全国大学生数学建模竞赛A题一等奖论文Word文档下载推荐.docx
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2.假设一定时期内A出版社的经营正常,不会出现经营不善的情况,而且教材出版行业的市场运行正常。
3.假设每年各分社按照总社所分配的实际书号数计算的销售量(附件3)为当年的实际销售量。
4.假定同一课程不同书目价格差别不大,同时销售量相近。
3.2符号的说明
表3.1符号的说明
符号
说明
各个分社的强势总值
A出版社书本的利润率
稳定系数
每个分社所分得的书号数
2006年预测的第i个分社单位书号的销售量
第i个分社书本的平均价格
第i个分社申请的书号数
第i个分社第j个部门的人数
第i个分社第j个部门的工作能力
强势系数
第j项指标下第i个方案的指标比重
指标j的熵值
第j项指标的差异系数
第j项指标下第i个方案的熵权值
第i个分社的利润
4模型的建立与求解
4.1问题的总体分析
首先对题目进行分析,可以确定该题是一个优化预测的问题。
其中本题给出前5年的相关数据的量相当大,所以数据的统计分析就是一个难点,也是解决本题的一个关键。
如何从大量的数据当中获得需要的信息,是本题要做的一个重要工作。
本题的总目标是2006年的预计销售利润最大和考虑长远的发展战略。
该问题的解决主要分为两个步骤:
1)总出版社根据各分出版社提供的信息将总数一定的书号数分配到各个分社,也就是将总社的书号数分为9部分,关键是确立分配的标准与原则;
2)分社再根据自己各社的状况对各课程的书号数进行具体的定量分配。
两个步骤的目的就是希望达到利润最大。
4.2步骤1模型的建立与求解
总体思路:
总社将书号数分配到各个分社,首先就应该以9个分社的总利润为目标,各个分社所分得的书号数为决策变量。
利用附件的数据对目标函数进行约束,要求目标所得的利润达到最大,最后用Lingo进行求解。
总体的思路比较明了,也由于数据量的庞大,在模型的求解当中会比较麻烦,还需要建立另外的模型对目标函数中的某些量进行预测计算。
在分配书号使利润达到最大的情况下,必须要体现的一点就是加强对强势产品的支持力度来优化资源配置。
也就要确立强势产品的定义,它与哪些因素有关,定出一个标准来对强势产品进行度量。
4.2.1模型的建立
由上面的分析我们对步骤1首先建立一个单目标的优化模型。
在这里我们引入了一个强势的概念。
所谓强势是指反映各分出版社的市场占有率、满意度、市场排位等的一个综合指标。
目标函数为9个分社的强势值Z,要使得Z的值达到最大,在目标函数当中我们要体现对强势出版社的支持力度来优化资源的配置,在这当中我们引入一个强势系数
,以
的大小来体现出强势产品,其中,运用熵权法进行确定熵权值
。
每个分社的强势值为该分社对应的强势系数
乘以所分得的书号数
目标函数表达式如下:
(1)
其中决策变量为每个分社2006年所分得的书号数目
对目标函数的约束条件首先为总的书号数是一定的,为500。
(2)
题目要求每个分出版社所分得的书号数不得小于各分社申请总数的一半,即
(3)
人力资源对目标的约束,即每个分社每年能完成的书号数有一个上限,上限的确定为各分社三个部门每年能完成书号数的最小值,即
(4)
4.2.2模型的求解
对于该模型的求解,我们首先要计算出目标函数中的
,这样才能运用Lingo软件求出目标函数的最优解。
a)附件2的数据处理
由于附件2的数据庞大,我们必须对其数据进行压缩、精简,剔除一些和题意无关的数据,提取出我们需要的信息。
首先我们要对附件2进行处理,方法如下:
1.将附件2中的出版社代号为P115的全部数据提取出来,也就是将A出版社
的全部数据提取出来,得到2001-2005这5年A出版社的全部统计数据。
2.Q2f栏为教材的获得方式,由于本题考虑的是从A出版社出版的书本,所以在书的获得方式当中,对于代号3(高年级学生免费赠送或向高年级学生购买二手教材)、代号4(老师复印的教材或讲义)、代号6(其他)这3类对应的数据我们予以剔除。
3.Q2k栏为获得的书本是否为新书,由于旧书不能作为当年出版社的一个销售反应量,所以Q2k栏代号为2(旧书)的数据也要剔除。
4.在本题当中,附件3和附件4共统计的课程为72个,也就是A(P115)出版社现在统计的是72类课程书目,在题目给出的统计表中每一个课程名称对应一个编号,但是A出版社所出版的书对应的课程数目却大于72,所以在调查问卷当中,有些课程不在题目所统计的范围之内,也就在调查问卷课程名称一栏当中没有对应的编号,是用中文汉字写出,对于这部分的数据我们也予以剔除。
经过上述的处理,我们就将附件2的数据进行了大量的精简,得到了一个数据量相对较小的统计表格,然后再对统计后的表格的每一栏标题作为影响因素,考虑这些因素是否对所建立的目标函数有影响,能确定对书号分配没影响的先进行剔除,其余的再根据计算的数据进行确定。
b)强势系数
的确定
要确定
,首先就要从所给的附件当中提取出与权重相关的指标,经过筛选提取出4类指标,分别为:
市场占有率、附件2中的Q1栏(A出版社在你心目中的地位)和Q2l栏(对该书的满意度)。
其中对书的满意度有4项,所以一共影响
确定的指标数为6个。
对于每个指标子我们运用熵权法(参考文献[4])进行确定,熵权法是一种决定指标的方法,我们知道,综合指标取决于单个指标数的确定,一般情况下的权重是根据经验来确定的,但是这种确定权重的方法缺少科学根据,也不能保证确立的综合指标能反映原始指标的大部分信息,且权重的确立因人而异,所以其应用受到了限制,而熵权法就能够避免这些问题,使权重的确立具有科学的根据,具有说服力。
熵权法的步骤确立如下:
1计算第j项指标下第i个方案的指标比重
2计算指标j的熵值
(
)
3计算第j项指标的差异系数
4定义权重
则
就为熵权法确定的权重。
以下根据上述理论计算每个指标的熵权:
1市场占有率的预测
从附件2中分别统计出各类学科书本的总量和P115出版社各类学科的书本数,市场占有率方面我们考虑的是A出版社每一学科的书占其对应学科总数的量
例如:
A出版社计算机类的书市场占有率为A出版社拥有计算机类的书的总数除以市场中计算机类书的总量,各类书的市场占有率计算结果如表4.1
表4.1分社的市场占有率
年份
分社
2001
2002
2003
2004
2005
计算机类
0.132515
0.141104
0.155828
0.158867
0.165025
经管类
0.252607
0.239861
0.283893
0.295481
0.308227
数学类
0.55512
0.569121
0.599216
0.614566
0.631761
英语类
0.056597
0.059231
0.059172
0.069792
0.080208
两课类
0.38726
0.338919
0.327216
0.354572
0.377207
机械、能源类
0.565022
0.600897
0.657658
0.668161
0.757848
化学、化工类
0.37234
0.43617
0.431579
0.478723
0.531915
地理、地质类
0.906542
0.878505
0.88785
环境类
0.702128
0.734043
0.829787
0.925532
上述表格当中每个分社的市场占有率有5年的数据,在计算的时候我们需要2006年的市场占有率,由于每一年只有5个数据,属于小样本事件,所以我们用灰色模型GM(1,1)对2006年市场占有率进行预测。
运用DPS数据处理软件进行预测得出结果如表4.2
表4.2预测每分社市场占有率
占有率
0.18384
0.33915
0.64948
0.09436
0.39585
0.78936
0.5391
0.90677
0.99133
对应的条形图如图4.1
图4.1市场占有率条形图
2Q1栏(A出版社在你心目中的地位)的预测
首先从附件2中统计出Q1栏中5年历史数据每年每一学科的平均地位,然后建立灰色GM(1,1)模型对Q1栏数据进行预测,平均值和预测值见下表4.3
表4.3Q1栏平均与预测值
年份
2006
2.944
3.4
3.402
3.38
3.328
3.31939
2.9817
3.6039
3.2776
3.3176
3.2932
2.9024
3.0415
1.5028
1.5133
1.5229
1.5415
1.5799
2.9877
2.3275
2.3588
2.393
2.4199
2.3564
2.1101
1.9566
2.1346
2.1188
2.19
2.8571
2.291
2.2808
2.2483
2.2308
2.2966
3.3714
2.0732
2.122
2.0889
2.06
2.0255
2.8144
2.8191
2.8211
2.7871
2.9394
3.7101
3.7308
3.7126
3.8055
3满意度(4个评价)的预测
从附件2中统计出Q2l栏(对该书的满意度)的数据,求每年每一学科的满意度,运用同样方法建立灰色GM(1,1)模型对满意度进行预测,满意度4个方面的评价平均及预测值见附录。
根据上面所得的6组预测值,用Matlab按照熵权法的算法步骤进行编程求解熵权值,可得6个指标的熵权值见表4.4
表4.4各指标的熵权值
指标
出版社地位
评价1
评价2
评价3
评价4
市场占有率
熵权值
0.15495
0.005221
0.00433
0.00143
0.001931
0.83213
将预测的2006年的6个指标值构成一个6×
9的矩阵,如下所示
矩阵1
其中
为第i个指标第j个学科的2006的预测值,然后将矩阵1矩阵转化成
矩阵2,转化方法为
,得到矩阵2,如下
矩阵2
选出每一列中的最大元素
与最小元素
,然后根据马氏距离求出第j列中每一个元素到
和
的距离,公式如下
(5)
(6)
这里对前面所定义的
作如下表达式:
(7)
公式7中如果
越大,那么
相应的就会小,
的值就会越大,说明第j个分社的强势越明显。
最后根据上面计算的结果运用Lingo编写程序(程序见附录)解得书号的最优分配情况如下表4.5
表4.5各分社分配的书号数
分配的书号数
55
47
120
60
36
72
30
40
由上述模型解得的结果发现大部分分社所分得的书号数要不是申请数的一半就是申请数,也就是大部分的取值要么为上限,要么为下限,从实际的出版情况来说,由于出版行业没有太大的波动,所以各分社所分得的书号数与往年的书号数相比波动也不大,于是在此基础上,我们要考虑对模型的改进。
4.3步骤1模型的改进
由实际的出版行业可以得知,在出版行业运行正常,没有什么大的改革措施
的情况下,各出版社的书号分配也不会出现太大的波动,而且在模型的假设当中,我们也假设了在一段时间内,出版行业的运行是正常的;
另一方面,我们可以从历史数据看出每年的书号分配数目也没有太大的波动,总是保持在一个小区间段内,而且在出版社对书号的分配波动性较大的情况下,其市场对应的风险也相应的越大,所以在模型的改进当中我们引入一个系数,定义为稳定系数
,
(8)
为第i个分出版社书号分配的平均值,通过引入系数,步骤1模型的目标函数变为
(9)
将改进的模型用Lingo编程解得书号的分配情况如表4.6
表4.6各分社分配的书号数
70
95
65
21
24
25
我们将两次求得的结果与前5年的均值进行比较,如图4.2
图4.2两次预测结果与均值比较
(○代表原始模型分配书号数;
*代表改进后模型的分配书号数;
折线代表各年各分社分得书号数的平均值)
由图中我们可以很直观的看出改进后的模型的数据与平均值的比较靠近,初始模型与均值的相差较大,也就是波动性较强,与实际情况不是很吻合。
所以我们认为改进的模型比较成功。
4.4稳定性分析
对总书号数进行变动在400到560中以20为间隔进行稳定性分析,得到表格和图形如下:
表4.7书号数的变动量与强势值变动量之间的关系
序号
书号数
变动量
强势值
1
400
-100
173.347
-30.825
2
420
-80
193.329
-10.843
3
440
-60
197.684
-6.488
4
460
-40
203.200
-0.972
5
480
-20
204.434
0.262
6
500
204.172
7
520
20
203.622
-0.550
8
540
203.250
-0.922
9
560
200.980
-3.192
图4.3总书号数的变化对强势值的影响
从表格和图形中可以看出在强势值随书号数的变动以400分界,在400以下总书号数对强势值的影响较大,在400以上对强势值影响较小。
总书号在460时强势值达到最大。
在420到540之间是比较稳定的,出版社把每年的书号总数定为500的原因可能在这里。
4.5步骤2模型的建立与求解
步骤2是建立在步骤1的结果之下的。
在每个分社的书号分配当中,以利润最大作为每个分社的目标函数建立优化模型,在目标函数的建立当中我们要引入单位书号销售量的概念
,对
进行灰色预测,与步骤1的改进模型类似,在该模型当中我们同样要加入稳定系数来控制书号数的大幅度波动。
对于模型的约束条件我们对书号数确立一个下限,下限为历史书号数据的最低值,上限为所申请的书号数,最终运用Lingo对9个目标函数依次进行求解。
4.5.1模型的建立
每个分社以利润最大为目标函数建立单目标优化模型,表达式如下
(10)
为第i个出版社第j个课程分配的书号数,
为2006年第i个分社第j个课程的单位书号的销售量,
为第i个分社第j个课程的均价。
约束条件的确立:
决策变量
的上限为第i个出版社第j个课程的申请书号数。
下限为第i个出版社所有课程书号数的最低值。
这里我们仅以计算机类为例解答(其它类相似)。
由前五年的分配的书号数的可以看出最小值为2,所以有如下的约束条件:
(j=1,2,3…10)
4.5.2模型的求解
在求解目标函数时,我们首先要确立
的值,其确立方法如下:
首先将前5年的每个课程的单位书号销售量进行统计,这里以计算机类的数据为例进行说明,单位书号销售量为每年每门课程的实际销售量比上该课程所分配的书号数,这是因为附件2中假设了同一课程不同书目价格差别不大,同时销售量相近,所以我们这样进行平均的处理。
在预测2006年的单位书号销售量的时候我们首先是用回归进行拟合,在处理的过程中我们发现拟合的可信度很低,很难找到一个相关量。
这个预测是一个小样本的问题,所以我们选择用灰色模型GM(1,1)进行预测,在这个过程中预测的效果都很好(C值基本上都小于0.5,P值都大于0.7),其统计数据和预测数据如表4.7(其它课程的数据见附录2)。
表4.7计算机类单位书号销售量及预测值
课程
124
113
154.1667
240.0909
224.3333
303.4933
180.9
155.0909
223.4167
274.8333
327.25
403.5948
33.33333
92.5
57.5
382.5
101.3333
238.2424
69.75
62.66667
136.6667
202.75
289.0524
48.66667
60.33333
49.75
97.25
139.6667
188.9747
111.4
98.18182
118.75
168.8
243.5455
327.3054
280.25
296.125
316.7778
354
458.8889
526.1727
61.33333
95.75
39.66667
79
68.98314
223.1
205
235.3636
303.8
355
431.407
10
148.25
162
161.1667
243
361.6
479.5463
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