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500÷
2=250
第四次:
250÷
2=125
第五次:
125÷
2=62……1
第六次:
62÷
2=31
第七次:
31÷
2=15……1
第八次:
15÷
2=7……1
第九次:
7÷
2=3……1
第十次:
3÷
2=1……1
所以共需报10次数。
那么,最后留下的同学在一开始时的编号应是:
2×
…×
2=1024(号)
例4平面上有10个圆,最多能把平面分成几部分?
直接画出10个圆不是好办法,先考虑一
些简单情况。
一个圆最多将平面分为2部分;
二个圆最多将平面分为4部分;
三个圆最多将平面分为8部分;
(如右图)
当第二个圆在第一个圆的基础上加上去时,第二个圆与第一个圆有2个交点,这两个交点将新加的圆弧分为2段,其中每一段圆弧都将所在平面的一分为二,所以所分平面部分的数在原有的2部分的基础上增添了2部分。
因此,二个圆最多将平面分为2+2=4部分。
同样道理,三个圆最多分平面的部分数是二个圆分平面为4部分的基础上增加4部分。
因此,三个圆最多将平面分为2+2+4=8部分。
由此不难推出:
画第10个圆时,与前9个圆最多有9×
2=18个交点,第10个圆的圆弧被分成18段,也就是增加了18个部分。
因此,10个圆最多将平面分成的部分数为:
2+2+4+6+…+18
=2+2×
(1+2+3+…+9)
9×
(9+1)÷
2
=92
类似的分析,我们可以得到,n个圆最多将平面分成的部分数为:
2+2+4+6+…+2(n-1)
[1+2+3+…+(n-1)]
=2+n(n-1)
=n2-n+2
例5有8块相同的巧克力糖,从今天开始每天至少吃一块,最多吃两块,吃完为止,共有多少种不同的吃法?
为叙述方便起见,设n块糖有an种不同的吃法。
如果n=1,那么只有1种吃法,所以a1=1;
如果n=2,那么有2种吃法,每天吃1块和每天吃2块,所以a2=2;
下面研究n≥3的情况,我们把吃糖的情况分为两种情况讨论:
如果第一天吃1块,那么还有n-1块,有an-1种不同吃法。
如果第一天吃2块,那么还有n-2块,有an-2种不同吃法。
根据加法原理得:
an=an-1+an-2(n≥3),这样我们可以这个算出a3、a4、a5、…a8现列表如下:
n
1
3
4
5
6
7
8
an
13
21
34
所以,8块相同的巧克力糖有34种不同的吃法。
例64个人进行篮球训练,互相传球接球,要求每个人接球后马上传给别人,开始由甲发球,并作为第一次传球,第五次传球后,球又回到甲手中,问有多少种传球方法?
设第n次传球后,球又回到甲手中的传球方法有an种。
可以想象前n-1次传球,如果每一次传球都任选其它三人中的一人进行传球,也就是每次传球都有3种可能,由乘法原理,共有
传球方法。
这些传球方式并不是都符合要求的,它们可以分为两类,一类是第n-1次恰好传到甲手中,这有an-1种传球方法,它们不符合要求,因为这样第n次无法再把球传给甲;
另一类是第n-1次传球,球不在甲手中,第n次持球人再将球传给甲,有an种传球方法。
根据加法原理,有
an-1+an=3×
3×
3=3n-1
因此有an=3n-1-an-1
由于甲是发球者,一次传球后球又回到甲手中的传球方法是不存在的,所以a1=0。
利用递推关系可以得到:
a2=3-0=3
a3=3×
3-3=6
a4=3×
3-6=21
a5=3×
3-21=60
所以经过5次传球后,球仍回到甲手中的传球方法有60种。
练习
⒈有500位学生编成一排,从左到右1、2、3报数,凡报到1和2的离队,报3的留下,象左看齐再重复同样的报数过程,如此进行若干此后,只剩下两位同学。
问这两位同学在开始的队列中,从左到右数,分别在第几个?
⒉平面上有一条直线,把平面分成两部分,十条直线最多可把平面分成几部分?
⒈最后两人在最开始分别排在第243个和第486个。
⒉十条直线最多可把平面分成56部分。
一、准备题
线段AB上共有10个点(包括两个端点),那么这条线段上一共有多少条不同的线段?
分析与解答:
从简单情况研究起:
AB上共有2个点,有线段:
1条
AB上共有3个点,有线段:
1+2=3(条)
AB上共有4个点,有线段:
1+2+3=6(条)
AB上共有5个点,有线段:
1+2+3+4=10(条)
AB上共有10个点,有线段:
1+2+3+4+…+9=45(条)
一般地,AB上共有n个点,有线段:
1+2+3+4+…+(n-1)=n×
(n-1)÷
即:
线段数=点数×
(点数-1)÷
如果我们通过计算找到答案比较麻烦,因此我们先从最简单的情况入手。
9×
9=81,有1个奇数;
99×
99=99×
(100-1)=9900-99=9801,有2个奇数;
999×
999=999×
(1000-1)=99900-999=998001,有3个奇数;
从而可知,999…999×
999…999的乘积中共有10个奇数。
二、例题讲解:
例1
的乘积中有多少个数字是奇数?
一、时钟问题
大家已经认识了钟表。
钟表上的分针、时针在不停息地转动着,两针有时相互重合,有时相互垂直,有时又成一条直线,而求时针、分针形成的各种不同位置所需的时间,就构成了饶有兴趣的时钟问题。
这一讲让我们一起来研究钟面上的数学问题。
钟面上的分针每小时走60小格(后面简称“格”),而时针每小时走5小格;
分针每分钟走1小格,而时针每分钟走
小格,即
小格。
在4点的时候,分针在时针后面5×
4=20(格),而每分钟分针比时针多走1-
=
(格)。
因此,时针与分针重合所需的时间是(20÷
)分钟。
综合列式是
(5×
4)÷
(1-
)=21
(分)
答:
经过21
分钟,时针正好与分针重合。
例1
现在是4点整,经过多少分钟,时针正好与分针重合?
例2
在7点到8点之间,时针与分针在什么时候互相垂直?
在7点的时候,两针相距5×
7=35(格)。
分针在时针前面15格,或者在时针后面15格,两针都互相垂直。
因此,本题有两个答案。
(1)当分针走到时针前面15格时,两针互相垂直。
所需的时间是
(5×
7+15)÷
)=54
(2)当分针走到时针后面15格时,两针互相垂直。
7-15)÷
(1-
答:
在7点54
分和7点21
分时,两针互相垂直。
求时针、分针形成的各种不同位置(重合、成直线、成直角等)所需的时间,主要依据行程问题中的“追及问题”的计算原理。
因此,时钟问题又称钟面上的行程问题。
例3
三点与四点之间的什么时刻,钟面上时针和分针在“3”的两旁并且与“3”的距离相等?
三点钟时,两针相距5×
3=15(格)。
设符合题目要求时,分针走了Х格,依题意可得方程:
15-Х=
15=
+Х
15=
Х=
两针距“3”等距的时刻为3点
分。
还可以这样想:
假设从3点整起时针逆向转动,将求两针与“3”字等距的时间,转化为求两针相遇的时间。
(1+
)=
例4
某科学家设计了一只怪钟,这只钟每昼夜是10小时,每小时是100分钟。
当这只怪钟显示5点整时,实际是中午12点。
那么实际下午4点48分时,这只怪钟显示的是什么时间?
怪钟每天是100×
10=1000(分),实际每天是60×
24=1440(分),
每天实际的时间是怪钟时间的1440÷
1000=1.44倍。
实际12点至下午4点48分,间隔的时间是60×
4+48=288(分),相当于怪钟的288÷
1.44=200(分),即200÷
100=2(时)。
因此,这只怪钟显示的时间是5+2=7(时)。
例5
一只奇妙的钟,一圈共有20个格,每过7分钟,指针跳动一次,而每跳动一次就要跳过9个格,今晨8点整时,指针恰好从0跳到9,问昨天晚上8点整时,指针指着几?
从昨天晚上8点到今天早晨8点,共经过60×
12=720(分),这只钟共跳过720÷
7=102(次)…6(分),共跳过9×
102=918(格),即918÷
20=45(周)…18(格),20-18=2(格),即指针指着2。
例6
7点几分时,分针落后时针100度角?
在钟面上分针旋转一周是360度。
因此,分针每分钟旋转的角度是360÷
60=6(度),时针每分钟旋转的角度是360÷
(60×
12)=0.5(度)。
7点整时,时针与分针的形成的角度是360×
=210(度),要想让分针落后时针100度,还需要追上210-100=110(度)。
所需要的时间是
110÷
(6-0.5)=20(分)
7点20分时,分针落后时针100度角。
例7
8点28分,时针与分针所夹的锐角是多少度?
分针走28分旋转的角度是6×
28=168(度),时针走28分旋转的角度是0.5×
28=14(度),8点整分针与时针夹角是360×
=240(度),
所以,8点28分,时针与分针所夹的锐角是
240-168+14=86(度)。
时针与分针所夹的锐角86度。
1、小亮星期天上午在9点与10点之间开始写作业,当时钟面上时针与分针恰好成一直线。
作业写完时,发现时针与分针刚好重合,小亮写作业共用多少分钟?
2、7点30分、9点38分时,时针与分针构成的锐角分别是多少度?
3、小王家有一个闹钟,每小时比标准时间慢30秒。
晚上8点整时,小王将闹钟对准,他想第二天早上6点整起床,那么他应将闹钟的铃定在几点几分?
4、有一个时钟,每小时比标准时间慢25秒,今年3月20日中午12点将其调准,那么此钟下一次指示正确时间是几月几日几点?
5、针指在2点整,再过多少分钟时针和分针第二次重合?
6、小明晚上9点整将手表对准,可第二天早晨8点到校时却迟到了10分钟,你知道小明的手表每小时慢几分钟吗?
(1)
分
(2)45度,61度
(3)5点55分
(4)5月31日12点
(5)
(6)
分
三、商品出售问题
随着我国经济的迅速发展,人们越来越多地要和商品打交道,商品出售问题讲的是百分数在商品经济中的应用。
一、准备题
1.某商品买入价(成本)是50元,以70元售出,获得利润的百分数是多少?
解:
(70-50)÷
50=40%利润百分数=(售价-成本)成本100%
2.某商品成本是50元,按40%利润出售,这件商品的售价是多少元?
50×
(1+40%)=70(元)售价=成本(1+利润百分数)
3.某商品按40%利润出售,售价是70元,这件商品的成本是多少元?
70÷
(1+40%)=50(元成本=售价(1+利润百分数)
商家对商品的定价往往是按照商家期望的利润来决定,因此定价=成本(1+期望利润百分数)定价高了,商品可能卖不出去,就要打折出售,因此售价=定价折扣百分数
二、例题讲解
[分析及答案]
由题意可得,成本(1+20%)88%=成本+84
设商品的成本是χ元。
列方程,得(1+20%)88%χ=χ+84 χ=1500
这件商品的成本是1500元。
例2:
张先生向商店订购某一商品。
每件定价100元,共订购60件。
张先生对商店经理说:
“如果你肯减价,每减价1元,我就多订购3件。
”商店经理算了一下,如果减价4%,由于张先生多订购,仍可获得原来一样多的总利润。
问这种商品的成本是多少?
[分析与解答]
每件商品售价减少了1004%=4(元),张先生多订购34=12(件)商品。
商店卖出的60件商品共少得利润4×
60=240(元),这要从多订购的12件商品所获得利润来弥补。
因此,多订购的12件商品,每件应获得利润240÷
12=20(元),
这种商品的成本是100-4-20=76(元)。
这种商品的成本是76元。
例3:
某书店出售一种挂历,每售出1本可获得18元的利润。
售出一部分后开始每本减
价10元出售,直到全部售完。
已知减价出售的本数是原价出售本数的2/3。
售完后书店共获得利润2870元。
这批挂历一共多少本?
[分析及解答]
将这批挂历分组每组5本,其中减价的2本,原价的3本。
每组可获得利润18×
3+(18-10)×
2=70(元),共有2780÷
70=41(组),这批挂历一共有5×
41=2(本)。
,这批挂历一共有205本。
例4:
某商品按原定价出售,每件利润为成本的25%,后来按原定价的90%出售,结果每天售出的件数比降价前增加了1.5倍,每天经营这种商品的总利润比降价前增加了百分之几?
[分析与解答]
用数值代入法解。
设这种商品的成本为100元,原来每天卖2件,现在每天卖2+2×
1.5=5(件),原来每件商品的利润是100×
25%=25(元),每天的利润是25×
2=50(元)。
现在每件商品的利润是100×
(1+25%)×
90%-100=12.5(元),每天的利润是12.5×
5=62.5(元)。
比降价前增加了(62.5-50)÷
50=25%。
:
商品的总利润比降价前增加了25%
例5:
如果将进货单价为40元的商品按50元售出,那么每个的利润是10元,但只能卖出500个。
当这种商品每个涨价1元时,其销售量就减少10个。
为了赚得最多的利润,售价应定为多少?
设每个商品涨价χ元。
则总共可获利
(10+χ)×
(500-10χ)=10×
(50-χ)
注意到(10+χ)+(50-χ)=60是个定值,
当10+χ=50-χ,即χ=20时,(10+χ)×
(500-10χ)的乘积最大,也就是获得的利润最多。
此时,每个商品的售价为50+20=70(元)。
售价应定为70元。
练习
1.一台收录机如果按原售价的“九折”出售可获利70元,如果按原售价的“九五”折出售可获利100元,那么这台收录机的进货价格是多少元?
2.水果商店以每千克2.6元购进一批苹果,又以每千克3.4元卖出,当卖出这批苹果的5/6时,不仅收回了购进这批苹果所付的货款,而且还获利56元。
这批苹果共有多少千克?
3.某服装厂生产一种服装,每件的成本是144元,售价是200元,一位服装经销商定购了120件这种服装,并提出:
“如果每件的售价每降低2元,我就多定购6件”。
按经销商的要求,这个服装厂售出多少件时可以获得最大利润?
这个最大利润是多少元?
4.公园只售两种门票:
个人票每张5元,10人一张的团体票每张30元,购买10张以上团体票者可优惠10%
(1)甲单位45人逛公园,按以上规定买票,最少应付多少钱?
(2)乙单位208人逛公园,按以上规定买票,最少应付多少钱?
5.某商品成本72元,原来按定价出售,每天可售出100件,每件利润为成本的25%,后来按定价的90%出售,每天销售量提高到原来的2.5倍,照这样计算,每天的利润比原来增加多少元?
(1)470元
(2)240千克
(3)144件,6912元
(4)145元,567元
(5)450元
四、工程问题
在日常生活中,做某一件工作,制造某种产品,完成某项工程等等,都要涉及到工作效率、工作时间和工作量这三个量,它们之间的基本数量关系是
工作效率×
工作时间=工作总量
在小学数学中,研究这三个数量关系的应用题,我们都叫“工程问题”。
工程问题中的最基本的问题,大家已经学过,这一讲向大家介绍的是较复杂的工程问题。
例1:
一件工作,甲单独做12小时完成,乙单独做9小时可以完成。
如果按照甲先乙后的顺序,每人每次1小时轮流进行,完成这件工作需要几小时?
设这件工作为1,按照甲先乙后的顺序,每人每次1小时轮流进行,甲、乙各工作1小时,完成这件工作的
,甲、乙这样轮流进行了5次即10小时后,还剩下这件工作的
剩下的工作由甲来完成,还需要
÷
,因此完成这件工作需要10
小时。
完成这件工作需要10
小时
例2:
水池上装有甲、乙两个大小不同的水龙头,单开甲龙头2小时可以将水池注满,单开乙水龙头4小时可排干一池的水,甲乙两个水龙头同时打开,几小时后水池的水可注满?
一份稿件,甲、乙、丙三人单独打各需20、24、30小时。
现在三人合打,但甲因中途另有任务提前撤出,结果用12小时全部完成。
那么,甲只打了几小时?
设打这份稿件的总工作量是1。
甲、乙、丙三人的工作效率分别是
。
甲中途撤出,乙、丙二人始终在打这份稿件,乙、丙12小时打了这份稿件的
,还剩下这份稿件的
,这是甲打的。
所以,甲只打了
(时)。
甲只打了2小时。
想一想,这道题还可以怎样解答?
甲队、乙队、丙队三队合挖一条水渠,甲队和乙队合挖5天只挖了水渠的
;
乙队和丙队合挖2天挖了余下的
,余下的又由甲队丙队合挖了5天才挖完。
甲队、乙队、丙队单独挖各需几天?
例5:
甲、乙、丙三个工程队要完成A、B两项工程,B工程的工作量比A工程多
如果让甲、乙、丙三队单独干,完成A工程所需时间分别为20、24、30天。
现在让甲队做A工程,乙队做B工程,为了同时完成这两项工程,丙队先与乙队合做B工程若干天,然后再与甲队合做A工程若干天,问丙队与乙队合做了多少天?
如果把A工程的工作量看作单位1,那么B工程的工作量应该是1
,甲、乙、丙三个队一共要完成的工作总量是2
要完成A、B两项工程,甲、乙、丙三队需要做
由题意可知,丙队与乙队合做的是B工程,工作量是1
乙队18天完成B工程
×
18,剩下的由丙队完成需要(1
-
18)÷
=15(天)
丙队与乙队合做了15天。
1、一批货物,A、B两辆汽车合运6天能运完这批货物的,若单独运,A车运完这批货物的与B车运完这批货物的
所用的时间相等。
若单独运,A、B两车各需几天运完?
2、有一批机器零件,甲单独做需17天,比乙单独做多用了1天,两人合作8天后,剩下的420个零件由甲单独制作,问甲一共制作了多少个零件?
甲一共用了多少天?
3、水池上有甲、乙两个水管,齐开两个水管12小时注满水池,若甲管开了5小时,乙管开了6小时,只注了水池的
若单独开甲或乙各需几小时注满水池?
4、一件工程,甲单独做10天完成,乙单独做30天完成,现在两队合作,其间甲队休息了2天,乙队休息了8天(不存在两队同一天休息)。
问开始到完工共用了多少天时间?
5、有甲乙两项工作,张单独完成甲工作要10天,单独完成乙工作要15天,李单独完成甲工作要8天,单独完成乙工作要
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