选修45绝对值不等式教案绝对经典Word文档下载推荐.docx
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基础自测
1.思考辨析(在括号内打“√或”“×
”)
(1)若|x|>
c的解集为R,则c≤0.()
(2)不等式|x-1|+|x+2|<
2的解集为?
.()
(3)对|a+b|≥|a|-|b|当且仅当a>
b>
0时等号成立.()
(4)对|a|-|b|≤|a-b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立.()
(5)对|a-b|≤|a|+|b|当且仅当ab≤0时等号成立.()
答案
(1)×
(2)√(3)×
(4)×
(5)√
2.不等式|x-1|-|x-5|<
2的解集是()
A.(-∞,4)B.(-∞,1)C.(1,4)D.(1,5)
解析①当x≤1时,原不等式可化为1-x-(5-x)<
2,∴-4<
2,不等式恒成立,∴x≤1.
②当1<
x<
5时,原不等式可化为x-1-(5-x)<
2,
∴x<
4,∴1<
4,
3当x≥5时,原不等式可化为x-1-(x-5)<
2,该不等式不成立.综上,原不等式的解集为(-∞,4).
答案A
3.若关于x的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|存在实数解,则实数a的取值范围是解析由于|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,∴|x+1|+|x-2|的最小值为3.
要使原不等式有解,只需|a|≥3,则a≥3或a≤-3.答案(-∞,-3]∪[3,+∞)
4.若不等式|kx-4|≤2的解集为{x|1≤x≤3},则实数k=
解析∵|kx-4|≤2,∴-2≤kx-4≤2,∴2≤kx≤6.
∵不等式的解集为{x|1≤x≤3},∴k=2.
答案2
aa
5.设a>
0,|x-1|<
3,|y-2|<
3,求证:
|2x+y-4|<
a.
证明因为|x-1|<
3a,|y-2|<
3a,所以|2x+y-4|=|2(x-1)+(y-2)|≤2|x-1|+|y-2|<
23a+a3=a.
故原不等式得证.
题型分类深度解析
考点一绝对值不等式的解法
【例1-1】已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.
(1)在图中画出y=f(x)的图象;
(2)求不等式|f(x)|>
1的解集.
x-4,x≤-1,
3
解
(1)f(x)=3x-2,-1<
x≤2,
-x+4,x>
故y=f(x)的图象如图所示.
(2)由f(x)的解析式及图象知,
当f(x)=1时,可得x=1或x=3;
1
当f(x)=-1时,可得x=3或x=5.
故f(x)>
1的解集为{x|1<
3};
f(x)<
-1的解集为x|x<
31,或x>
5所以|f(x)|>
1的解集为x|x<
31,或1<
3,或x>
5.
【例1-2】已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.解
(1)当a=1时,f(x)=-x+x+4,
2
f(x)≥g(x)?
x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.
1当x>
1时,f(x)≥g(x)?
x2+x-4≤0,
解之得
1<
x≤
2当-1≤x≤1时,f(x)≥g(x)?
(x-2)(x+1)≤0,则-1≤x≤1.
③当x<
-1时,f(x)≥g(x)?
x2-3x-4≤0,解得-1≤x≤4,又x<
-1,∴不等式此时的解集为空集.
综上所述,f(x)≥g(x)的解集为x-1≤x≤172-1.
(2)依题意得:
-x2+ax+4≥2在[-1,1]上恒成立.则x2-ax-2≤0在[-1,1]上恒成立.
解之得-1≤a≤1.
故a的取值范围是[-1,1].
规律方法1.本题利用分段函数的图形的几何直观性,求解不等式,体现了数形结合的思想.
2.解绝对值不等式的关键是去绝对值符号,常用的零点分段法的一般步骤:
求零点;
划分区间,去绝对值符号;
分段解不等式;
求各段的并集.此外,还常用绝对值的几何意义,结合数轴直观求解.
【变式练习1】已知函数f(x)=|x-2|.
(1)求不等式f(x)+x2-4>
0的解集;
(2)设g(x)=-|x+7|+3m,若关于x的不等式f(x)<
g(x)的解集非空,求实数m的取值范围.
解
(1)不等式f(x)+x2-4>
0,即|x-2|>
4-x2.
当x>
2时,不等式可化为x2+x-6>
0,解得x>
2;
当x<
2时,不等式可化为x-x-2>
0,解得x<
-1.所以原不等式的解集为{x|x>
2或x<
-1}.
(2)依题意,|x-2|<
3m-|x+7|解集非空,∴3m>
|x-2|+|x+7|在x∈R上有解,又|x-2|+|x+7|≥|(x-2)-(x+7)|=9,所以3m>
9,解得m>
3.
故实数m的取值范围是(3,+∞).
考点二绝对值不等式性质的应用
【例2-1】设不等式-2<
|x-1|-|x+2|<
0的解集为M,a,b∈M.
111
(1)证明:
31a+61b<
41;
(2)比较|1-4ab|与2|a-b|的大小,并说明理由.
3,x≤-2,
(1)证明设f(x)=|x-1|-|x+2|=-2x-1,-2<
1,
-3,x>
1.
11
由-2<
-2x-1<
0,解得-2<
2.因此集合M=-21,21,则|a|<
12,|b|<
21.
111111111
所以3a+6b≤3|a|+6|b|<
3×
2+6×
2=4.
解
(1)不等式|a+b|+|a-b|≥M·
|a|恒成立,
即M≤|a+b|+|a||a-b|对于任意的实数a(a≠0和)b恒成立,只要左边恒小于或等于右边的最小值.
因为|a+b|+|a-b|≥|(a+b)+(a-b)|=2|a|,当且仅当(a-b)(a+b)≥0时等号成立,即|a|≥|b|时,|a+b|+|a||a-b|≥2成立,也就是|a+b|+|a||a-b|的最小值是2,所以M≤2.因此m=2.
(2)不等式|x-1|+|x-2|≤m,即|x-1|+|x-2|≤2.
法一由于|x-1|+|x-2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和;
15
而数轴上21和25对应点到1和2对应点的距离之和正好等于2,
故|x-1|+|x-2|的解集为x|21≤x≤25.
法二①当x<
1时,不等式为-(x-1)-(x-2)≤2,
解得x≥21,即21≤x<
②当1≤x≤2时,不等式为(x-1)-(x-2)≤2,即1≤x≤2.
55
3当x>
2时,不等式为(x-1)+(x-2)≤2,解得x≤2,即2<
x≤2.综上可知,不等式的解集是x|12≤x≤52.
规律方法1.求含绝对值的函数最值时,常用的方法有三种:
(1)利用绝对值的几何意义;
(2)利用绝对值三角不等式,即|a|+|b|≥|a±
b|≥|a|-|b|;
(3)利用零点分区间法.
2.含绝对值不等式的证明中,要注意绝对值三角不等式的灵活应用.
【变式练习2】对于任意实数a,b,已知|a-b|≤1,|2a-1|≤1,且恒有|4a-3b+2|≤m,求实数m的取值范围.
解因为|a-b|≤1,|2a-1|≤1,
所以|3a-3b|≤3,a-2≤12,
所以|4a-3b+2|=|(3a-3b)+a-2+2|
1515
≤|3a-3b|+|a-2|+2≤3+2+2=6,
则|4a-3b+2|的最大值为6,
所以m≥|4a-3b+2|max=6,m的取值范围是[6,+∞).考点三绝对值不等式的综合应用
【例3】已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集;
(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.
-3,x≤-1,
解
(1)f(x)=|x+1|-|x-2|=2x-1,-1<
3,x≥2.
①当x≤-1时,f(x)=-3≥1无解;
②当-1<
2时,2x-1≥1,
解得x≥1,则1≤x<
③当x≥2时,f(x)=3≥1恒成立,∴x≥2.
综上知f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.
(2)不等式f(x)≥x2-x+m等价于f(x)-x2+x≥m,
得m≤|x+1|-|x-2|-x2+x有解,又|x+1|-|x-2|-x2+x≤|x|+1+|x|-2-x2+|x|
35当且仅当x=2时,|x+1|-|x-2|-x2+x=4.故实数m的取值范围是-∞,45.
规律方法1.例3第
(1)问分段讨论,求得符合题意的x取值范围,最后取并集2.
(1)不等式恒成立问题,解集非空(不能成立)问题,转化为最值问题解决.
(2)本题分离参数m,利用绝对值不等式的性质求解,避免分类讨论,优化了解题过程.
【变式练习3】已知函数f(x)=|2x-a|+a.
(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;
(2)设函数g(x)=|2x-1|.当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求实数a的取值范围.
解
(1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2.
解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x≤3.
因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x≤3}.
(2)当x∈R时,
1f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,当x=2时等号成立,
所以当x∈R时,f(x)+g(x)≥3等价于|1-a|+a≥3.①
当a≤1时,①等价于1-a+a≥3,无解.
当a>
1时,①等价于a-1+a≥3,解得a≥2.
所以a的取值范围是[2,+∞).
错误!
课后练习
A组(时间:
50分钟)
1.
(1)求不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集;
(2)若关于x的不等式|ax-2|<
3的解集为x|-35<
31,求a的值.
解
(1)当x<
-2时,不等式等价于-(x-1)-(x+2)≥5,解得x≤-3;
当-2≤x<
1时,不等式等价于-(x-1)+(x+2)≥5,即3≥5,无解;
当x≥1时,不等式等价于x-1+x+2≥5,解得x≥2.
综上,不等式的解集为{x|x≤-3或x≥2}.
(2)∵|ax-2|<
3,∴-1<
ax<
5.
151551当a>
0时,-1a<
5a,-a1=-35,且5a=31无解;
当a=0时,x∈R,与已知条件不符;
515511
当a<
0时,a5<
-a1,5a=-35,且-1a=31,解得a=-3.
aaa3a3
2.已知函数f(x)=|ax-2|.
(1)当a=2时,解不等式f(x)>
x+1;
(2)若关于x的不等式f(x)+f(-x)<
m1有实数解,求m的取值范围.
解
(1)当a=2时,不等式为|2x-2|>
x+1,当x≥1时,不等式化为2x-2>
x+1,解得x>
1当x<
1时,不等式化为2-2x>
x+1,解得x<
3.综上所述,不等式的解集为x|x>
3或x<
13.
(2)因为f(x)+f(-x)=|ax-2|+|-ax-2|≥|ax-2-ax-2|=4,所以f(x)+f(-x)的11
最小值为4,又f(x)+f(-x)<
m有实数解,所以m>
4.
则m的取值范围为0,14.
3.已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>
0.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>
1的解集;
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.解
(1)当a=1时,f(x)>
1化为|x+1|-2|x-1|-1>
当x≤-1时,不等式化为x-4>
0,无解;
2当-1<
1时,不等式化为3x-2>
0,解得3<
1;
当x≥1时,不等式化为-x+2>
0,解得1≤x<
2.所以f(x)>
1的解集为x32<
2.
x-1-2a,x<
-1,
(2)由题设可得,f(x)=3x+1-2a,-1≤x≤a,
-x+1+2a,x>
2a-1所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A2a3-1,0,B(2a+1,0),C(a,a+1),
△ABC的面积S=21|AB|(·
a+1)=23(a+1)2.由题设得32(a+1)2>
6,故a>
2.
所以a的取值范围为(2,+∞).
4.在平面直角坐标系中,定义点P(x1,y1),Q(x2,y2)之间的“直角距离”为L(P,Q)=|x1-x2|+|y1-y2|,已知A(x,1),B(1,2),C(5,2)三点.
(1)若L(A,B)>
L(A,C),求x的取值范围;
(2)当x∈R时,不等式L(A,B)≤t+L(A,C)恒成立,求t的最小值.解
(1)由定义得|x-1|+1>
|x-5|+1,则|x-1|>
|x-5|,两边平方得8x>
24,解得x>
故x的取值范围为(3,+∞).
(2)当x∈R时,不等式|x-1|≤|x-5|+t恒成立,也就是t≥|x-1|-|x-5|恒成立,因为|x-1|-|x-5|≤|(x-1)-(x-5)|=4,
所以t≥4,tmin=4.故t的最小值为4.
5.设函数f(x)=2x+1+|x|(x∈R)的最小值为a.
(1)求a;
2211
(2)已知两个正数m,n满足m2+n2=a,求m+n的最小值.
3-2x-1,x<
-2,
1解
(1)f(x)=-2x+1,-2≤x≤0,
32x+1,x>
当x∈(-∞,0)时,f(x)单调递减;
当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增;
∴当x=0时,f(x)的最小值a=1.
22221
(2)由
(1)知m2+n2=1,则m2+n2≥2mn,得mn≥2,由于m>
0,n>
0,则1+1≥21≥22,当且仅当m=n=2时取等号.
mnmn2
∴m1+1n的最小值为22.
B组(时间:
30分钟)
6.已知函数f(x)=|2x-a|+|2x+3|,g(x)=|x-1|+2.
(1)解不等式:
|g(x)|<
5;
(2)若对任意的x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,求实数a的取值范围.
解
(1)由||x-1|+2|<
5,得-5<
|x-1|+2<
5,
所以-7<
|x-1|<
3,解不等式得-2<
4,所以原不等式的解集是{x|-2<
4}.
(2)因为对任意的x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,所以{y|y=f(x)}?
{y|y=g(x)},又f(x)=|2x-a|+|2x+3|≥|2x-a-(2x+3)|=|a+3|,g(x)=|x-1|+2≥2,所以|a+3|≥2,解得a≥-1或a≤-5,所以实数a的取值范围是{a|a≥-1或a≤-5}.
7.已知函数f(x)=|x-2|,g(x)=|x+1|-x.
(1)解不等式f(x)>
g(x);
(2)若存在实数x,使不等式m-g(x)≥f(x)+x(m∈R)成立,求实数m的最小值.解
(1)原不等式f(x)>
g(x)化为|x-2|+x>
|x+1|,当x<
-1时,-(x-2)+x>
-(x+1),解得x>
-3,即-3<
-1.
当-1≤x≤2时,-(x-2)+x>
x+1,
解得x<
1,即-1≤x<
2时,x-2+x>
x+1,解得x>
3,即x>
3.综上所述,不等式f(x)>
g(x)的解集为{x|-3<
1或x>
3}.
(2)由m-g(x)≥f(x)+x(m∈R)可得m≥|x-2|+|x+1|,由题意知m≥(|x-2|+|x+1|)min,∵|x-2|+|x+1|≥|x-2-(x+1)|=3,∴m≥3,故实数m的最小值是3.
8.已知不等式|x-m|<
|x|的解集为(1,+∞).
(1)求实数m的值;
a-51ma+2
(2)若不等式x<
1+1x-1-mx<
x对x∈(0,+∞)恒成立,求实数a的取值xxxx
范围.
解
(1)由|x-m|<
|x|,得|x-m|2<
|x|2,即2mx>
m2,
又不等式|x-m|<
|x|的解集为(1,+∞),
则1是方程2mx=m2的解,解得m=2(m=0舍去).
a-51ma+2
(2)∵m=2,∴不等式a-x5<
1+x1-1-mx<
a+x2对x∈(0,+∞)恒成立等价于不xxxx
等式a-5<
|x+1|-|x-2|<
a+2对x∈(0,+∞)恒成立.
2x-1,0<
设f(x)=|x+1|-|x-2|=3,x≥2,
当0<
2时,f(x)在(0,2)上是增函数,则-1<
3,
当x≥2时,f(x)=3.
因此函数f(x)的值域为(-1,3].
从而原不等式等价于a-5≤-1,解得1<
a≤4.a+2>
所以实数a的取值范围是(1,4].
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