一题多解之求轨迹方程常用的基本方法.doc
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一题多解之求轨迹方程常用的基本方法
例、由圆外一点引圆的割线交圆于两点,求弦的中点的轨迹方程。
思路点拨:
(直接法)根据题设条件列出几何等式,运用解析几何基本公式转化为代数等式,从而求
出曲线方程。
这里考虑在圆中有关弦中点的一些性质,圆心和弦中点的连线垂直于弦,可得下面解法。
图1
P
B
y
x
M
A
O
解法1如图1,设弦的中点的坐标为,连接,
则,在中,由两点间的距离公式和勾股定理有
整理得。
思路点拨:
(定义法)根据题设条件,判断并确定轨迹的曲线类型,运用待定系数法求出曲线方程。
思路点拨:
(交轨法)将问题转化为求两直线的交点轨迹问题。
因为动点可看作直线与割线的交点,而由于它们的垂直关系,从而获得解法。
解法3设过点的割线的斜率为则过点的割线方程为:
.
且过原点,的方程为这两条直线的交点就是点的轨迹。
两方程相乘消去化简,得:
其中
思路点拨:
(参数法)将动点坐标表示成某一中间变量(参数)的函数,再设法消去参数。
由于动点随直线的斜率变化而发生变化,所以动点的坐标是直线斜率的函数,从而可得如下解法。
解法4设过点的割线方程为:
,它与圆的两个交点为,的中点为.解方程组利用韦达定理和中点坐标公式,可求得点的轨迹方程为:
其中
思路点拨:
(代点法)根据曲线和方程的对应关系:
点在曲线上则点的坐标满足方程。
设而不求,代点运算。
从整体的角度看待问题。
这里由于中点的坐标与两交点通过中点公式联系起来,又点构成4点共线的和谐关系,根据它们的斜率相等,可求得轨迹方程。
点评:
上述五种解法都是求轨迹问题的基本方法。
其中解法1、2、3局限于曲线是圆的条件,而解法4、5适用于一般的过定点且与二次曲线交于两点,求中点的轨迹问题。
具有普遍意义,值得重视。
对于解法5通常利用可较简捷地求出轨迹方程,比解法4计算量要小,要简捷得多。
【针对性练习】
1.设F(1,0),M点在x轴上,P点在y轴上,且,当点P在y轴上运动时,求点N的轨迹方程.
解析:
设M(x0,0),P(0,y0),N(x,y),∵(x0,-y0),=(1,-y0),
∴(x0,-y0)·(1,-y0)=0,∴x0+y=0.由得(x-x0,y)=2(-x0,y0),
∴即,∴-x+=0,即y2=4x.故所求的点N的轨迹方程是y2=4x.
2.一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切,同时与圆x2+y2-6x-91=0内切,求动圆圆心M的轨迹方程,并说明它是什么样的曲线.
3.已知点O(0,0),A(1,2),动点P满足,则P点的轨迹方程是( )
A.4x2+4y2-4x-8y+1=0B.4x2+4y2-4x-8y-1=0
C.8x2+8y2+2x+4y-5=0D.8x2+8y2-2x+4y-5=0[来源:
学&科&网Z&X&X&K]
解析:
(1)设P点的坐标(x,y),则=(x,y),=(x-1,y-2),=(2x-1,2y-2).所以(2x-1)2+(2y-2)2=4,整理得4x2+4y2-4x-8y+1=0.
4.已知点F(0,1),直线l:
y=-1,P为平面上的动点,过点P作直线l的垂直,垂足为Q,且,则动点P的轨迹C的方程为( )
A.x2=4y B.y2=3xC.x2=2yD.y2=4x
6.设动点P在直线x-1=0上,O为坐标原点,以OP为直角边,点O为直角顶点作等腰直角三角形OPQ,则动点Q的轨迹是( )
A.椭圆 B.两条平行直线C.抛物线 D.双曲线
解析:
设Q(x,y),P(1,a),a∈R,则有·=0,且||=||,∴消去a,得x2+y2=1+=.∵x2+y2≠0,∴y=±1.即动点Q的轨迹为两条平行直线y=±1.答案:
B
7.由抛物线y2=2x上任意一点P向其准线l引垂线,垂足为Q,连接顶点O与P的直线和连接焦点F与Q的直线交于点R,则点R的轨迹方程为__________.
解析:
设P(x1,y1),R(x,y),则,则直线OP的方程为y=x,①
直线FQ的方程为,②,由①②得x1=,y1=,
将其代入y2=2x,可得y2=-2x2+x.即点R的轨迹方程为y2=-2x2+x.
8.点P是圆C:
(x+2)2+y2=4上的动点,定点F(2,0),线段PF的垂直平分线与直线CP的交点为Q,则点Q的轨迹方程是__________.
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