学年高中数学人教A版必修414 142 第一课时 正弦函数余弦函数的周期性与奇偶性 Word版含答案.docx
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学年高中数学人教A版必修414142第一课时正弦函数余弦函数的周期性与奇偶性Word版含答案
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第一课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
预习课本P34~37,思考并完成以下问题
(1)周期函数的定义是什么?
(2)如何利用周期的定义求正、余弦函数的周期?
(3)正、余弦函数的奇偶性分别是什么?
1.周期函数
(1)周期函数的概念
条件
①对于函数ƒ(x),存在一个非零常数T
②当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x)
结论
函数ƒ(x)叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期
(2)最小正周期
条件
周期函数ƒ(x)的所有周期中存在一个最小的正数
结论
这个最小正数叫做ƒ(x)的最小正周期
[点睛] 对周期函数的两点说明
(1)并不是每一个函数都是周期函数,若函数具有周期性,则其周期也不一定唯一.
(2)如果T是函数ƒ(x)的一个周期,则nT(n∈Z且n≠0)也是ƒ(x)的周期.
2.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数
y=sinx
y=cosx
周期
2kπ(k∈Z且k≠0)
2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期
2π
2π
奇偶性
奇函数
偶函数
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)因sin=sin,则是正弦函数y=sinx的一个周期.( )
(2)若T是函数ƒ(x)的周期,则kT,k∈N*也是函数f(x)的周期.( )
(3)函数y=3sin2x是奇函数.( )
(4)函数y=-cosx是偶函数.( )
答案:
(1)×
(2)√ (3)√ (4)√
2.函数ƒ(x)=2sin是( )
A.T=2π的奇函数
B.T=2π的偶函数
C.T=π的奇函数
D.T=π的偶函数
答案:
B
3.下列函数中,周期为的是( )
A.y=sinx B.y=sin2x
C.y=cosD.y=cos4x
答案:
D
4.函数ƒ(x)=sinxcosx是______(填“奇”或“偶”)函数.
答案:
奇
三角函数的周期
[典例]
求下列函数的周期.
(1)ƒ(x)=cos;
(2)ƒ(x)=|sinx|.
[解]
(1)[法一 定义法]
∵ƒ(x)=cos=cos
=cos=ƒ(x+π),
即ƒ(x+π)=ƒ(x),
∴函数ƒ(x)=cos的周期T=π.
[法二公式法]
∵y=cos,∴ω=2.
又T===π.
∴函数ƒ(x)=cos的周期T=π.
(2)[法一 定义法]
∵ƒ(x)=|sinx|,
∴ƒ(x+π)=|sin(x+π)|=|sinx|=ƒ(x),
∴ƒ(x)的周期为π.
[法二 图象法]
∵函数y=|sinx|的图象如图所示.
由图象可知T=π.
求函数最小正周期的常用方法
除了定义法外,求三角函数的周期,一般还有两种方法:
(1)公式法,即将函数化为y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的形式,再利用T=求得;
(2)图象法,利用变换的方法或作出函数的图象,通过观察得到最小正周期.
[活学活用]
求下列函数的周期.
(1)y=3sin;
(2)y=|cosx|.
解:
(1)T==4,
∴y=3sin的周期为4.
(2)函数y=|cosx|的图象如图所示,
由图象知T=π.
三角函数的奇偶性
[典例]
(1)函数f(x)=sin2x的奇偶性为( )
A.奇函数 B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数
(2)判断函数f(x)=sin的奇偶性.
(1)[解析] ∵f(x)的定义域是R.
且f(-x)=sin2(-x)=-sin2x=-f(x),
∴函数为奇函数.
[答案] A
(2)[解] ∵f(x)=sin=-cosx,
∴f(-x)=-cos=-cosx,
∴函数f(x)=sin为偶函数.
判断函数奇偶性的方法
[活学活用]
判断下列函数的奇偶性:
(1)ƒ(x)=xcos(π+x);
(2)ƒ(x)=sin(cosx).
解:
(1)函数ƒ(x)的定义域为R,
∵ƒ(x)=xcos(π+x)=-xcosx,
∴ƒ(-x)=-(-x)·cos(-x)=xcosx=-ƒ(x),
∴ƒ(x)为奇函数.
(2)函数ƒ(x)的定义域为R,
∴ƒ(-x)=sin=sin(cosx)=ƒ(x),
∴ƒ(x)为偶函数.
三角函数的奇偶性与周期性的应用
[典例] 定义在R上的函数ƒ(x)既是偶函数又是周期函数,若ƒ(x)的最小正周期是π,且当x∈时,ƒ(x)=sinx,求ƒ的值.
[解] ∵ƒ(x)的最小正周期是π,
∴ƒ=ƒ=ƒ
∵ƒ(x)是R上的偶函数,
∴ƒ=ƒ=sin=.
∴ƒ=.
[一题多变]
1.[变条件]若本例中“偶”变“奇”其他条件不变,求ƒ的值.
解:
ƒ=ƒ=-ƒ
=-sin=-.
2.[变设问]若本例条件不变,求ƒ的值.
解:
ƒ=ƒ=ƒ
=ƒ=sin=.
3.[变条件]若本例条件为:
函数ƒ(x)为偶函数且ƒ=-ƒ(x),ƒ=1,求ƒ的值.
解:
∵ƒ=-ƒ(x),
∴ƒ(x+π)=ƒ(x),即T=π,
ƒ=ƒ=ƒ=ƒ=1.
解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法
利用函数的周期性,可以把x+nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值.利用奇偶性,可以找到-x与x的函数值的关系,从而可解决求值问题.
层级一 学业水平达标
1.函数f(x)=sin(-x)的奇偶性是( )
A.奇函数 B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数
解析:
选A 由于x∈R,
且f(-x)=sinx=-sin(-x)=-f(x),
所以f(x)为奇函数.
2.函数y=-xcosx的部分图象是下图中的( )
解析:
选D 因为函数y=-xcosx是奇函数,图象关于原点对称,所以排除A,C;当x∈时,y=-xcosx<0,故排除B.
3.已知函数f(x)=sin-1,则下列命题正确的是( )
A.f(x)是周期为1的奇函数
B.f(x)是周期为2的偶函数
C.f(x)是周期为1的非奇非偶函数
D.f(x)是周期为2的非奇非偶函数
解析:
选B f(x)=sin-1=-cosπx-1,从而函数为偶函数,且T==2.
4.函数y=4sin(2x+π)的图象关于( )
A.x轴对称 B.原点对称
C.y轴对称D.直线x=对称
解析:
选B y=4sin(2x+π)=-4sin2x,奇函数图象关于原点对称.
5.函数y=cos的奇偶性是( )
A.奇函数B.偶函数
C.非奇非偶函数D.即是奇函数也是偶函数
解析:
选A cos=cos=sin,故为奇函数.
6.函数y=cos的周期为________.
解析:
T==4π.
答案:
4π
7.函数ƒ(x)是以2为周期的函数,且ƒ
(2)=3,则ƒ(6)=________.
解析:
∵函数ƒ(x)是以2为周期的函数,且ƒ
(2)=3,
∴ƒ(6)=ƒ(2×2+2)=ƒ
(2)=3.
答案:
3
8.函数ƒ(x)=3cos(ω>0)的最小正周期为,则ƒ(π)=________.
解析:
由已知=得ω=3,
∴ƒ(x)=3cos,∴ƒ(π)=3cos
=3cos=-3cos=-.
答案:
-
9.判断下列函数的奇偶性.
(1)ƒ(x)=coscos(π+x);
(2)ƒ(x)=+.
解:
(1)x∈R,
ƒ(x)=coscos(π+x)
=-sin2x·(-cosx)=sin2xcosx.
∴ƒ(-x)=sin(-2x)cos(-x)
=-sin2xcosx=-ƒ(x).
∴该函数ƒ(x)是奇函数.
(2)对任意x∈R,-1≤sinx≤1,
∴1+sinx≥0,1-sinx≥0.
∴ƒ(x)=+的定义
域为R.
∵ƒ(-x)=+
=+=ƒ(x),
∴该函数是偶函数.
10.已知函数y=sinx+|sinx|,
(1)画出函数的简图;
(2)此函数是周期函数吗?
若是,求其最小正周期.
解:
(1)y=sinx+|sinx|=
图象如图所示:
(2)由图象知该函数是周期函数,且周期是2π.
层级二 应试能力达标
1.下列函数中最小正周期为π且为偶函数的是( )
A.y=cos B.y=sin
C.y=sinD.y=cos
解析:
选B 对于A,y=cos=cos=sin2x是奇函数;对于B,y=sin=cos2x是偶函数,且最小正周期T==π;对于C,y=sin=cosx是偶函数,但最小正周期T=2π;对于D,y=cos=sinx是奇函数,故选B.
2.函数ƒ(x)=3sin是( )
A.周期为3π的偶函数B.周期为2π的偶函数
C.周期为3π的奇函数D.周期为的偶函数
解析:
选A ∵ƒ(x)=3sin
=-3cosx,∴ƒ(x)为偶函数,
且T==3π,故选A.
3.函数y=cos(k>0)的最小正周期不大于2,则正整数k的最小值应是( )
A.10B.11
C.12D.13
解析:
选D ∵T==≤2,∴k≥4π,
又k∈Z,∴正整数k的最小值为13.
4.函数ƒ(x)=sin(2x+φ)为R上的奇函数,则φ的值可以是( )
A.B.
C.πD.
解析:
选C 要使函数ƒ(x)=sin(2x+φ)为R上的奇函数,需φ=kπ,k∈Z.故选C.
5.若函数f(x)的定义域为R,最小正周期为,且满足f(x)=则f=________.
解析:
∵T=,∴f=f
=f=sin=.
答案:
6.函数y=的最小正周期是________.
解析:
∵y=sin的最小正周期为T=4π,而y=的图象是把y=sin的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方,
∴y=的最小正周期为T=2π.
答案:
2π
7.已知ƒ(x)是以π为周期的偶函数,且x∈时,ƒ(x)=1-sinx,当x∈时,求ƒ(x)的解析式.
解:
x∈时,3π-x∈,因为x∈时,ƒ(x)=1-sinx,所以ƒ(3π-x)=1-sin(3π-x)=1-sinx.又ƒ(x)是以π为周期的偶函数,
所以ƒ(3π-x)=ƒ(-x)=ƒ(x),所以ƒ(x)的解析式为ƒ(x)=1-sinx,x∈.
8.已知函数ƒ(x)对于任意实数x满足条件ƒ(x+2)
=-(ƒ(x)≠0).
(1)求证:
函数ƒ(x)是周期函数.
(2)若ƒ
(1)=-5,求ƒ(ƒ(5))的值.
解:
(1)证明:
∵ƒ(x+2)=-,
∴ƒ(x+4)=-=-=ƒ(x),
∴ƒ(x)是周期函数,4就是它的一个周期.
(2)∵4是ƒ(x)的一个周期.
∴ƒ(5)=ƒ
(1)=-5,
∴ƒ(ƒ(5))=ƒ(-5)=ƒ(-1)===.
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