一轮复习椭圆.docx

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　椭　圆

考情考向分析　椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以填空题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中．

1．椭圆的概念

平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

集合P＝{M|MF1＋MF2＝2a}，F1F2＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：

（1）若a>c，则集合P为椭圆；

（2）若a＝c，则集合P为线段；

（3）若a

2．椭圆的标准方程和几何性质

标准方程

＋＝1（a>b>0）

＋＝1（a>b>0）

图形

性质

范围

－a≤x≤a

－b≤y≤b

－b≤x≤b

－a≤y≤a

对称性

对称轴：

坐标轴　　对称中心：

原点

顶点坐标

A1（－a,0），A2（a,0）

B1（0，－b），B2（0，b）

A1（0，－a），A2（0，a）

B1（－b,0），B2（b,0）

轴

长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b

焦距

F1F2＝2c

离心率

e＝∈（0,1）

a，b，c的关系

a2＝b2＋c2

知识拓展

点P（x0，y0）和椭圆的位置关系

（1）点P（x0，y0）在椭圆内⇔＋<1.

（2）点P（x0，y0）在椭圆上⇔＋＝1.

（3）点P（x0，y0）在椭圆外⇔＋>1.

题组二　教材改编

2．[P37习题T4]椭圆＋＝1的焦距为4，则m＝________.

3．[P37习题T5（3）]已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为，则椭圆的方程为________________．

题组三　易错自纠

4．若方程＋＝1表示椭圆，则m的取值范围是________．

5．椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为________．

6．已知椭圆C：

＋＝1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则椭圆C的方程为________．

第1课时　椭圆及其性质

题型一　椭圆的定义及应用

1．过椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为________．

2．椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则PF2＝________.

3．已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A（1,1）是一定点，则PA＋PF的最大值为________，最小值为________．

思维升华　椭圆定义的应用技巧

（1）椭圆定义的应用主要有：

求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．

（2）通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．

题型二　椭圆的标准方程

命题点1　利用定义法求椭圆的标准方程

典例　

（1）已知两圆C1：

（x－4）2＋y2＝169，C2：

（x＋4）2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．

（2）在△ABC中，A（－4,0），B（4,0），△ABC的周长是18，则顶点C的轨迹方程是________________．

命题点2　利用待定系数法求椭圆方程

典例

（1）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，（，），则椭圆方程为__________．

（2）过点（，－），且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________．

思维升华

（1）求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法．

（2）利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>F1F2；利用待定系数法要先定形（焦点位置），再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1（m>0，n>0，m≠n）的形式．

跟踪训练设F1，F2分别是椭圆E：

x2＋＝1（0

题型三　椭圆的几何性质

典例

（1）P为椭圆＋＝1上任意一点，EF为圆N：

（x－1）2＋y2＝4的任意一条直径，则·的取值范围是________．

（2）（2016·江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1（a>b>0）的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．

思维升华

（1）利用椭圆几何性质的注意点及技巧

①注意椭圆几何性质中的不等关系

在求与椭圆有关的一些范围问题时，经常用到x，y的范围，离心率的范围等不等关系．

②利用椭圆几何性质的技巧

求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系．

（2）求椭圆的离心率问题的一般思路

求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，即可得离心率或离心率的范围．

跟踪训练

（1）（2017·苏北四市一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B1，B2分别为椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的右、下、上顶点，F是椭圆C的右焦点．若B2F⊥AB1，则椭圆C的离心率是________．

（2）已知椭圆＋＝1（a>b>c>0，a2＝b2＋c2）的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b－c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且PT的最小值不小于（a－c），则椭圆的离心率e的取值范围是__________．

16.如图，椭圆＋＝1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.

（1）若PF1＝2＋，PF2＝2－，求椭圆的标准方程；

（2）若PQ＝λPF1，且≤λ<，试确定椭圆离心率e的取值范围．

第2课时　直线与椭圆

题型一　直线与椭圆的位置关系

1．若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是________．

2．已知直线l：

y＝2x＋m，椭圆C：

＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：

（1）有两个不重合的公共点；

（2）有且只有一个公共点；

（3）没有公共点．

思维升华研究直线与圆锥曲线位置关系的方法

（1）研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数．

（2）对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．

题型二　弦长及弦中点问题

命题点1　弦长问题

典例斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则AB的最大值为________．

命题点2　弦中点问题

典例已知椭圆E：

＋＝1（a>b>0）的右焦点为F（3,0），过点F的直线交椭圆E于A，B两点．若AB的中点坐标为（1，－1），则E的方程为________．

命题点3　椭圆与向量等知识的综合

典例已知椭圆C：

＋＝1（a>b>0），e＝，其中F是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l与椭圆C交于点A，B，线段AB的中点横坐标为，且＝λ（其中λ>1）．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求实数λ的值．

思维升华

（1）解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．

（2）设直线与椭圆的交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则AB＝

＝（k为直线斜率）．

（3）利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．

跟踪训练已知椭圆＋＝1（a>b>0）的一个顶点为B（0，4），离心率e＝，直线l交椭圆于M，N两点．

（1）若直线l的方程为y＝x－4，求弦MN的长；

（2）如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．

高考中求椭圆的离心率问题

考点分析离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：

一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式（等式或不等式），并且最后要把其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法．

典例1已知椭圆E：

＋＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：

3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若AF＋BF＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是________．

典例2（16分）如图，设椭圆方程为＋y2＝1（a＞1）．

（1）求直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段长（用a，k表示）；

（2）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．

11．（2015·江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1（a>b>0）的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC＝2AB，求直线AB的方程．

12．设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.

（1）证明EA＋EB为定值，并写出点E的轨迹方程；

（2）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．

16．过椭圆＋＝1（a>b>0）上的动点M作圆x2＋y2＝的两条切线，切点分别为P和Q，直线PQ与x轴和y轴的交点分别为E和F，则△EOF面积的最小值是________．