由得，

而

2.【答案】B【解析】

3.【答案】A【解析】为平方平均数，它最大

4.【答案】A【解析】

，即

5.【答案】【解析】，即

6.【答案】【解析】

即，

7.【答案】【解析】，得

8.【答案】2【解析】

9.

（1）证明：

即

（2）证明：

10.解：

∵A＝｛x｜｜2x－1｜≤3｝＝｛x｜－1≤x≤2｝

B＝｛x｜|x＋2｜＜1｝＝｛x｜－3＜x＜－1｝

∴M［（A∪B）∩Z］＝｛x｜－1≤x≤2｝∪｛x｜－3＜x＜－1｝∩Z＝｛x｜－3＜x≤2｝∩Z＝｛－2，－1，0，1，2｝

又∵M∩B≠，∴－2∈M．

又∵M中有三个元素∴同时满足三个条件的M为：

｛－2，－1，0｝，｛－2，－1，1｝，｛－2，－1，2｝，｛－2，0，1｝，｛－2，0，2｝，｛－2，1，2｝．