控制工程基础经典控制部分MATLAB分析Word格式文档下载.docx

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三、在线帮助窗口

在命令窗口中键入Help（空格）函数名，可以立即获得该函数的使用方法。

1-3MATLAB最基本的矩阵操作

作为命令窗口及M文件编辑器的应用实例，介绍几个最基本的矩阵运算命令。

一、矩阵的输入

在方括号内依次按行键入矩阵元素，在一行内的各元素之间用空格或逗号分开，每行之间用分号分开。

例如，在命令窗内输入

A=[223;

454;

789]（注意：

方括号，分号为矩阵行标记）

B=[1,3,5;

6,-4,2;

3,5,1]（逗号与空格功能相同）

A＝2　23B＝135

4546-42

789351

同理：

输入A1＝［2　4　6］得到行矢量，

　　　输入A2＝［2；

4；

6］得到列矢量，

于是，当输入

C=［A；

A1］　有

C=123

456

789

246

A1作为矩阵C的最后一行，C和A相比，增加了一行。

二、矩阵的转置

矩阵A的转置用A′表示，显然，A1与A2互为转置，即A1＇会得到以2,4，6为元素的列矢量。

思考一下输入C1＝［A　A2］

C2＝［A　A1＇］

有什么结果？

而输入［A；

A1＇］有无意义？

三、矩阵的四则运算

1．矩阵的加减法：

当两个矩阵维数相同时可以直接进行“＋”或“－”运算。

如D1＝A＋B，D2＝A－B

2．矩阵的乘法：

当矩阵A，B维数相容时

C3＝A﹡B：

普通意义下的矩阵相乘

C4＝A.﹡B：

矩阵A与B的对应元素相乘

显然，A﹡B≠B﹡A（一般情况），而A.﹡B＝B.﹡A。

A.﹡B称为数列型乘法，它要求参加运算的矩阵或数列具有相同的行列数，这是MATLAB语言中的一种特殊运算，它在今后求取函数值等运算时是很重要的。

实际上，前面所述的矩阵加、减法就是一种数列型运算。

3．矩阵的除法

D4＝A\B：

表示A-1﹡B或inv（A）*B，即A的逆矩阵左乘矩阵B。

D5＝B/A：

表示B﹡A-1或B﹡inv（A），即A的逆矩阵右乘B。

D6＝A.\B：

表示B的每一个元素被A的对应元素除。

D7＝A./B：

表示A的每一个元素被B的对应元素除。

显然，A.\B与A./B的各对应元素互为倒数。

读者可以思考一下，D6.﹡D7等于什么？

D8＝inv（A）：

A的逆矩阵。

打开M文件编辑窗口，将上述命令依次键入，得到fanli001如下：

参考程序fanli001:

矩阵的四则运算

789]%三阶矩阵输入

3,5,1]%三阶矩阵输入

A1=[246]%行向量

A2=[2;

4;

6]%列向量

C=[A;

A1]%矩阵A增加一行

C1=[AA2]　%矩阵A增加一列

C2=[AA1'

]　%矩阵A增加一列

D1=[A+B]　%矩阵相加

D2=A-B　%矩阵相减

C3=A*B　%矩阵与矩阵相乘

C4=A.*B　%矩阵的对应元素相乘

D3=A\B　%A的逆左乘B

D4=B/A　%A的逆右乘B

D6=A.\B　%B的各元素被A的对应元素除

D7=A./B　%A的各元素被B的对应元素除

D8=inv（A）　%A的逆矩阵

语句后面的%为语句说明符。

MATLAB中矩阵运算的其它主要命令可通过在线帮助获得。

1-4　MATLAB的符号运算操作

一、进入符号运算功能

在命令窗口键入

symsxyzt

此后，即可以使用x，y，z，t等作自变量定义函数。

symsxyztreal规定所定义的变量为实型。

二、代数方程求解

使用命令solve可以求解代数方程，如求下例方程组

　的解，命令为

[x,y]=solve（‘x^2+x*y+y-3=0,x^2-4*x-2*y+3=0’）

程序见范例程序fanli002。

参考程序fanli002:

代数方程求解

symsxy　%进入符号运算功能

f1=x^2+x*y+y-3　%函数f1

f2=x^2-4*x-2*y+3%函数f2

[x,y]=solve（'

x^2+x*y+y-3=0'

'

x^2-4*x-2*y+3=0'

）

%求解方程组

f1a=simplify（subs（f1））%用求解出的x,y检验方程1

f2a=simplify（subs（f2））%用求解出的x,y检验方程2

x=double（x）%将符号变量转换成浮点数

y=double（y）%将符号变量转换成浮点数

f1=subs（f1）%用浮点数x,y检验方程1

f2=subs（f2）%用浮点数x,y检验方程2

由solve求出的根是根的符号表达形式，是准确解。

命令simplify（f）表示化简，subs（f1）表示将求解出x，y代回f1中；

double是将符号变量转换成浮点数，是准确解x，y的近似值。

这从程序运行f1a=0，f2a=0，f1≠0，f2≠0可以确认。

三、符号矩阵运算

符号矩阵可以和数值矩阵一样进行运算，例如：

求矩阵特征值eig，求矩阵的逆inv等命令都支持符号运算。

设

计算其特征值eig（A），逆矩阵inv（A），程序见fanli003。

参考程序fanli003:

符号矩阵的特征值

symstreal　%定义为实型变量

A=[sin（t）-cos（t）;

cos（t）sin（t）]%定义矩阵A

B1=eig（A）%求矩阵A的特征值

B1=simple（B1）%化简A的特征值表达式

B2=inv（A）%求矩阵A的逆矩阵

B2=simple（B2）%化简A的逆矩阵表达式

C1=A*B2%检验A的逆矩阵

C1=simple（C1）%C1为单位矩阵

注意函数的输入方法，自变量用圆括号括起来。

四、微积分运算

设函数

，则MATLAB中微积分运算命令为

fiff（f）：

求函数f对自变量x的一阶导数；

diff（f，2）：

求函数f对自变量x的二阶导数；

int（f）：

求函数f的不定积分

例1.1，设

试计算其一阶，二阶导数，积分运算，并作出函数图象，见范例fanli004。

参考程序fanli004:

函数的微分与积分

symsx

f=1/（5+4*cos（x））

ezplot（f）%函数f的曲线

f1=diff（f）%函数f的一阶导数

figure,ezplot（f1）%函数f一阶导数的曲线

f2=diff（f,2）%函数f的二阶导数

figure,ezplot（f2）%函数f二阶导数的曲线

g=int（int（f2））%函数f的二阶导数f2的二重积分

figure,ezplot（g）%函数f2二重积分的曲线

e=f-g%二阶导数的二重积分与原函数的差

e=simple（e）

figure,ezplot（e）

程序中

ezplot（f）：

作函数

的图形，x的取值范围默认值为-2π<

x<

2π

fanli004的函数曲线

fanli004的一阶导函数曲线

fanli004的二阶导函数曲线

fanli004的二阶导函数的二重积分曲线

ezplot（f）是一个很有用的作图命令，它的其它应用形式，请查在线帮助。

细心的读者会发现，一个函数求二阶导数后再对二阶导数进行二重积分，其结果与原函数相差一个常数。

相当于纵坐标发生平移。

第二章　系统的时域特性

2-1　传递函数

一、传递函数的两种形式

传递函数通常表达成s的有理分式形式及零极点增益形式。

设传递函数

1．有理分式形式

分别将分子、分母中s多项式的系数按降幂排列成行矢量，缺项的系数用0补齐。

上述函数可表示为

num1=[21]%（注意：

方括号，同一行的各元素间留空格或逗号）。

den1=[1221]

syss1=tf（num1,den1）

运行后，返回传递函数

的形式。

这种形式不能直接进行符号运算！

2．零极点增益形式

[Z,P,K]=tf2zp（num1,den1）

sys2=zpk（Z,P,K）

返回零、极点、增益表达式，其Z，P分别将零点和极点表示成列向量，若无零点或极点用[]（空矩阵）代替。

运行得到

的

1点Z=-0.5

极点　P=-1，-0.5±

j0.866

增益　K=2

指令zp2tf（Z，P，K）将零极点增益变换成有理分式形式，见程序fanli005。

参考程序fanli005:

传递函数的有理分式及零极点增益模型

num1=[21]%传递函数的分子系数向量

den1=[1221]%传递函数的分母系数向量

sys1=tf（num1,den1）%传递函数的有理分式模型

[Z,P,K]=tf2zp（num1,den1）

%有理分式模型转换成零极点增益模型

[num2,den2]=zp2tf（Z,P,K）

%零极点增益模型转换成有理分式模型

sys2=zpk（Z,P,K）%传递函数的零极点增益模型

[A1,B1,C1,D1]=tf2ss（num1,den1）

%有理分式模型转换成状态空间模型

[A2,B2,C2,D2]=zp2ss（Z,P,K）

%零极点及增益模型转换成状态空间模型

[num1,den1]=ss2tf（A1,B1,C1,D1）

%状态空间模型转换成有理分式模型

[Z,P,K]=ss2zp（A2,B2,C2,D2）

%状态空间模型转换成零极点增益模型

程序中，命令tf2ss，zp2ss及ss2tf，ss2zp是状态空间模型与有理分式及零、极点、增益模型之间的相互转换。

二、传递函数框图的处理

用框图可以方便地表示传递函数的并联，串联及反馈。

为简洁，仅以有理分式模型为例。

1．并联

sysp=parallel（sys1,sys2）

[num,den]=parallel（num1,den1,num2,den2）

2．串联

syss=series（sys1,sys2）

[nums,dens]=series（num1,den1,num2,den2）

3．反馈

G1（s）

G2（s）

G1（s）G2（s）

1+G1（s）G2（s）G3（s）

G3（s）

sysc=feedback（syss,sys3,±

1）%默认值（-1）

[numc,denc]=feedback（nums,dens,num3,den3）

4．单位反馈

1+G1（s）G2（s）

sysd=feedback（syss,1）

[numd,dend]=feedback（nums,dens,1,1）%（单位反馈）

上面给出了同一指令的两种形式，相当于两套平行指令。

对于零极点增益形式，书写稍复杂一些，可先用zpk转换成系统形式，或用zp2tf转折换成有理分式形式后再进行框图化简操作。

三、简单函数的拉普拉斯变换

在MATLAB的符号功能中，可以对简单函数进行拉普拉斯正、逆变换。

拉氏正变换：

laplace（f（t））

拉氏逆变换：

ilaplace（L（s））

其中

为原函数，

为象函数。

命令格式参见fanli007。

参考程序fanli007:

拉普拉斯变换

symsstwabc

f1=sqrt（（b-a）^2+w^2）/w*exp（-a*t）*sin（w*t+atan（w/（b-a）））%原函数f1

L1=laplace（f1）%f1的拉氏变换（象函数）

L1=simple（L1）　%化简

f2=ilaplace（L1）　%L1的拉氏逆变换

f2=simple（f2）%化简

在MATLAB中使用laplace及ilaplace命令时，要注意象、原函数的符号，特别是对初相不等于零的振荡系统，运行结果常常同手册上的结果相差一个符号，这要注意函数表达式成立的条件。

保险的办法是再使用拉氏变换的初值定理确定象、原函数的符号。

2-2　系统时域特性曲线

在MATLAB中，当传递函数已知时，可以方便地求出系统的单位脉冲响应、单位阶跃响应等曲线。

一、系统的单位阶跃响应step

step有以下几种格式

step（sys）：

直接作出sys的单位阶跃响应曲线。

其中sys=tf（num,den）或sys=zpk（z,p,k），MATLAB自动决定响应时间。

step（sys,t）

设定响应时间的单位阶跃响应。

t可以设定为最大响应时间t=

t终值（秒），也可以设置为一个向量

t=0:

△t:

t终值

注意冒号的使用。

它产生一个从0到t终值的行矢量，元素之间的间隔为△t。

step（sys1,sys2,…,sysn）

在同一幅图上画出几个系统的单位阶跃响应。

[y,t]=step（sys）；

命令输出对应时刻t的各个单位阶跃响应值，不画图。

语句后的分号控制数据的屏幕显示。

如果要查看机器计算了多少个数据，可以使用命令

size（y）

得出的结果也表明数据作为列矢量的行数。

要将计算出的[y,t]作成曲线，使用一般的作图命令

plot（t,y）

plot后面跟的两个参数横坐标在前，纵坐标在后。

参考程序见fanli008：

参考程序fanli008:

系统的单位阶跃响应

num1=[42]

den1=[2814114]

sys1=tf（num1,den1）%系统G1（s）

num2=[21]

den2=[14673]

sys2=tf（num2,den2）%系统G2（s）

[y1,t1]=step（sys1）;

%系统G1（s）的单位阶跃响应数据

[y2,t2]=step（sys2）;

%系统G2（s）的单位阶跃响应数据

step（sys1,sys2）%系统G1（s）、G2（s）的单位阶跃响曲线

figure,step（sys1,sys2,20）

%系统G1（s）、G2（s）在自选时间（20秒）内的单位阶跃响曲线

figure,plot（t1,y1）%系统G1（s）的单位阶跃响应曲线

figure,plot（t2,y2）%系统G2（s）的单位阶跃响应曲线

fanli008:

step（sys1,sys2,t）单位阶跃曲线

二、系统的单位脉冲响应

impulse命令格式与单位阶跃响应step的命令格式完全相同，只需将语句中的step用impulse代替即可。

针对同样的系统，其单位脉冲响应的参考程序见fanli009。

参考程序fanli009:

系统的单位脉冲响应

sys1=tf（num1,den1）

sys2=tf（num2,den2）

[y1,t1]=impulse（sys1）;

%系统G1（s）的单位脉冲响应数据

[y2,t2]=impulse（sys2）;

%系统G2（s）的单位脉冲响应数据

impulse（sys1,sys2）%系统G1（s）、G2（s）的单位脉冲响应曲线

figure,impulse（sys1,sys2,20）

%系统G1（s）、G2（s）在自选时间（20秒）内的单位脉冲响应曲线

figure,plot（t1,y1）%系统G1（s）的单位脉冲响应曲线

figure,plot（t2,y2）%系统G2（s）的单位脉冲响应曲线

holdon,step（sys2）%系统G2（s）的单位阶跃和单位脉冲响应曲线

fanli009:

impulse（sys1,sys2）单位脉冲响应曲线

程序的最后一句holdon是当前图形保护模式。

当要将新图形作在当前图形上时，必须使用holdon。

而figure的含意是另开一个新的图形窗口，如果不用figure或holdon，则新的图形会占用原图形窗口，始终只保留一个最新的图形窗口。

三、一阶系统及二阶系统的时域特性

一阶系统及二阶系统是最基本也是最重要的系统，高阶系统总可以视为由若干个一阶和（或）二阶系统组合构成。

1．一阶系统（设增益为1）

影响系统特性的参数是其时间常数T，T越大，系统惯性越大，响应越慢。

参考程序fanli010给出了T＝0.4,1.2,2.0,2.8,3.6,4,4六条单位阶跃响应曲线。

参考程序fanli010:

一阶系统的单位阶跃响应曲线

num=1;

i=1;

fordel=0.1:

0.2:

1.1%一阶系统时间常数递增间隔

den=[4*del1];

%一阶系统分母向量

step（tf（num,den））%一阶系统单位阶跃响应曲线

holdon,%不同时间常数的一阶系统单位阶跃响应曲线簇

i=i+1;

end

同理，可以作出对应的单位脉冲响应曲线，参考程序fanli011。

参考程序fanli011:

一阶系统的单位脉冲响应曲线

fanli010一阶系统时间常数对单位阶跃响应的影响

fanli011一阶系统时间常数对单位脉冲响应的影响

1.1

impulse（tf（num,den）,10）%一阶系统单位阶脉冲应曲线

holdon,%不同时间常数的一阶系统单位脉冲响应曲线簇

注意MATLAB中for语句的结构。

读者可以改变不同的增益，看看图形有何变化。

2．二阶系统（设0<

ξ<

1）

设二阶系统为

二阶系统的特征参数为固有频率

及阻尼比ξ。

当

增大，系统振动频率加快，振荡加剧；

而随着ξ减小，系统振荡加剧，振荡峰尖锐。

参考程序fanli012示出了当ξ＝0.5,

=1,2,3,4,5rad/s时的间接阶跃曲线簇。

参考程序fanli012:

不同固有频率的二阶系统的单位阶跃响应曲线（ξ=0.5）

fordel=1:

1:

5;

%二阶系统固有频率递增间隔

num=del^2;

%二阶系统传递函数分子系数向量

den=[1deldel^2];

%不同固有频率的二阶系统分母系数向量

step（tf（num,den）,6）%二阶系统单位阶跃响应曲线

holdon,%不同固有频率的二阶系统单位阶跃响应曲线簇

fanli012二阶系统固有频率对单位阶跃响应的影响

参考程序fanli013示出了同一二阶系统的单位脉冲响应曲线簇。

参考程序fanli013:

不同固有频率的二阶系统的单位脉冲响应曲线（ξ=0.5）

impulse（tf（num,den）,6）%二阶系统单位脉冲响应曲线

holdon,%不同固有频率的二阶系统单位脉冲响应曲线簇

fanli013二阶系统固有频率对单位脉冲响应的影响

参考程序fanlio14示出了当

＝1，ξ＝0.1，0.3，0.5，0.7，0.9的二阶系统的单位阶跃响应曲线簇。

参考程序fanli014:

不同阻尼比的二阶系统的单位阶跃响应曲线（

=1）

0.9;

%二阶系统阻尼比ξ递增间隔

num=1;

den