九连环的历史、玩法和它的数学问题.doc
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九连环的历史、玩法和它的数学问题
九连环是中国的一种古代智力玩具,2004年A版的《普通通课程标准实验教科书》(新课标)数学5中,已编入。
这将对学生学习数学的兴趣和智力开发大有益处。
本文就九连环的历史、玩法及引出的数学问题,作一论述。
一、九连环的历史
九连环是中国人的发明,这是没有疑问的。
宋代(公元960-1279)已经流行,至今已有800多年的历史。
有关它的发明史,还有一些不同的说法。
1,春秋战国说
《战国策·齐策六》:
“秦昭王尝遣使者遗君王后玉连环,曰:
‘齐多智,而解此环否?
'君王后以示群臣,群臣不知解,君王后引锥椎破之,谢秦使曰:
‘谨以解矣!
'”有人以此认为早在春秋战国时就有了九连环玩具。
这“玉连环”是否就是现在所说的九连环,还须证据。
但那时已经有了连环一类的玩具。
2,西汉说
西汉司马相如与妻子通信,妻子回信中有:
一别之后,二地相思。
都说是三四月,谁又知五六年。
七弦琴无心弹,八行书不可传。
九连环从中折断,十里长亭望眼欲穿。
百思想,千系念。
万般无奈,把郎怨。
这里明确用了“九连环”这个词。
是连在一起的能玩的玩具一类的东西。
时间是西汉。
3,三国说
认为是诸葛亮发明,但这并无证据,估计是由于诸葛亮是智慧的代表,特别是他能造出木牛流马这样不可思议的东西。
那么不知来历的巧妙玩意儿,像孔明灯、孔明锁,都冠以诸葛的名字,也就不奇怪了。
如果是这样,那九连环的流行,应在三国之后。
总之,九连环产生在古代中国,这已为世界所公认。
又在《红楼梦》第七回中,就有大观园中小姐们玩九连环的描写,……周瑞家的奉薛姨妈之命,送一些宫制的堆纱假花给园子里的姑娘们,每人两朵。
找黛玉时,“谁知此时黛玉不在自己房中,却在宝玉房中大家解九连环玩呢”。
二、九连环的结构
1、环钗:
由一根金属丝制成(图1)
图1环钗
2、环底:
一椭圆金属盘钻有9个小孔,可穿环干。
(图2的中部)
图2环环杆环底
3、环与环杆:
环由金属丝制成,每一环带一金属环杆(图2)
将环及环杆编号如图2,每一个环由环杆穿过下一个环,再连按到环座上。
从而使九个环成叠错相连的关系。
九连环的奥秘就是由它们的这种结构引起的。
当把九个环都套在环柄上时成图3状。
图3
三、九连环的玩法
1、上环:
将1号环提起从环钗下面向上穿过(图4)转90度套在环钗上。
(图5)
123456789
图4
图5
依次上2环,下1环(将1环提起转90度从钗架中间放下),上3环,上1环,下2环,下1环,上4环……直到把9个环都套上。
若以“000000000”表示9个环都在钗架下,“111111111”表示9个环都在钗架下,则环上架的状态可表示为:
对应环号987654321
上1环:
000000001;
上2环:
000000011;
下1环;000000010;
上3环;000000110;
上1环;000000111;
下2环;000000101;
下1环;000000100;这一步是关键,只有下1环,才在下步上4环。
上4环;000001100;
上1环;000001101;
上2环;000001111;
下1环;000001110;这一步也是关键,下一步才能下3环。
下3环;000001010;
上1环;000001011;
下2环;000001001;
下1环;000001000;这一步也是关键,下一步才能上5环。
上5环;000011000;接下来上6环,必先下掉4环……直到把9个环都套到钗架上。
但上面的几处关键需加注意。
2、下环:
下1环(将1环取出提起转90度从钗架中间放下),下3环,上1环,下2环,下1环,下5环……直到把9个环都从环钗上取下。
但有几个关键处需加注意;
若以“111111111”表示9个环都在钗架上,“000000000”表示9个环都已下架,则环下架的状态可表示为:
对应环号987654321
1环下:
111111110;
3环下:
111111010;
1环上:
111111011;
2环下:
111111001;
1环下:
111111000;这是关键,只有下1环,才能解下5环。
5环下:
111101000;
这时要解下4环,把3环套上环钗成“111101100”状态时才能解下4环。
这时接着5环下的状态再操作;
1环上、111101001;
2环上,111101011;
1环下,111101010;
3环上,111101110;
1环上,111101111;
2环下,111101101;
1环下:
111101100;
4环下:
111100100;这是关键这处,再接下就是要下3环必先套上2环,要下2环必先套上1环。
再往后就是要下6环必先套上5环……,直到解下9环。
要解下8环必先套上7环,一直往前推,到最后解下1环,9个环全部解下钗架成“000000000”状态。
四、九连环的数学问题
1、从钗架上把9个环全部解下来,最少得移动多少次环?
由九连环的玩法我们看到,为了解下第i个环必须先解下前(i-2)个环,才能解下第i个环。
这就是我们要遵循的一个规则。
(1)我们不妨考虑n(n=9)个圆环的情况
设K(n)表示解下全部n个环所需的最少移动环的次数
显然K
(1)=1次,即解下第1个环需移动1次环
K
(2)表示解下前2个环所需移动环的次数,由玩法知K
(2)=2次
若要解下第n个环,就必先解下前(n-2)个环,需要K(n-2)次,然后再移动一次即可将第n个环解下,这时钗架上只剩下第(n-2)个环。
若我们再用k(n)表示前(n-1)个环都已经解下后,再解下第n个环所需的次数,则可得下式:
K(n)=K(n-2)+1+k(n-1)①
(2)我们求k(n)的表达式
由玩法可知,若要将第n个环解下,必须先将第(n-1)环套回钗架,这个过程需k(n-1)次,这时再移动1次,就可解下第n个环,然后再将第(n-1)个环解下,又需k(n-1)次,所以可得:
k(n)=k(n-1)+1+k(n-1)
即k(n)=2k(n-1)+1②
由k
(1)=1
k(n)=2k(n-1)+1
递推得到
k(n)=2k(n-1)+1
=2(2k(n-2)+1)+1
=22k(n-2)+2+1
=22(2k(n-3)+1)+2+1
=23k(n-3)+22+2+1
=……
=2n-1k
(1)+2n-2+2n-3+……+2+1
=2n-1+2n-2+2n-3+……+2+1
=2n-1 ③
(3)由①③可确定K(n)了
K(n)=K(n-2)+2n-1
由于K
(1)=1K
(2)=2,所以当n为偶数时
K(n)=K(n-2)+2n-1
=K(n-4)+2(n-2)-1+2n-1=K(n-4)+2n-3+2n-1
=K(n-6)+2n-5+2n-3+2n-1
=K(n-8)+2n-7+2n-5+2n-3+2n-1
=……
=K
(2)+23+25+……+2n-7+2n-5+2n-3+2n-1
=2+23+25+……+2n-7+2n-5+2n-3+2n-1
=2(1-2n)/(1-22)
=(2n+1-2)/3;
当n为奇数时
K(n)=K(n-2)+2n-1
=K(n-4)+2(n-2)-1+2n-1=K(n-4)+2n-3+2n-1
=K(n-6)+2n-5+2n-3+2n-1
=K(n-8)+2n-7+2n-5+2n-3+2n-1
=……
=K
(1)+22+24+……+2n-7+2n-5+2n-3+2n-1
=1+22+24+……+2n-7+2n-5+2n-3+2n-1
=2(1-2n+1)/(1-22)
=(2n+1-1)/3;
于是,K(9)=(29+1-1)/3=341
所以解九连环最少要移动圆环341次。
九连环最少要移动圆环多少次的另一种求法:
各环与其对应的移环次数如下:
环号:
123456……
次数:
125102142……
当n为偶数时有f(n)=2f(n-1)
当n为奇数时有f(n)=2f(n-1)+1
由此得:
f
(1)=1
f
(2)=2
(1)=2
f(3)=2f
(2)+1=2×2+1=1+22
f(4)=2f(3)=2(1+22)=2+23
f(5)=2f(4)+1=1+22+24
f(6)=2f(5)=2+23+25
……
当n为奇数时
f(n)=1+22+24+26+……+2n-3+2n-1
(1)
(1)×2222f(n)=22+24+26+……+2n-3+2n-1+2n+1
(2)
(2)-
(1)(22-1)f(n)=2n+1-1
f(n)=(2n+1-1)/3
f(9)=(210-1)/3
=341(次)
当n为偶数时
f(n)=2+23+25+……+2n-3+2n-1
用同样的方法可得;
f(n)=(2n+1-2)/3
2、我们若用1表示环在钗架上的状态;用0表示环在钗架下的状态,那么
九连环能有多少种状态?
这是本文中九连环的第二个数学问题。
这是从0,1中可重复的取九个元素做排列的排列问题,其排列数为29=512,即有512个状态。
下面是全部512种状态和对应的
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