两角和与差的余弦公式优质公开课精品教案.doc
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两角和与差的余弦公式
一、教材地位和作用分析:
两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容,是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸,是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础,对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。
本课时主要讲授两角和与差的余弦公式的推导以及应用。
二、学情分析:
本课时面对的学生是高一年级的学生,数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期,学生对探索未知世界有主动意识,对新知识充满探求的渴望。
他们经过一个学期的高中生活,储备了一定的数学知识,掌握了一些高中数学的学习方法,这为本节课的学习建立了良好的知识基础。
三、教学目标:
1、理解两角和与差的余弦公式的推导过程,熟记两角和与差的余弦公式。
2、使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。
四、教学重点和难点:
教学重点:
两角和与差的余弦公式的推导及应用。
教学难点:
两角和与差的余弦公式的推导。
五、教学工具:
多媒体
六、教学方法:
讲授法,探究法
七、教学过程:
教学过程
设计意图
基
础
练
习
1、判断是第几象限角?
它的正弦值与余弦值是多少?
它的终边与单位圆的交点坐标是什么?
2、若有两点,则AB两点间的距离是_____.
3、填值:
,.
4、?
提问:
1、角的终边与单位圆的交点坐标是什么?
如何研究角的三角比?
2、平面内两点,则AB两点的距离为
。
通过做题和简述每题所用知识点使学生回顾所学知识、为新课的推进做准备。
引
入
新
课
求的值有难度,先回答下列问题:
Q1:
可以用哪两个特殊角作差表示?
Q2:
可以用这两个特殊角的三角函数值作差表示吗?
我们知道,
先从猜一猜公式的结构形式,=?
怎么计算,是我们本节课所研究的问题。
【探究】公式的结构形式?
研究问题遵循从特殊到一般的规律,研究两角和与差的余弦公式也是。
先看几个特殊角,寻找规律:
猜想:
?
通过求解,引入对两角差的余弦公式的探讨
让学生通过特殊值在转化到一般情况,符合学生的认知规律。
公式推导
通过探究我们猜想得出的公式,从猜想到结论还需要严格的证明。
提问:
前面我们已经学习过任意角的三角比,那么该如何研究的三角比呢?
设、是两个任意角,把它们的顶点都置于平面直角坐标系的原点,始边都与x轴的正方向重合,如图1,它们的终边、分别与单位圆相交于、两点。
图1
Q1:
你能用、的三角比表示A、B两点坐标吗?
Q2:
角度能用、表示吗?
Q3:
我们要研究的三角比,必须要把位置放在什么地方?
怎样达到目的?
答:
始边旋转到与x轴的正方向重合。
通过旋转达到目的。
Q4:
将终边、绕旋转,转到和的位置,则,的坐标是什么?
图2
Q5:
这两个图中,出现了、及的三角比,观察两图,旋转过程中哪些量不变,两图中哪些量与我们的研究目标有关,能否找到数量关系从而确定这些三角比之间的关系?
说明:
找到是难点,教师进行了适时点拨,学生找到了这个关键数量关系.
证明:
∵
∴
这个公式叫做两角差的余弦公式。
它对任意角和都成立。
第一关:
小试身手
请用特殊角分别代替公式中、,你能求哪些非特殊角的值呢?
(选择的特殊角可以是30°60°45°等)
(1);
(2);
(3).
……
总结:
可以利用两角和与差的余弦公式求非特殊角的三角比。
Q6:
根据两角差的余弦公式你能说出的计算公式吗?
用代替,可得到两角和的余弦公式:
.
由此得到两角和与差的余弦公式:
Q7:
你能归纳上述两角和与差的余弦公式在结构上的特征吗?
(1)左右符号互异;
(2)ccss,“酷酷与帅帅”。
通过一系列问题的设置找出相等的数量关系,从而推导出公式
利用变量替换的方法得出两角和的余弦公式
归纳公式特征有利于学生记忆
例
题
精
讲
第二关:
温故知新
若固定,分别用代替,你将会发现什么结论呢?
总结:
诱导公式是两角和与差的余弦的特殊情况。
第三关:
各显神通
倘若让你对C(α±β)公式中的、自由赋值,你又将发现什么结论呢?
(1)
……
总结:
两角和与差的余弦公式是后面学习二倍角公式的基础。
下面通过两个例题,巩固一下今天所学的两角和与差的余弦公式。
例1、
变:
例2、已知,求的值。
变:
总结:
“变角的技巧”
让学生发现C(α±β)公式是诱导公式的推广。
二倍角公式,为以后学习做铺垫
例1让学生学会逆用公式
例2让学生学会正用公式,以及“变角”的方法
小
结
本节课学习了什么?
学生自行总结
作业布置
课后作业:
伴你成长第1课时
6
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- 余弦 公式 优质 公开 精品 教案
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