《空间向量与立体几何》单元练习题.doc
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《空间向量与立体几何》单元练习题
一、选择题(每小题5分,共50分)
1.如图,在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点.若=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是
A.-a+b+cB.a+b+c
C.a-b+cD.-a-b+c
2.下列等式中,使点M与点A、B、C一定共面的是
A.B.
C.D.
3.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1,点E、F分别是AB、AD的中点,则等于
A.B.C.D.
4.若,,与的夹角为,则的值为
A.17或-1B.-17或1C.-1D.1
5.设,,,则线段的中点到点的距离为
A.B.C.D.
6.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是
①正方体
②圆锥
③三棱台
④正四棱锥
A.①②B.①③C.①④D.②④
7.右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是
俯视图
正(主)视图
侧(左)视图
2
3
2
2
A.
B.
C.
D.
8.如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论错误的是
A.BD∥平面CB1D1
B.AC1⊥BD
C.AC1⊥平面CB1D1
D.异面直线AD与CB1所成的角为60°
9.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为
A.B.C.D.
10.⊿ABC的三个顶点分别是,,,则AC边上的高BD长为
A.5B.C.4D.
二、填空题(每小题5分,共20分)
11.设,,且,则.
12.已知向量,,且,则=________.
13.在直角坐标系中,设A(-2,3),B(3,-2),沿轴把直角坐标平面折成大小为的二面角后,这时,则的大小为.
14.如图,P—ABCD是正四棱锥,
是正方体,其中
,则到平面PAD
的距离为.
三、解答题(共80分)
15.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱PA的长为2,且PA与AB、AD的夹角都等于600,是PC的中点,设.
(1)试用表示出向量;
(2)求的长.
16.(本小题满分14分)如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图和侧视图在下面画出(单位:
cm).
(1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图;
(2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积;(3)在所给直观图中连结,证明:
∥面EFG..
17.(本小题满分12分)如图,在四面体中,,点分别是的中点.求证:
(1)直线面;
(2)平面面.
18.(本小题满分14分)如图,已知点P在正方体的对角线上,∠PDA=60°.
(1)求DP与所成角的大小;
(2)求DP与平面所成角的大小.
19.(本小题满分14分)已知一四棱锥P-ABCD的三视图如下,E是侧棱PC上的动点.
(1)求四棱锥P-ABCD的体积;
(2)是否不论点E在何位置,都有BD⊥AE?
证明你的结论;
(3)若点E为PC的中点,求二面角D-AE-B的大小.
20.(本小题满分14分)如图,已知四棱锥,底面为菱形,
平面,,分别是的中点.
(1)证明:
;
P
B
E
C
D
F
A
(2)若为上的动点,与平面所成最大角的正切值为,求二面角的余弦值.
《空间向量与立体几何》单元练习题参考答案
一、选择题
1.=c+(-a+b)=-a+b+c,故选A.
2.
故选D.
3.∵,,
故选B.
4.B5.B6.D7.D8.D9.D
10.由于,所以,故选A
二、填空题
11.912.3
13.作AC⊥x轴于C,BD⊥x轴于D,则
∵
14.以为轴,为轴,为轴建立空间直角坐标系
设平面PAD的法向量是,
,∴,取得,
,∴到平面PAD的距离.
三、解答题
15.解:
(1)∵是PC的中点,∴
(2)
.
16.解:
(1)如图
(2)所求多面体体积.
A
B
C
D
E
F
G
(3)证明:
在长方体中,
连结,则.
因为分别为,中点,
所以,
从而.又平面,
所以面.
17.证明:
(1)∵E,F分别是的中点,
∴EF是△ABD的中位线,∴EF∥AD,
∵AD面ACD,EF面ACD,∴直线EF∥面ACD;
(2)∵AD⊥BD,EF∥AD,∴EF⊥BD,
∵CB=CD,F是BD的中点,∴CF⊥BD
又EF∩CF=F,∴BD⊥面EFC,
∵BD面BCD,∴面面.
18.解:
如图,以为原点,为单位长建立空间直角坐标系.
则,.连结,.
在平面中,延长交于.
设,由已知,
由,可得.
A
B
C
D
P
x
y
z
H
解得,所以.
(1)因为,
所以,即与所成的角为.
(2)平面的一个法向量是.
因为,
所以,可得与平面所成的角为.
19.解:
(1)由该四棱锥的三视图可知,该四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,侧棱PC⊥底面ABCD,且PC=2.∴
(2)不论点E在何位置,都有BD⊥AE
证明如下:
连结AC,∵ABCD是正方形,∴BD⊥AC
∵PC⊥底面ABCD且平面∴BD⊥PC
又∴BD⊥平面PAC
∵不论点E在何位置,都有AE平面PAC
∴不论点E在何位置,都有BD⊥AE
(3)解法1:
在平面DAE内过点D作DG⊥AE于G,连结BG
∵CD=CB,EC=EC,∴≌,∴ED=EB
∵AD=AB,∴△EDA≌△EBA,∴BG⊥EA
∴为二面角D-EA-B的平面角
∵BC⊥DE,AD∥BC,∴AD⊥DE
在Rt△ADE中==BG
在△DGB中,由余弦定理得
∴=,∴二面角D-AE-B的大小为.
解法2:
以点C为坐标原点,CD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示:
则,从而
设平面ADE和平面ABE的法向量分别为
由法向量的性质可得:
,
令,则,∴
设二面角D-AE-B的平面角为,则
∴,∴二面角D-AE-B的大小为.
20.
(1)证明:
由四边形为菱形,,可得为正三角形.
因为为的中点,所以.
又,因此.
因为平面,平面,所以.
而平面,平面且,
所以平面.又平面,
所以.
(2)解:
设,为上任意一点,连接.
由
(1)知平面,
则为与平面所成的角.
在中,,
所以当最短时,最大,
即当时,最大.
此时,
因此.又,所以,
所以.
解法一:
因为平面,平面,
所以平面平面.
过作于,则平面,
过作于,连接,则为二面角的平面角,
在中,,,
又是的中点,在中,,
又,在中,,
即所求二面角的余弦值为.
解法二:
由
(1)知两两垂直,以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,又分别为的中点,所以
P
B
E
C
D
F
A
y
z
x
,
,
所以.
设平面的一法向量为,
则因此
取,则,
因为,,,所以平面,
故为平面的一法向量.
又,所以.
因为二面角为锐角,所以所求二面角的余弦值为.
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