三角函数高考题及练习题(含答案).doc
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三角函数高考题及练习题(含答案)
1.掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质;会用“五点法”作出正弦函数及余弦函数的图象;掌握函数y=Asin(ωx+φ)的图象及性质.
2.高考试题中,三角函数题相对比较传统,位置靠前,通常是以简单题形式出现,因此在本讲复习中要注重三角知识的基础性,特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调性、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等).
3.三角函数是每年高考的必考内容,多数为基础题,难度属中档偏易.这几年的高考加强了对三角函数定义、图象和性质的考查.在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊方法,如函数法、待定系数法、数形结合法等.
1.函数y=2sin2-1是最小正周期为________的________(填“奇”或“偶”)函数.
答案:
π 奇
解析:
y=-cos=-sin2x.
2.函数f(x)=lgx-sinx的零点个数为________.
答案:
3
解析:
在(0,+∞)内作出函数y=lgx、y=sinx的图象,即可得到答案.
3.函数y=2sin(3x+φ),的一条对称轴为x=,则φ=________.
答案:
解析:
由已知可得3×+φ=kπ+,k∈Z,即φ=kπ+,k∈Z.因为|φ|<,所以φ=.
4.若f(x)=2sinωx(0<ω<1)在区间上的最大值是,则ω=________.
答案:
解析:
由0≤x≤,得0≤ωx≤<,则f(x)在上单调递增,且在这个区间上的最大值是,所以2sin=,且0<<,所以=,解得ω=.
题型二三角函数定义及应用问题
例1设函数f(θ)=sinθ+cosθ,其中角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边经过点P(x,y),且0≤θ≤π.
(1)若点P的坐标是,求f(θ)的值;
(2)若点P(x,y)为平面区域上的一个动点,试确定角θ的取值范围,并求函数f(θ)的最小值和最大值.
解:
(1)根据三角函数定义得sinθ=,cosθ=,∴f(θ)=2.(本题也可以根据定义及角的范围得角θ=,从而求出f(θ)=2).
(2)在直角坐标系中画出可行域知0≤θ≤,又f(θ)=sinθ+cosθ=2sin,∴当θ=0,f(θ)min=1;当θ=,f(θ)max=2.
(注:
注意条件,使用三角函数的定义,一般情况下,研究三角函数的周期、最值、单调性及有关计算等问题时,常可以先将函数化简变形为y=Asin(ωx+φ)的形式)
如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α、β,它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点,已知A、B的横坐标分别为、.求:
(1)tan(α+β)的值;
(2)α+2β的值.
解:
由题意得cosα=,cosβ=,α、β∈,所以sinα==,sinβ==,
因此tanα=7,tanβ=.
(1)tan(α+β)===-3.
(2)tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]==-1.
又α+2β∈,所以α+2β=.
题型二三角函数的图象与解析式问题
例2函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A、ω、φ是常数,A>0,ω>0)的部分图象如图所示.
(1)求f(0)的值;
(2)若0<φ<π,求函数f(x)在区间上的取值范围.
解:
(1)由题图可知A=,
∵=-=,∴ω=2.又2×+φ=2kπ+,
∴φ=2kπ+(k∈Z),
∴f(0)=sin=.
(2)φ=,f(x)=sin.因为0≤x≤,所以≤2x+≤π,所以0≤sin≤1,即f(x)的取值范围为[0,].
(注:
本题主要考查正弦、余弦、正切函数及y=Asin(ωx+φ)的图象与性质以及诱导公式,运用数形结合思想,属于中档题)
已知函数f(x)=Asinωx+Bcosωx(A、B、ω是常数,ω>0)的最小正周期为2,并且当x=时,f(x)max=2.
(1)求f(x)的解析式;
(2)在闭区间上是否存在f(x)的对称轴?
如果存在,求出其对称轴方程;如果不存在,请说明理由.
解:
(1)因为f(x)=sin(ωx+φ),由它的最小正周期为2,知=2,ω=π.又当x=时,f(x)max=2,知π+φ=2kπ+(k∈Z),即φ=2kπ+(k∈Z),所以f(x)=2sin=2sin(k∈Z).
故f(x)的解析式为f(x)=2sin.
(2)当垂直于x轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时,该直线就是正弦曲线的对称轴,令πx+=kπ+(k∈Z),解得x=k+(k∈Z),由≤k+≤,解得≤k≤.又k∈Z,知k=5,由此可知在闭区间上存在f(x)的对称轴,其方程为x=.
题型三三角函数的性质与图象的移动问题
例3把函数f(x)=sin2x-2sinxcosx+3cos2x的图象沿x轴向左平移m个单位(m>0),所得函数的图象关于直线x=对称.
(1)求m的最小值;
(2)证明:
当x∈时,经过函数f(x)图象上任意两点的直线的斜率恒为负数;
(3)设x1,x2∈(0,π),x1≠x2,且f(x1)=f(x2)=1,求x1+x2的值.
(1)解:
f(x)=sin2x-2sinxcosx+3cos2x=-sin2x+3·=cos2x-sin2x+2=cos+2.
因为将f(x)的图象沿x轴向左平移m个单位(m>0),得到g(x)=+2的图象,又g(x)的图象关于直线x=对称,
所以2+=kπ,即m=π(k∈Z).
因为m>0,所以m的最小值为.
(2)证明:
因为x∈,所以-4π<2x+<-,所以f(x)在上是减函数.所以当x1、x2∈,且x1
(3)解:
令f(x)=1,所以cos=-.
因为x∈(0,π),所以2x+∈.
所以2x+=或2x+=,即x=或x=.
因为x1、x2∈(0,π),x1≠x2,且f(x1)=f(x2)=1,所以x1+x2=+=
已知函数f(x)=2sinωx,其中常数ω>0.
(1)若y=f(x)在上单调递增,求ω的取值范围;
(2)令ω=2,将函数y=f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象,区间[a,b](a,b∈R且a
y=g(x)在[a,b]上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的[a,b]中,求b-a的最小值.
解:
(1)因为ω>0,根据题意有
0<ω≤.
(2)f(x)=2sin2x,g(x)=2sin2+1=2sin+1,g(x)=0sin=-x=kπ-或x=kπ-π,k∈Z,即g(x)的零点相邻间隔依次为和,故若y=g(x)在[a,b]上至少含有30个零点,则b-a的最小值为14×+15×=.
已知函数f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0<φ<π,ω>0)为偶函数,且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.
(1)求f的值;
(2)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位后,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)的单调递减区间.
解:
(1)f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)=2=2sin.因为f(x)为偶函数,所以对x∈R,f(-x)=f(x)恒成立,
因此sin=sin,
即-sinωxcos+cosωxsin=sinωxcos(φ-)+cosωxsin,
整理得sinωxcos=0.因为ω>0,且x∈R,
所以cos=0.又0<φ<π,故φ-=.
所以f(x)=2sin=2cosωx.由题意得=2×,所以ω=2,故f(x)=2cos2x,因此f=2cos=.
(2)将f(x)的图象向右平移个单位后,得到f的图象,所以g(x)=f=2cos=2cos.当2kπ≤2x-≤2kπ+π(k∈Z),即kπ+≤x≤kπ+(k∈Z)时,g(x)单调递减,因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z).
题型四三角函数图象及性质、三角公式综合运用
例4已知函数f(x)=2sin2-cos2x-1,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若h(x)=f(x+t)的图象关于点对称,且t∈(0,π),求t的值;
(3)当x∈时,不等式|f(x)-m|<3恒成立,求实数m的取值范围.
解:
(1)因为f(x)=-cos-cos2x=2sin,故f(x)的最小正周期为π.
(2)h(x)=2sin.令2×+2t-=kπ(k∈Z),又t∈(0,π),故t=或.
(3)当x∈时,2x-∈,
∴f(x)∈[1,2].又|f(x)-m|<3,即f(x)-3<m<f(x)+3,
∴2-3<m<1+3,即-1<m<4.
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π),在同一周期内,当x=时,f(x)取得最大值3;当x=π时,f(x)取得最小值-3.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的单调递减区间;
(3)若x∈时,函数h(x)=2f(x)+1-m有两个零点,求实数m的取值范围.
解:
(1)由题意,A=3,T=2=π,ω==2.
由2×+φ=+2kπ得φ=+2kπ,k∈Z.
又-π<φ<π,∴φ=,∴f(x)=3sin.
(2)由+2kπ≤2x+≤+2kπ,得+2kπ≤2x≤+2kπ,即+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
∴函数f(x)的单调递减区间为,k∈Z.
(3)由题意知,方程sin=在上有两个根.
∵x∈,∴2x+∈.
∴∈,∴m∈[1-3,7).
1.(2013·江西卷)设f(x)=sin3x+cos3x,若对任意实数x都有|f(x)|≤a,则实数a的取值范围是________.
答案:
a≥2
解析:
f(x)=sin3x+cos3x=2sin,|f(x)|≤2,所以a≥2.
2.(2013·天津卷)函数f(x)=sin在区间上的最小值是________.
答案:
-
3.(2013·全国卷)函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移个单位后,与函数y=sin的图象重合,则|φ|=________.
答案:
4.(2014·北京卷)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A、ω、φ是常数,A>0,ω>0).若f(x)在区间上具有单调性,且f=f=-f,则f(x)的最小正周期为________.
答案:
π
解析:
由f(x)在区间上具有单调性,f=-f知,函数f(x)的对称中心为,函数f(x)的对称轴为直线x==,设函数f(x)的最小正周期为T,所以T≥-,即T≥,所以-=,解得T=π.
5.(2014·福建卷)已知函数f(x)=cosx(sinx+cosx)-.
(1)若0<α<,且sinα=,求f(α)的值;
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.
解:
(解法1)
(1)因为0<α<,sinα=,所以cosα=.
所以f(α)=-=.
(2)因为f(x)=sinxcosx+cos2x-=sin2x+-=sin2x+cos2x=sin,所以T==π.由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(解法2)f(x)=sinxcosx+cos2x-=sin2x+-=sin2x+cos2x=sin.
(1)因为0<α<,sinα=,所以α=.
从而f(α)=sin=sin=.
(2)T==π.
由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
6.(2013·北
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