与角平分线有关的计算证明 问题文档格式.docx
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根据对称性,在角的一边截取相等线段构造全等三角形;
题中有平行线,角平分线想到一定存在等腰三角形,运用等腰三角形的性质解题。
1.在△ABC中,∠ABC=600,∠ACB=400,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,
(1)如图,求∠BDC的度数;
(2)如图,连接AD,作DE⊥AB于点E,DE=2,AC=4,求△ADC的面积
解:
(1)∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,
∴∠DBC=
∠ABC,∠DCB=
∠ACB
∵∠ABC=600,∠ACB=400,
∴∠DBC=300,∠DCB=200
∴∠BDC=1800-(∠DBC+∠DCB)=1300.
(2)过点D分别作DH⊥BC,DF⊥AC垂足为H,F
∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,DE⊥AB
∴DE=DH=DF=2
∵AC=4
∴S△ACD=
AC·
DF=4
2.如图,已知△ABC的周长是16,MB和MC分别平分∠ABC和∠ACB,过点M作BC的垂线交BC于点D,且MD=4,则△ABC的面积是多少?
解析:
连接AM,过点M作ME⊥AB,NF⊥AC垂足为E,F.
∵MB和MC分别平分∠ABC和∠ACB,过点M作BC的垂线交BC于点D,
∴ME=MD=MF=4
∴S△ABC=S△BMC+S△AMC+S△AMB
=
BC·
DM+
MF+
AB·
NE
×
2(BC+AC+AB)
∵△ABC的周长是16
∴S△ABC=
2×
16=16
3.已知点P到△ABC三边的距离相等,DE∥AC,AB=1.8cm,BC=6cm,求△BDE的周长?
∵点P到△ABC三边的距离相等,
∴BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB
∴∠PBC=∠PBD,∠PCB=∠PCE
∵DE∥AC
∴∠DPB=∠PBC,∠EPC=∠PCB
∴∠DPB=∠PBD,∠PCE=∠EPC
∴PD=DB,PE=EC
∵△BDE的周长=AD+DP+PE+AE
∴△BDE的周长=AD+DB+CE+AE
=AB+AC=7.8cm
4.如图,射线OC是∠AOB的平分线,D是射线OC上一点,DP⊥OA于点P,DP=4,若点Q是射线OB上一点,OQ=3,求△ODQ的面积。
过点D作DH⊥OB,垂足为H
∵OC是∠AOB的平分线,DP⊥OA
∴DH=DP=4
∴△ODQ的面积=
OQ·
DH=6
5.如图,∠AOE=∠BOE=150,EF∥OB,EC⊥OB,若EC=2,则EF的长是多少
过点E作ED⊥OA,垂足为D
∵∠AOE=∠BOE=150,EC⊥OB,
∴DE=CE=2
∵EF∥OB
∴∠FEO=∠EOC=∠EOF=150,
∴∠EFD=∠EOF+∠FEO=300,
∴EF=2DE=4
6.如图,∠ABC=∠ACB,AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF。
以下结论:
①AD∥BC;
②∠ACB=2∠ADB;
③∠ADC=900-∠ABD;
④BD平分∠ADC;
⑤∠BDC=∠BAC,其中正确的结论有______(填序号)
∵∠EAB=∠ABC+∠ACB
又∵AD平分∠EAC
∴∠EAB=2∠EAD
∵∠ABC=∠ACB,
∴∠ABC+∠ACB=2∠ABC
∴2∠EAD=2∠ABC,
即∠EAD=∠ABC,∴AD∥BC
(2)∵AD、BD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC。
∴∠ADB=
∠ACB,即∠ACB=2∠ADB;
(3)∵AD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、外角∠ACF。
∴∠ADC=900-
∠ABC
∵BD分别平分△ABC的内角∠ABC
∴∠ABD=
∴∠ADC=900-∠ABD;
7.如图,已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,AB=6,AC=3,则BE长是多少?
连接CD、DB
∵DG是BC的垂直平分线
∴DC=DB
又∵AD平分∠FAB,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DF=DE
∴Rt△DCF≌Rt△DBE
∴CF=BE
又∵AD=AD
∴Rt△DDF≌Rt△ADE
∴AF=AE
∴AB=AE+BE=AF+BE
∵AF=AC+CE,AB=6,AC=3
∴AB=AC+2BE,即6=3+2BE,BE=1.5
8.已知:
如图,BD为△ABC的角平分线,且BD=BC,E为BD延长线上的一点,BE=BA,过点E作EF⊥AB,点F为垂足,下列结论:
①△ABD≌△EBC;
②∠BCE+∠BCD=1800;
③AD=EF=EC;
④BA+BC=2BF,其中正确的结论有________(填序号)
①∵BD为△ABC的角平分线,
∴∠ABD=∠EBC
∵BD=BC,BE=BA,
∴△ABD≌△EBC;
②∵△ABD≌△EBC;
∴∠ADB=∠ECB
∵∠ADB+∠ADE=1800,∠BCD=∠CDB=∠ADE
∴∠BCE+∠BCD=1800;
③∵∠ABD=∠EBC,BE=BA,BD=BC,
∴∠BCD=∠CDB=∠ADE=∠AEB
∴AD=AE
∵△ABD≌△EBC
∴AD=EC
∴AD=AE=EC
④过点E作EH⊥BC,交BC的延长线于点H
∵EF⊥AB,
∴EF=EH
∵AE=EC
∴Rt△CEH≌Rt△AEF
∴CH=AF
又AE=AE
∴Rt△EFB≌Rt△EHB
∴BF=BH
∵BA+BC=BF+FA+BC,BC=BH-CH
∴BA+BC=BF+FA+BF-AF=2BF
9.如图,点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点,且∠MPN与∠AOB互补,若∠MPN在绕点P旋转的过程中,其两边分别与OA、OB相交于M、N两点,则以下结论:
(1)PM=PN恒成立;
(2)OM+ON的值不变;
(3)四边形PMON的面积不变;
(4)MN的长不变,其中正确的个数为A.4B.3C.2D.1
(1)过点P作PA1⊥OA,PB1⊥OB垂足为A1,B1
∵OP平分∠AOB,
∴PA1=PB1
∵∠PMO+∠PNO=1800,∠PNO+∠PNB=1800
∴∠PMO=∠PNB
又∠PA1M=∠PB1N=900
∴△PA1M≌△PB1N
∴PM=PN
(2)∵△PA1M≌△PB1N
∴A1M=B1N
∵PO=PO
∴Rt△PA1O≌Rt△PB1O
∴OA1=OB1
∵OM+ON=OA1+A1M+OB1-B1N
∴OM+ON=OA1+OB1=2OA1
因为∠AOB的角度是定值,P为角平分线上的定点不变,所以OP、PA1的长度不变,所以OA1也就是定值不变,即OM+ON为定值。
(3)∵四边形PMON的面积=S△PA1M+四边形PA1ON的面积,△PA1M≌△PB1N
∴四边形PMON的面积=S△PB1N+四边形PA1ON的面积
又∵S△PB1N+四边形PA1ON的面积=2S△PA1O,而△PA1O是不变的
∴四边形PMON的面积=2S△PA1O是不变的
10.已知:
如图,AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E,CD⊥AD于点F,且BC=DC.
(1)BE与DF是否相等?
请说明理由;
(2)若DF=1,AD=3,求AB的长;
(3)
若△ABC的面积是23,△ADC面积是18,直接写出△BEC的面积。
(1)可根据HL证Rt△CFD≌Rt△CEB,得出BE=DF
(2)容易证得Rt△CFA≌Rt△CEA,得出BF=AE,又知DF=BE,又由
(1)知DF=BE
∴AB=AD+2DF=5
(4)∵2△BEC的面积+△ADC面积=△ABC的面积
∴△BEC的面积=2.5
11.在∠MAN内部有一点D,过点D分别作DB⊥AM,DC⊥AN,垂足分别为B,C且BD=CD,点E,F分别在边AM和AN上。
(1)如图1,若∠BED=∠CFD,请说明DE=DF;
(2)如图2,若∠BDC=1200,∠EDF=600,试猜想EF,BE,FC之间的数量关系,并说明结论成立的理由。
(1)∵DB⊥AM,DC⊥AN,
∴∠DBE=∠DCF=900
又∵BD=CD,∠BED=∠CFD,
∴△DBE≌△DCF
∴DE=DF
(3)在射线AC上截取CH=BE
可证得△DBE≌△DCH,所以∠BDE=∠CDH,DE=DH
又∠BDE+∠CDF=∠BDC-∠EDF,∠BDC=1200,∠EDF=600,
所以∠BDE+∠CDF=600,由此得出∠CDF+∠CDH=600
即∠HDF=∠EDF,而DF=DF,所以△DEF≌△DHF,所以HF=EF
又FH=FC+CH,CH=BE,所以有BE+FC=EF
12.如图,直线PA∥QB,∠PAB与∠QBA的平分线交于点C,过点C作一条直线l与两直线PA,QB分别相交于点D,E.
(1)如图1,当直线l与PA垂直时,求证:
AD+BE=AB;
(2)当直线l与PA不垂直且交于点D,E都在AB异侧时,
(1)中的结论是否仍然成立?
如果成立,请证明;
如果不成立,请画出图形并直接写出AD,BE,AB之间的数量关系(不用证明)
(1)在AB上截取BH=BE,连接CH
∵BC平分∠ABE
∴∠CBE=∠CBH
而BC=BC
∴△CBH≌△CBE
∴∠CEB=∠CHB
∵PA∥QB
∴∠CEB+∠EDA=1800,
∵∠CHB+∠CHA=1800,
∴∠EDA=∠CHA
∵AC平分∠DAH
∴∠DAC=∠HAC
∴△DAC≌△HAC
∴AD=AH
∵AB=AH+HB
∴AB=AD+EB
(2)AD-BE=AB
延长BC交AP于H,先证△ABC是等腰三角形,运用三线合一,创造条件再△CHD≌△CBE问题可得解决
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