专题：抽象函数的单调性与奇偶性的证明.doc

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抽象函数单调性与奇偶性

特殊模型

抽象函数

正比例函数f（x）=kx（k≠0）

f（x+y）=f（x）+f（y）

幂函数f（x）=xn

f（xy）=f（x）f（y）[或]

指数函数f（x）=ax（a>0且a≠1）

f（x+y）=f（x）f（y）[

对数函数f（x）=logax（a>0且a≠1）

f（xy）=f（x）+f（y）[

正、余弦函数f（x）=sinxf（x）=cosx

f（x+T）=f（x）

正切函数f（x）=tanx

余切函数f（x）=cotx

1.已知,对一切实数、都成立，且,求证为偶函数。

证明：

令=0,则已知等式变为……①

在①中令=0则2=2∵≠0∴=1∴∴∴为偶函数。

2.奇函数在定义域（-1，1）内递减，求满足的实数的取值范围。

解：

由得，∵为函数，∴

又∵在（-1，1）内递减，∴

3.如果=（a>0）对任意的有,比较的大小

解：

对任意有∴=2为抛物线=的对称轴

又∵其开口向上∴

（2）最小，

（1）=（3）∵在［2，＋∞）上，为增函数

∴（3）<（4）,∴

（2）<

（1）<（4）

4.已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上的值域。

分析：

由题设可知，函数f（x）是的抽象函数，因此求函数f（x）的值域，关键在于研究它的单调性。

解：

设，∵当，∴，

∵，

∴，即，∴f（x）为增函数。

在条件中，令y＝－x，则，再令x＝y＝0，则f（0）＝2f（0），∴f（0）＝0，故f（－x）＝f（x），f（x）为奇函数，

∴　f

（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝2f（－1）＝－4，

∴f（x）的值域为［－4，2］。

5.已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）＋f（y）＝2+f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。

分析：

由题设条件可猜测：

f（x）是y＝x＋2的抽象函数，且f（x）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。

解：

设，∵当，∴，则，

即，∴f（x）为单调增函数。

∵，又∵f（3）＝5，∴f

（1）＝3。

∴，∴，即，解得不等式的解为－1

6.设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：

存在，使得，对任何x和y，成立。

求：

（1）f（0）；

（2）对任意值x，判断f（x）值的正负。

分析：

由题设可猜测f（x）是指数函数的抽象函数，从而猜想f（0）＝1且f（x）＞0。

解：

（1）令y＝0代入，则，∴

。

若f（x）＝0，则对任意，有，这与题设矛盾，∴f（x）≠0，∴f（0）＝1。

（2）令y＝x≠0，则，又由

（1）知f（x）≠0，∴f（2x）＞0，即f（x）＞0，故对任意x，f（x）＞0恒成立。

7.是否存在函数f（x），使下列三个条件：

①f（x）＞0，x∈N；②；③f

（2）＝4。

同时成立？

若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，说明理由。

分析：

由题设可猜想存在，又由f

（2）＝4可得a＝2．故猜测存在函数，用数学归纳法证明如下：

（1）x＝1时，∵，又∵x∈N时，f（x）＞0，∴，结论正确。

（2）假设时有，则x＝k＋1时，，∴x＝k＋1时，结论正确。

综上所述，x为一切自然数时。

8.设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足，求：

（1）f

（1）；

（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围。

分析：

由题设可猜测f（x）是对数函数的抽象函数，f

（1）＝0，f（9）＝2。

解：

（1）∵，∴f

（1）＝0。

（2），从而有f（x）＋f（x－8）≤f（9），

即，∵f（x）是（0，＋∞）上的增函数，故

，解之得：

8＜x≤9。

9.设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）。

如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由。

分析:

由题设条件可猜测y＝f（x）是对数函数的抽象函数，又∵y＝f（x）的反函数是y＝g（x），∴y＝g（x）必为指数函数的抽象函数，于是猜想g（a＋b）＝g（a）·g（b）正确。

解：

设f（a）＝m，f（b）＝n，由于g（x）是f（x）的反函数，∴g（m）＝a，g（n）＝b，从而，∴g（m）·g（n）＝g（m＋n），以a、b分别代替上式中的m、n即得g（a＋b）＝g（a）·g（b）。

10.己知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：

①当是定义域中的数时，有；

②f（a）＝－1（a＞0，a是定义域中的一个数）；

③当0＜x＜2a时，f（x）＜0。

试问：

（1）f（x）的奇偶性如何？

说明理由。

（2）在（0，4a）上,f（x）的单调性如何？

说明理由。

分析:

由题设知f（x）是y=-cotx的抽象函数，从而由y=-cotx及题设条件猜想：

f（x）是奇函数且在（0，4a）上是增函数（这里把a看成进行猜想）。

解：

（1）∵f（x）的定义域关于原点对称，且是定义域中的数时有

，∴在定义域中。

∵

，

∴f（x）是奇函数。

（2）设0＜x1＜x2＜2a，则0＜x2－x1＜2a，∵在（0，2a）上f（x）＜0，

∴f（x1），f（x2），f（x2－x1）均小于零，进而知中的，于是f（x1）＜f（x2），∴在（0，2a）上f（x）是增函数。

又，∵f（a）＝－1，∴，∴f（2a）＝0，设2a＜x＜4a，则0＜x－2a＜2a，

，于是f（x）＞0，即在（2a，4a）上f（x）＞0。

设2a＜x1＜x2＜4a，则0＜x2－x1＜2a，从而知f（x1），f（x2）均大于零。

f（x2－x1）＜0，∵，∴，即

f（x1）＜f（x2），即f（x）在（2a，4a）上也是增函数。

综上所述，f（x）在（0，4a）上是增函数。

11.已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）·f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当时，。

（1）判断f（x）的奇偶性；

（2）判断f（x）在［0，＋∞）上的单调性，并给出证明；

（3）若，求a的取值范围。

分析：

由题设可知f（x）是幂函数的抽象函数，从而可猜想f（x）是偶函数，且在［0，＋∞）上是增函数。

解：

（1）令y＝－1，则f（－x）＝f（x）·f（－1），∵f（－1）＝1，∴

f（－x）＝f（x），f（x）为偶函数。

（2）设，∴，，

∵时，，∴，∴f（x1）＜f（x2），故f（x）在0，＋∞）上是增函数。

（3）∵f（27）＝9，又，

∴，∴，∵，∴，

∵，∴，又，故。

12.设f（x）定义于实数集上，当时，，且对于任意实数x、y，有，求证：

在R上为增函数。

证明：

在中取，得

若，令，则，与矛盾

所以，即有

当时，；当时，

而

所以

又当时，

所以对任意，恒有

设，则

所以

所以在R上为增函数。

13.已知函数对任意不等于零的实数都有，试判断函数f（x）的奇偶性。

解：

取得：

，所以

又取得：

，所以

再取则，即

因为为非零函数，所以为偶函数。

14.定义在R上的函数f（x）满足：

对任意实数m，n，总有，且当x>0时，0

判断f（x）的单调性；

解：

在中，令，得，因为，所以。

在中，令因为当时，

所以当时而所以

又当x=0时，，所以，综上可知，对于任意，均有。

设，则

所以所以在R上为减函数。

15.设函数f（x）对任意实数x,y，都有f（x+y）=f（x）+f（y）,若x>0时f（x）<0,且f

（1）=-2,求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值.

解析:

由单调性的定义步骤设x10,∴f（x2-x1）<0）

所以f（x）是R上的减函数,故f（x）在[-3,3]上的最大值为f（3）=f

（1）+f

（2）=3f

（1）=-6,最小值为f（-3）,

令x=y=0,得f（0）=0,令y=-x,得f（-x）+f（x）=f（0）=0,即f（x）为奇函数.∴f（-3）=-f（3）=6.

16.设f（x）定义于实数集上，当x>0时，f（x）>1,且对于任意实数x、y，有f（x+y）=f（x）f（y），求证：

f（x）在R上为增函数。

证明：

设R上x11，

f（x2）=f（x2-x1+x1）=f（x2-x1）f（x1）,（注意此处不能直接得大于f（x1），因为f（x1）的正负还没确定）。

取x=y=0得f（0）=0或f（0）=1;若f（0）=0,令x>0,y=0，则f（x）=0与x>0时，f（x）>1矛盾，所以f（0）=1，x>0时，f（x）>1>0,x<0时，-x>0，f（-x）>1,∴由，故f（x）>0，从而f（x2）>f（x1）.即f（x）在R上是增函数。

17.已知偶函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有，且当时，

（1）f（x）在（0,+∞）上是增函数；

（2）解不等式

解：

（1）设，则

∵，∴，∴，即，∴

∴在上是增函数

（2），∴，∵是偶函数∴不等式可化为，又∵函数在上是增函数，∴0≠，解得：

18.已知函数f（x）的定义域为R，且对m、n∈R,恒有f（m+n）=f（m）+f（n）－1,且f（－）=0,当x>－时，f（x）>0.求证：

f（x）是单调递增函数；

证明：

设x1＜x2,则x2－x1－>－,由题意f（x2－x1－）>0,

∵f（x2）－f（x1）=f［（x2－x1）+x1］－f（x1）=f（x2－x1）+f（x1）－1－f（x1）=f（x2－x1）－1=f（x2－x1）+f（－）－1=f［（x2－x1）－］>0,∴f（x）是单调递增函数.

19.定义在R+上的函数f（x）满足:

①对任意实数m,f（xm）=mf（x）;②f

（2）=1.

（1）求证:

f（xy）=f（x）+f（y）对任意正数x,y都成立;

（2）证明f（x）是R+上的单调增函数;

（3）若f（x）+f（x-3）≤2,求x的取值范围.

解:

（1）令x=2m,y=2n,其中m,n为实数,则f（xy）=f（2m+n）=（m+n）f

（2）=m+n.

又f（x）+f（y）=f（2m）+f（2n）=mf

（2）+nf

（2）=m+n,所以f（xy）=f（x）+f（y）

故f（x1）

（3）由f（x）+f（x-3）≤2及f（x）的性质,得f[x（x-3）]≤2f

（2）=f

（2），解得3

20.已知函数对任意不等于零的实数都有，试判断函数f（x）的奇偶性。

解：

取得：

，所以

又取得：

，所以

再取则，即

因为为非零函数，所以为偶函数。

21.已知函数f（x）的定义域关于原点对称且满足，

（2）存在正常数a，使f（a）=1.求证：

f（x）是奇函数。

证明：

设t=x-y,则，所以f（x）为奇函数。

22.定义在R上的单调函数f（x）满足f（3）=log3且对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．

（1）求证f（x）为奇函数；

（2）若f（k·3）+f（3-9-2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

（1）证明：

f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R）----①令y=-x，代入①式，得f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0），令x=y=0，代入①式，得f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0．即f（-x）=-f（x）对任意x∈R成立，∴f（x