人教B高中数学选修2-1期末测试卷.doc
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宜昌市葛洲坝中学高二年级十二月月考试卷
数学(理科)试题
考试时间:
2012年12月日
命题人:
毛金平
一、选择题(每小题5分,共10小题,满分50分)
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下面使用类比推理正确的是().
A.“若,则”类推出“若,则”
B.“若”类推出“”
C.“若”类推出“(c≠0)”
D.“”类推出“”
2.在正方体中,是棱的中点,则与所成角的余弦值为()
A. B. C. D.
3.“”是“”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
4.利用数学归纳法证明“1+a+a2+…+an+1=,(a≠1,n∈N)”时,在验证n=1成立时,左边应该是()
(A)1(B)1+a(C)1+a+a2(D)1+a+a2+a3
5.用反证法证明命题:
“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时,假设正确的是()。
(A)假设三内角都不大于60度;(B)假设三内角都大于60度;
(C)假设三内角至多有一个大于60度;(D)假设三内角至多有两个大于60度。
6.已知△ABC的周长为20,且顶点B(0,-4),C(0,4),则顶点A的轨迹方程是()
A.(x≠0)B.(x≠0)
C.(x≠0)D.(x≠0)
7..已知椭圆的长轴在轴上,且焦距为,则等于()
A..B..C..D..
8.某个命题与正整数n有关,如果当时命题成立,那么可推得当时命题也成立.现已知当时该命题不成立,那么可推得 ()
A.当n=6时该命题不成立 B.当n=6时该命题成立
C.当n=8时该命题不成立 D.当n=8时该命题成立
9.双曲线(,)的左、右焦点分别是,过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点,若垂直于轴,则双曲线的离心率为()
A. B. C. D.
10.对于抛物线,我们称满足的点在抛物线内部.若点在抛物线内部,则直线与抛物线()
A.恰有一个公共点 B.恰有两个公共点
C.可能有一个公共点,也可能有两个公共点 D.没有公共点
二、填空题(每小题5分,共5小题,满分25分)
11.已知向量=(0,-1,1),=(4,1,0),且,则=____________.
D
C
B
A
D1
C1
B1
A1
12.若数列的通项公式,记,试通过计算的值,推测出
13.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,
∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60º,则||= .
14.已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点,若△ABF2为正三角形,则该椭圆的离心率为___________.
15.下列四个命题中
①一个命题的逆命题为真,它的否命题也一定为真;
②是的充要条件;
③垂直于同一平面的所有向量一定共线;
④对空间任意一点,若满足,则四点一定共面.
其中真命题的为(将你认为是真命题的序号都填上)
三、解答题(共6小题,满分75分)
16.(本题满分12分)已知椭圆C的两焦点分别为,长轴长为6,
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知过点(0,2)且斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点,求线段AB的长度.
17.(本题满分12分)经过长期观测得到:
在交通繁忙的时段内,某段公路汽车的车流量(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间的函数关系为:
.
(1)在该时段内,当汽车的平均速度为多少时,车流量最大?
最大车流量为多少?
(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时,则汽车的平均速度应在什么范围内?
18.(本题满分12分)
如图,四棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,BD=.
(1)求证:
BD⊥平面PAC;
(2)求二面角P—CD—B余弦值的大小;
(3)求点C到平面PBD的距离.
19.(本题满分12分)
已知直线与抛物线相交于,两点,为坐标原点.
(1)当时,证明:
;
(2)若,是否存在实数,使得?
若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
c.o.m
A
B
C
D
E
F
M
N
A/<
20.(本题满分13分)如图,在矩形中,点分别
在线段上,.沿直线将翻折成,使平面面.
(Ⅰ)求二面角的余弦值;
(Ⅱ)点分别在线段上,若沿直线将四边形向上翻折,使与重合,求线段的长.
21.(本题满分14分)
在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于.
(Ⅰ)求动点P的轨迹方程;
(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N,问:
是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由。
高二年级选修2-1理科数学试卷2010.1
参考答案
一、选择题:
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
A
C
B
C
D
A
9.C
10.D
二、填空题:
11、312、
13、14、15、①③④
三、解答题:
16、解:
⑴由,长轴长为6
得:
所以
∴椭圆方程为 ………………………………………3分
⑵设,由⑴可知椭圆方程为①,
∵直线AB的方程为② …………………4分
把②代入①得化简并整理得
∴……………………6分
又…………………………8分
18、解:
方法一:
证:
⑴在Rt△BAD中,AD=2,BD=,
∴AB=2,ABCD为正方形,因此BD⊥AC.
∵PA⊥平面ABCD,BDÌ平面ABCD,∴BD⊥PA.
又∵PA∩AC=A∴BD⊥平面PAC.
(1)由PA⊥面ABCD,知AD为PD在平面ABCD的射影,
又CD⊥AD,∴CD⊥PD,
知∠PDA为二面角P—CD—B的平面角.
又∵PA=AD,
∴∠PDA=450.
(3)∵PA=AB=AD=2,∴PB=PD=BD=,设C到面PBD的距离为d,
y
z
D
P
A
B
C
x
由,有,
即,得
方法二:
证:
(1)建立如图所示的直角坐标系,
则A(0,0,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2).………………2分
在Rt△BAD中,AD=2,BD=,
∴AB=2.∴B(2,0,0)、C(2,2,0),
∴B
∵,
即BD⊥AP,BD⊥AC,又AP∩AC=A,∴BD⊥平面PAC.…………4分
(2)由
(1)得.
设平面PCD的法向量为,则,
即,∴故平面PCD的法向量可取为
∵PA⊥平面ABCD,∴为平面ABCD的法向量.………………………6分
设二面角P—CD—B的大小为q,依题意可得……………7分
所以,二面角P—CD—B的大小为450.……………8分
(3)由(Ⅰ)得,
设平面PBD的法向量为,
则,即,
∴x=y=z,故可取为.……………10分
∵,∴C到面PBD的距离为…………………12分
19.解:
(1)当时,由得,
解得,…………………………2分
因此.
于是,………………………4分
即.所以.
(2)假设存在实数满足题意,由于两点在抛物线上,故
因此.…………………………5分
所以.…………………………6分
由,即,得.…………………………7分
又当时,经验证直线与抛物线有两个交点,
所以存在实数,使得.…………………………8分
20
(1)
21.解:
(I)解:
因为点B与A关于原点对称,所以点得坐标为.
设点的坐标为
由题意得
化简得.
故动点的轨迹方程为
(II)解法一:
设点的坐标为,点,得坐标分别为,.
则直线的方程为,直线的方程为
令得,.
于是得面积
又直线的方程为,,
点到直线的距离.
于是的面积
当时,得
又,
所以=,解得。
因为,所以
故存在点使得与的面积相等,此时点的坐标为.
解法二:
若存在点使得与的面积相等,设点的坐标为
则.
因为,
所以
所以
即,解得
因为,所以
故存在点S使得与的面积相等,此时点的坐标为.
第8页共7页
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