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教学内容:
二次函数典型应用题分类
一、分段函数型
1.某商品的进价为每件40元,如果售价为每件50元,每个月可卖出210件;
如果售价超过50元但不超过80元,每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖1件;
如果售价超过80元后,若再涨价,则每涨1元每月少卖3件.设每件商品的售价为x元,每个月的销售量为y件.
(1)求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围;
(2)设每月的销售利润为W,请直接写出与的函数关系式;
(3)每件商品的售价定位多少元时,每个月可获得最大利润?
最大的月利润是多少元?
二、与不等式结合型
2.某商场将进货价为30元的书包以40元售出,平均每月能售出600个。
调查表明:
这种书包的售价每上涨1元,其销售量就减少10个。
(1)请写出每月售出书包的利润y(元)与每个书包涨价x(元)间的函数关系式;
(2)设某月的利润为10000元,此利润是否为该月的最大利润,请说明理由;
(3)请分析并回答售价在什么范围内商家获得的月利润不低于6000元?
3.某商品的进价为每件40元,售价为每件60元时,每个月可卖出100件;
如果每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖2件.设每件商品的售价为x元(x为正整数),每个月的销售利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;
(2)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?
(3)当售价的范围是是多少时,使得每件商品的利润率不超过80%且每个月的利润不低于2250元?
三、前期投入,亏损、盈利型
4.某公司成立之初投资1500万元购买新生产线生产新产品,此外,生产每件该产品还需要成本60元。
按规定,该产品售价不得低于100元/件且不得超过180元/件,该产品销售量y(万件)与产品售价x(元)之间的函数关系如图所示。
(1)求y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围;
(2)第一年公司是盈利还是亏损?
求出当盈利最大或者亏损最小时的产品售价;
(3)在
(2)的前提下,即在第一年盈利最大或者亏损最小时,第二年公司重新确定产品售价,能否使两年共盈利达1340万元,若能,求出第二年产品售价;
若不能,请说明理由。
四、面积有关问题
5.星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用长为30米的篱笆围成。
已知墙长为18米(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米。
(1)若平行于墙的一边长为y米,直接写出y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围;
(2)垂直于墙的一边的长为多少米时,这个苗圃园的面积最大,并求出这个最大值;
(3)当这个苗圃园的面积不小于88平方米时,试结合函数图象,直接写出x的取值范围。
五、二次函数与建模
6.要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根2.25m的水管,在水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1
m处达到最高,高度为3m.
(1)建立适当的平面直角坐标系.,使水管顶端的坐标为(0,2.25),水柱的最高点的坐标为
(1,3),求出此坐标系中抛物形水柱对应的函数关系式(不要求写取值范围)
(2)如图;
在水池底面上有一些同心圆轨道,每条轨道上安装排水地漏,相邻轨道之间的宽度为0.3
m,最内轨道的半径为r
m,其上每0.3
m的弧长上安装一个地漏,其它轨道上的地漏个数与最内轨道上的个数相同,水柱落地处为最外轨道,其上不安装地漏,求当r为多少时池中安装的地漏的个数最多?
六、细节变化、陷阱题
9.中百超市每天购进一种水产品300千克,其进货成本(含运输费)是每千克3元,根据超市规定,这种水产品只能当天销售,并且每千克的售价不能超过10元,一天内没有销售完的水产品只能按2元处理给食品深加工公司,而且这种水产品每天的损耗率是10%,根据市场调查这种水产品每天在市场上的销售量y(单位:
千克,y≥0)与每千克的销售价x(元)之间的函数关系如下图所示:
(1)求出每天销售量y与每千克销售价x之间的函数关系式;
(2)根据题中的分析:
每天销售利润w最多是多少元?
(3)请你直接回答:
当每千克销售价为多少元时,每天的销售利润不低于960元?
二次函数应用题练习
1.九·
五股份有限公司在汉口北投资新建了一商场,黄有商铺30间,据预测,当每间的年租金为10万元时,可全部租出;
每间的年租金每增加5000元,少租出商铺一间,该公司要为租出的商铺每年交各种费用1
万元,未租出的商铺每间每年交各种费用5000元。
(1)当租金为13万元时,能租出多少间商铺?
(2)当每间商铺的年租金定为多少时,该公司的年收益最大?
(3)若公司要求收益不低于275万元,则年租金定在什么范围?
2.一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系:
10500yx=-+.设经销商每月获得利润为w(元)
(1),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?
最大利润是多少元?
(2)如果经销商想要每月获得2000元的利润,那么销售单价应定为多少元?
(3)根据物价部门规定,这种护眼台灯的销售单价不得高于32元,如果经销商想要每月获得的利润不低于2000元,那么他每月的成本最少需要多少元?
3.如图,足球场上守门员在处开出一高球,球从离地面1米的处飞出(在轴上),运动员乙在距点6米的处发现球在自己头的正上方达到最高点,距地面约4米高,球落地后又一次弹起.据实验测算,足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同,最大高度减少到原来最大高度的一半.
(1)求足球开始飞出到第一次落地时,该抛物线的表达式.
(2)足球第一次落地点距守门员多少米?
(3)运动员乙要抢到第二个落点,他应再向前跑多少米?
4.有一种螃蟹,从海上捕获后不放养,最多只能存活两天.如果放养在塘内,可以延长存活时间,但每天也有一定数量的蟹死去.假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变,现有一经销商,按市场价收购这种活蟹1000
kg放养在塘内,此时市场价为每千克30元,据测算,此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元,但是,放养一天需支出各种费用为400元,且平均每天还有10
kg蟹死去,假定死蟹均于当天全部销售出,售价都是每千克20元.
(1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元,写出p关于x的函数关系式;
(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售,并记1000
kg蟹的销售总额为Q元,写出Q关于x的函数关系式.
(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售,可获最大利润(利润=Q-收购总额)?
常考型
(一)涨价或降价为未知数
例1、某旅社有客房120间,每间房间的日租金为50元,每天都客满,旅社装修后要提高租金,经市场调查,如果一间客房的日租金每增加5元,则每天出租的客房会减少6间。
不考虑其他因素,旅社将每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高?
比装修前的日租金总收入增加多少元?
变式:
1、某商场销售一批名牌衬衫,平均每天售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天多售出2件。
①若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?
②若每件衬衫降价x元时,商场平均每天盈利y元,写出y与x的函数关系式。
例2、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8台,为了配合国家“家电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施.调查表明:
这种冰箱的售价每降低50元,平均每天就能多售出4台.
(1)假设每台冰箱降价x元,商场每天销售这种冰箱的利润是y元,请写出y与x之间的函数表达式;
(不要求写自变量的取值范围)
(2)商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元,同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元?
(3)每台冰箱降价多少元时,商场每天销售这种冰箱的利润最高?
最高利润是多少?
2、某商品的进价为每件40元,售价为每件50元,每个月可卖出210件;
如果每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元).设每件商品的售价上涨
元(
为正整数),每个月的销售利润为
元.
(1)求
与
的函数关系式并直接写出自变量
的取值范围;
(3)每件商品的售价定为多少元时,每个月的利润恰为2200元?
根据以上结论,请你直接写出售价在什么范围时,每个月的利润不低于2200元?
(二)售价为未知数
例3、某食品零售店为仪器厂代销一种面包,未售出的面包可退回厂家,经统计销售情况发现,当这种面包的单价定为7角时,每天卖出160个。
在此基础上,这种面包的单价每提高1角时,该零售店每天就会少卖出20个。
考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角。
设这种面包的单价为x(角),零售店每天销售这种面包所获得的利润为y(角)。
⑴用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数;
⑵求y与x之间的函数关系式;
⑶当面包单价定为多少时,该零售店每天销售这种面包获得的利润最大?
最大利润为多少?
2、青年企业家刘敏准备在北川禹里乡投资修建一个有30个房间供旅客住宿的旅游度假村,并将其全部利润用于灾后重建.据测算,若每个房间的定价为60元∕天,房间将会住满;
若每个房间的定价每增加5元∕天时,就会有一个房间空闲.度假村对旅客住宿的房间将支出各种费用20元∕天·
间(没住宿的不支出).问房价每天定为多少时,度假村的利润最大?
例4、某商店购进一批单价为18元的商品,如果以单价20元出售,那么一个星期可售出100件。
根据销售经验,提高销售单价会导致销售量减少,即当销售单价每提高1元,销售量相应减少10件,如何提高销售单价,才能在一个星期内获得最大利润?
最大利润是多少?
3、某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:
每涨价1元,每星期少卖出10件;
每降价1元,每星期可多卖出20件,已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?
例5、为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神,最近,州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策,使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农副产品,已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现,该产品每天的销售量w(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系:
w=-2x+80.设这种产品每天的销售利润为y(元).
(1)求y与x之间的函数关系式.
(2)当销售价定为多少元时,每天的销售利润最大?
最大利润是多少?
(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少元?
4、某商店经营一批进价为10元的商品,据市场分析,每件售价15元,则一天可售55件,如果售价每降1元,则日销售量可增加3件,(为了方便结账,定价取整数)设销售单价为x元,日销售量为y件,日获利为w元。
解答下列问题:
(1)试写出y与x之间的函数关系式;
(2)试写出w与x之间的函数关系式;
(3)计算单价为12元时的日销售量和日销售利润;
(4)若使日销售利润达到200元,且老板要尽快减少库存,则售价应定为多少元?
(5)定价为多少元时,日获利最多,为多少?
(6)分别写出本题中w与x的取值范围。
课后练习
1.某商品的进价为每件40元,如果售价为每件50元,每个月可卖出210件;
如果售价超过80元后,若再涨价,则每涨1元每月少卖3件.设每件商品的售价为
元,每个月的销售量为
件.
(2)设每月的销售利润为
,请直接写出
的函数关系式;
最大的月利润是多少元
2.某商品的进价为每件30元,现在的售价为每件40元,每星期可卖出150件.市场调查反映:
如果每件的售价每涨1元(售价每件不能高于45元),那么每星期少卖10件.设每件涨价x元(x为非负整数),每星期的销量为y件.
(1)求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围;
(2)如何定价才能使每星期的利润最大且每星期销量较大?
每星期的最大利润是多少?
3.某商品的进价为每件40元.当售价为每件60元时,每星期可卖出300件,现需降价处理,且经市场调查:
每降价1元,每星期可多卖出20件.在确保盈利的前提下,解答下列问题:
(1)若设每件降价
元、每星期售出商品的利润为
元,请写出
的函数关系式,并求出自变量
(2)当降价多少元时,每星期的利润最大?
4.某宾馆客房部有60个房间供游客居住,当每个房间的定价为每天200元时,房间可以住满.当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲.对有游客入住的房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.设每个房间每天的定价增加
元.求:
(1)房间每天的入住量
(间)关于
(元)的函数关系式.
(2)该宾馆每天的房间收费
(元)关于
(3)该宾馆客房部每天的利润
(元)的函数关系式;
当每个房间的定价为每天多少元时,
有最大值?
最大值是多少?
5.旅行社为某旅游团包飞机去旅游,其中旅行社的包机费为15000元,旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算:
若旅游团的人数在30人或30人以下,飞机票每张收费900元;
若旅游团的人数多于30人,则给与优惠,每多1人,机票费每张减少10元,但旅游团的人数最多有75人,那么旅游团的人数为多少时,旅行社可获得的利润最大?
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