椭圆题型总结较难Word文档下载推荐.docx
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433注意:
上述AB的设法:
x=my+1,方程中的m相当于直线
t=1
即m=0时,ΔABF1的面积的最大值为
AB的斜率的倒数,但又包含斜率不存在的情况,
即m=0的时候。
在直线斜率不等于零时都可以这样设,往往可使消元过程简单化,而且避免了讨论。
2.如图,M(-2,0)和N(2,0)是平面上的两点,动点P满足:
(1)求点P的轨迹方程;
PM
(2)若PM·
PN=,求点P的坐
1cosMPN
PN
6.
标.
解:
(1)由椭圆的定义,
点P的轨迹是以M、N为焦点,长轴长2a=6的椭圆.
因此半焦距c=2,长半轴
a=3,从而短半轴b=a2c25,所以椭圆
22的方程为xy
95
1.
(2)由PMgPN
得PMgPNcosMPNPMgPN2.
因为cosMPN1,P不为椭圆长轴顶点,故P、M、
N构成三角形.
在△PMN中,
MN4,由余弦定理有MN2PM2PN
将①代入②,得42PM2PN22(PMgPN
2PMgPNcosMPN.
2).
故点P在以M、N为焦点,实轴长为
23的双曲线x
3
1上.
由(Ⅰ)知,点
P的坐标又满足
x2
51,所以由方程组
5x2
x
9y2
3y2
45,
解得
3.
即P点坐标为
(33,5(2,2
)、
335
,2)
或(
25)
5.
2.
二、点差法
2x定理在椭圆x2a2
2yb2
1(a>
b>
0)中,若直线
l与椭圆相交于M、N两点,点
P(x0,y0)是弦MN
的中点,弦MN所在的直线l的斜率为kMN,则kMNy0x0
3.直线l经过点A(1,2),交椭圆x
36
(1)若A是线段P1P2的中点,求l
y1于两点P1、
16
的方程;
(2)求P1P2的中点的轨迹.
(1)
设P1(x1,y1)、P2(x2,y2),
x1
则36
2y116
2y216
(x1
x2)(x1
x2)
(y1y2)(y1y2)0
∵A(1,2)是线段P1P2的中点,∴x1+x2=2,
2(x1x2)
4(y1y2)
0,即y1y2
x1x2
y1+y2=4,
∴l的方程为
29(x
1)2,即2x+9y-20=0.
2)设P1P2的中点M(x,y),则x1+x2=2x,y1+y2=2y,
代入*式,得k
y1y2
4x,又直线l经过点A(1,
9y
2),∴k
整理,得4x(x-1)+9y(y-2)=0,∴P1P2的中点的轨迹:
12
(x12)2
5
4.在直角坐标系xOy中,经过点(0,2)且斜率为k的直线l与椭圆
Q.
(1)求k的取值范围;
yx21,
(y1)2
10
9
2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B,是否存在常数
AB共线?
如果存在,求k的取值范围;
如果不存在,请说明理由
直线l的方程为ykx2.
1。
1有两个不同的交点P和
k,使得向量OPOQ与
y
由x2
kx
2,
得:
(2k21)x242kx
20.直线l与椭圆
1有两个不同的交点,
32k2
8(2k2
1)>
0.解之得:
k<
2或k>
2.
k的取值范围是
2)在椭圆x
21中,
焦点在x轴上,a2,b1,
A(2,0),B(0,1),AB(2,1).
设弦PQ的中点为M(x0,y0),则OM(x0,y10).
三、最值问题
5.已知P为椭圆xy21上任意一点,M(m,0)(m∈R),求PM的最小值。
4
目标:
复习巩固定点与圆锥曲线上的点的连线段的最值问题。
提示:
设P(x,y),用距离公式表示出PM,利用二次函数思想求最小值。
b,最远的
2)-2≤4m≤2,即
3≤m≤时,(PM)min=3m
223
Δ=0,解得m=22.
标是(2,);
坐标是(2,22)。
两平行线间的距离。
在解法二中,利用椭圆的参数方程可迅速达到消元的目的,而且三角形式转换灵活多变,利用正余弦的有界性求最值或取值范围问题是一个不错的选择。
7.设AB是过椭圆x
1)若△ABF1面积为
求直线
AB的方程;
2)求△ABF1面积的最大值。
21225
x=2=2,∴x=-x2=
1k2259k2
925
又,S△ABF1=|OF1|·
|x1-x2|=2|
x1-x2|=45,
∴|x1-x2|=25,
252295k2=5,∴k=235,∴直线AB的方程为y=235x。
2)S△ABF1=1|OF1|·
|x1-x2|=4·
225
2,∴当k=0时,(S△ABF1)Max=12。
▋
259k2
8.(2014金山区一模23题)已知曲线C1:
ax+by
=1(a>
b>
0)所围成的封闭图形的面积为45,曲线
25
C1的内切圆半径为3.记曲线C2是以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆.设AB是过椭圆C2中
心的任意弦,l是线段AB的垂直平分线,M是l上异于椭圆中心的点.
(2)假设AB所在的直线斜率存在且不为零,设AB所在直线方程为y=kx(k≠0),A(xA,yA),
设M(x,y),由题意得:
|MO|2=m2|OA|2,(m>
0),即:
,
因为l是AB的垂直平分线,所以直线l的方程为,代入上式消去k得:
当k=0或斜率不存在时,上式仍然成立,
综上所述,点M的轨迹方程为
(m>
0)
10分
(3)当k存在且不为零时,由
(2)得:
,,|OA|2=,
,,|OM|2
13分
14分
|AB|2=4|OA|2=,故=
≥
≥=
,当且仅当4+5k2=5+4k2时,即k=±
1时,等号成立,
此时△ABM的面积的最小值为
16分
当k=0时,=
△ABM的面积的最小值为.
=>
,当k不存在时,==>
,综上所述,
18分
9.设椭圆中心在坐标原点,A(2,0),
B(0,1)是它的两个顶点,直线ykx(k0)与AB相交于点
D,与
求四边形AEBF面积的最大值.
椭圆相交于E、F两点.
uuuruuur
(1)若ED6DF,求k的值;
1)解:
依题设得椭圆的方程为
1,
直线AB,EF的方程
为x2y2,ykx(k0)
如图
,设
其中x1x2,且x1,x2满足方程(14k2)x2
uuuruuur由ED6DF知x0
x16(x2x0),得x07(6x2
x1)
57x2
10;
714k2
由D在AB上知x0
2kx02,得x02.所以
12k
化简得24k225k
23
60,解得k或k.
38
2)解法
根据点到直线的距离公式和①式知,点E,F到AB的距离分别为
h1
x12kx12
2(12k14k2)
5(14k2)
,h2
x22kx
22(12k14k2)
5(14k2)
AB221
5,所以四边形AEBF的面积为
12AB(h1
h2)12g5g345((1124kk)2)
2(12k)
14k2
2114k4k24k≤22,
时,上式取等号.所以
解法二:
由题设,
BO1,AO
2.
设y1kx1,y2
kx2,由①得x2
0,y2
y10,故四边形AEBF的面积为
SS△BEFS△AEFx22y2
(x22y2)2x224y224x2y2≤2(x224y22)22,
当x22y2时,上式取等号.所以
S的最大值为22.
四、垂直关系
10.(上海春季)已知椭圆C的两个焦点分别为F1(1,0)、F2(1,0),短轴的两个端点分别为B1、B2。
(1)若△F1B1B2为等边三角形,求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C的短轴长为2,过点F2的直线l与椭圆C相交于P、Q两点,且
22解:
(1)设椭圆C的方程为x2y21(ab0)。
a2b2
2y13
根据题意知a2b,解得a2,b21,故椭圆C的方程为x
a2b21334
yk(x1)
由x2,得(2k21)x2
x21
2y2
4k2x2(k2
1)0。
设P(x1,
y1),
Q(x2,y2),
4k2
2k21
x1x2
2(k21)
2k2
uuur
,F1P(x11,y1),
F1Q(x21,
y2),
因为F1P
uFu1Qur,所以uFu1uPr
F1Q
0,
1)y1y2x1x2
k2(x1
1)(x21)
(k21)x1x2(k2
1)(x1x2)
k21
7k21
解得k21,即k
7
7。
。
故直线l的方程为
0。
11.如图,设椭圆x
l使得F为△BMN的垂心。
若存在,求出直线l的方程;
若不存在,
1的上顶点为
B,右焦点为F,直线l与椭圆交于
说明理由。
M、
N两点,问是否存在直线
由已知可得,B(0,1),F(1,
0),∴kBF=-1。
∵BF⊥l,∴可设直线
l的方程为
y=x+m,
代入椭圆方程整理,得
3x24mx
2m220。
设M(x1,y1),N(x2,
2m22
∵BN⊥MF,
y1
y2
1,即y1y2x1x2y1x2
x11
∵y1x1
,y2
m,∴
(x1m)(x2m)x1x2
m)x20。
即2x1x2(
1)(x1
2m
m0,
∵2m2
∵2
(m
1)(
4m)
m2m0,∴3mm
0,∴m4或m1。
,x1x2
得m
由(4m)212(2m22)248m20,
4m
则x1x2
又m1时,直线l过B点,不合要求,∴
4,
,
故存在直线l:
yx4满足题设条件。
12.(2012年高考(湖北理))设A是单位圆xy21上的任意一点,l是过点A与x轴垂直的直线,D是直线l与x轴的交点,点M在直线l上,且满足|DM|m|DA|(m0,且m1)。
当点A在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线C。
(Ⅰ)求曲线C的方程,判断曲线C为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标;
(Ⅱ)过原点且斜率为k的直线交曲线C于P,Q两点,其中P在第一象限,它在y轴上的射影为点N,直线QN交曲线C于另一点H。
是否存在m,使得对任意的k0,都有PQPH?
若存在,求m的值;
若不存在,请说明理由。
解析:
Ⅰ)如图1,设M(x,y),A(x0,y0),则由|DM|m|DA|(m0,且m1),
可得xx0,|y|m|y0|,所以x0x,|y0|1|y|。
①m
当0
m1时,曲线C是焦点在x轴上的椭圆,两焦点坐标分别为(1m2,0),(1m2,0);
依题意可知此方程的两根为
x1,
x2,于是由韦达定理可得
x1x242k2x12,即
m24k2
mx1
因为点H在直线QN上,
所以
y2kx12kx2
是PQ(2x1,2kx1),
PH(x2x1,y2
2km2x1
4k2x1,
m24k2,
2km2x1。
2km4xk12)。
而PQPH等价于uPuQuruPuHur4(2m2)k2x12
即2m20,又m0,得m2,
故存在m2,使得在其对应的椭圆x2
1上,对任意的
k0,都有PQ
PH。
图1
图2(0m1)
N
O
Q
图3(m1)
因为P,H两点在椭圆C上,所以
22mx1
22mx2
m,两式相减可得
m,
222m(x1x2)
(y12y22)0。
③
依题意,由点
P在第一象限可知,点
H也在第一象限,且P,H不重合,
故(x1x2)(x1
x2)0。
于是由③式可得(y1y2)(y1y2)
(x1x2)(x1
m2。
④
又Q,N,H三点共线,所以kQN
kQH
,即2y1
y1y2x1x2
于是由④式可得kPQkPHy1
而PQPH等价于kPQkPH
1,即
(y1y2)(y1y2)
(x1x2)(x1x2)
1,又m0,
故存在m2,使得在其对应的椭圆
13.(10浙江/21)已知m>
1,直线l:
右焦点.
(1)当直线l过右焦点F2时,求直线l
(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点,
的圆内,求实数m的取值范围.
解】
(Ⅰ)因为直线l:
xmy
又因为m1,所以m2,故直线
Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2)
my
2,消去x得:
2y
则由
8(m21)
由于F1(
c,0),F2(c,0),
m。
y1上,对任意的k0,都有PQPH
xmy
0,椭圆C:
x2
VAF1F2,VBF1F2的重心分别为
0经过F2(m21,0),所以
l的方程为x2y
m280,知
10.
由重心坐标公式可知
设M是GH的中点,则M(
6
),
y21,F1,F2分别为椭圆
G,H.若原点O在以线段
1m,得m22
C的左、
GH为直径
即4[(x1x22y1y226
x2)2
(y1
8,且有y1
y22,y1
x1y1x2y2
G(x31,y31),H(x32,y32).GH
由题意可知2MOGH
y2)2,即x1x2y1y20
91212
(x1x2)2
(y1y2)2
而x1x2y1y2(my1m2)(my2
m2)y1y2
2m1m
(m21)(),所以
828
120,即m2
又因为m1且0,所以1
m2,所以
m的取值范围是(1,2).
14.(09山东/22)设椭圆E:
x22y221
22ab
a,b>
0)过M(2,2),N(6,1)两点,
O为坐标原点.
(1)求椭圆uuurOA
B,且
E的方程;
(2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆
OuuBur?
若存在,
E恒有两个交点A,
因为椭圆
E:
a2
a
b2
,解得
写出该圆的方程,并求|AB|的取值范围;
若不存在,说明理由
假设存在圆心在原点的圆,
该圆的切线方程为y
by221
8,所以
a,
2ab2
0)过M(2,2),N(6,1)两点,
8.∴椭圆E的方程为x
y21.
使得该圆的任意一条切线与椭圆
B,且OA
OuuBur,设
解方程组x2
8
,得
222
2(kxm)28,即(12k2)x2
4kmx2m8
设A(x1,y1),
B(x2,y2),
4km
x22
12k2,2,2m812k2
要使
uuuruuurOAOB,
需使
x1x2y1y2
y1y2(kx1
m)(kx2m)
k2x1x2
km(x1x2)
k2(2m2
8)
4k2m2
12k2
m28k2
即2m28
m8k
20,所以
3m8k8
因为直线y
m为圆心在原点的圆的一条切线,
所以圆的半径为
2,r
1k2
3m8
∴r
此时圆x2y2
38都在椭圆的内部,
所以圆的切线与椭圆必有两个不同的交点,且
OA
uuurOB.
而当切线的斜率不存在时,切线
26与椭圆xy1的两个交点为
384
26
(3,
236)或(
26uuuruuur),满足OAOB.
综上,存在圆心在原点的圆x2
8,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点
uuurA,B,且OA
|AB|1k2
1k28(8(k122mk22)24)
32
332[1
k2
4k44k2
1],
①当k
0时|AB|332[1
],因为
21
4kk12
4≥8
所以0
11
≤,
4k21248
11]≤12,
k24
所以46|AB|≤23当且仅当
2时取
②当k0时,|AB|46
五、存在性问题
15.以椭圆x2y21(a1)的短轴的一个端点B(0,1)为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形,问这样a2
的直角三角形是否存在?
如果存在,请说明理由,并判断最多能作出几个这样的三角形;
如果不存在,请说明理由.
①过点B(0,1)分别作斜率为1的直线,必与椭圆x2y21各另有一交点M,N,则BMN即
a2为所求的等腰直角三角形,故这样的内接等腰直角三角形至少有一个;
②如除了
(1)给出的内接等腰直角三角形外,还存在其他的内接等腰直角三角
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