广东省广州市届高三模拟调研数学理试题 Word版含答案.docx
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广东省广州市届高三模拟调研数学理试题Word版含答案
试卷类型:
A
2015年广州市高考模拟考试
数学(理科)2015.1
本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.
注意事项:
1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上,并用2B铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号.用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.
2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题号(或题组号)对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.
5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,按要求交回试卷和答题卡.
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.
1.已知i为虚数单位,复数对应的点位于
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.已知集合,,则
A.B.C.D.
3.设向量,,若方向相反,则实数的值是
A.B.C.D.
4.一算法的程序框图如图1,若输出的,
则输入的的值可能为
A. B.C. D.
5.将函数的图象向左平移个单位,再向上
平移个单位,所得图象的函数解析式是
A.B.
C.D.
6.用,,表示空间中三条不同的直线,表示平面,给出下列命题:
①若,,则∥;②若∥,∥,则∥;
③若∥,∥,则∥;④若,,则∥.
其中真命题的序号是
A.①② B.②③C.①④ D.②④图1
7.已知双曲线的左,右焦点分别为,,过点的直线与双曲线的右支相交于,两点,且点的横坐标为,则△的周长为
A. B.C. D.
8.已知映射.设点,,点是线段上一动点,.当点在线段上从点开始运动到点结束时,点的对应点所经过的路线长度为
A.B. C.D.
二、填空题:
本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.
(一)必做题(9~13题)
9.不等式的解集是.
10.已知数列是等差数列,且,则的值为.
11.在平面直角坐标系中,设不等式组所表示的平面区域是,从区域中随
机取点,则的概率是.
12.由,,,…,这十个数字组成的无重复数字的四位数中,十位数字与千位数字之差的绝
对值等于的四位数的个数是.
13.已知函数,则的
值为.
(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)
14.(几何证明选讲选做题)
如图2,圆的直径,直线与圆相切于点,
于点D,若,设,则______.
15.(坐标系与参数方程选讲选做题)图2
在极坐标系中,设曲线与的交点分别为,,
则线段的垂直平分线的极坐标方程为.
三、解答题:
本大题共6小题,满分80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分12分)
已知函数R,是函数的一个零点.
(1)求的值,并求函数的单调递增区间;
(2)若,且,,求的值.
17.(本小题满分12分)
广州某商场根据以往某种商品的销售记录,绘制了日销售量的频率分布表(如表)和频
率分布直方图(如图).
分组
频数
频率
表1
将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.
(1)求,的值.
(2)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都高于100个且另1天的日销售量不高于50
个的概率;
(3)用表示在未来3天里日销售量高于100个的天数,求随机变量的分布列和数学期望.
18.(本小题满分14分)
如图,四边形是正方形,△与△均是以为直角顶点的等腰直角三角形,
点是的中点,点是边上的任意一点.
(1)求证:
;
(2)求二面角的平面角的正弦值.
19.(本小题满分14分)
已知数列的前项和满足:
,为常数,且,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,设,且数列的前项和为,求证:
.
20.(本小题满分14分)
已知椭圆的离心率为,且经过点.圆.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与椭圆C有且只有一个公共点,且与圆相交于两点,
问是否成立?
请说明理由.
21.(本小题满分14分)
已知函数,R.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若函数有两个极值点,,且,求的取值范围;
(3)在
(2)的条件下,证明:
.
2015年广州市高考模拟考试
数学(理科)试题参考答案及评分标准
说明:
1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数.
2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.
一.选择题:
本大题主要考查基本知识和基本运算.共8小题,每小题5分,满分40分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
B
D
C
A
D
A
B
二.填空题:
本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题.
9.10.11.12.13.
14.15.
三.解答题:
本大题共6小题,满分80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分12分)
(1)解:
∵是函数的一个零点,
∴.…………………………………………1分
∴.………………………………………………2分
∴
………………………………………………3分
.………………………………………………4分
由,Z,
得,Z,………………………………………………5分
∴函数的单调递增区间是Z.…………………6分
(2)解:
∵,
∴.
∴.………………………………………………7分
∵,
∴.………………………………………………8分
∵,
∴.
∴.………………………………………………9分
∵,
∴.……………………………………………10分
∴…………………………………………11分
.………………………………………………12分
17.(本小题满分12分)
(1)解:
,.…………………………2分
(2)解:
设表示事件“日销售量高于100个”,表示事件“日销售量不高于50个”,
表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量高于100个且另1天销售量不高于50个”.
,,
.………………………………………………………5分
(3)解:
依题意,的可能取值为,,,,且.……………………6分
,,
,,…………10分
∴的分布列为
0
1
2
3
0.064
0.288
0.432
0.216
……………………………………11分
∴.……………………………………12分
18.(本小题满分14分)
(1)证明:
∵是的中点,且,
∴.……………………………………………1分
∵△与△均是以为直角顶点的等腰直角三角形,
∴,.
∵,平面,平面,
∴平面.
∵平面,
∴.……………………………………2分
∵四边形是正方形,
∴.……………………………………3分
∵,平面,平面,
∴平面.
∵平面,
∴.………………………………………………………4分
∵,平面,平面,
∴平面.………………………………………………………5分
∵平面,
∴.………………………………………………………6分
(2)解法1:
作于,连接,
∵⊥平面,平面
∴.………………………………………………………7分
∵,平面,平面,
∴⊥平面.………………………………………………………8分
∵平面,
∴.……………………………………………………9分
∴∠为二面角的平面角.…………………………………………………10分
设正方形的边长为,则,,
在Rt△中,,…………………11分
在Rt△中,,,………………12分
在Rt△中,.………………………………………………13分
∴二面角的平面角的正弦值为.……………………………………14分
解法2:
以为坐标原点,分别以所在直线为轴,轴,轴,
建立空间直角坐标系,设,
则,,,.……………7分
∴,.
设平面的法向量为,
由得…………………8分
令,得,
∴为平面的一个法向量.…………………………………………9分
∵平面,平面,
∴平面平面.
连接,则.
∵平面平面,平面,
∴平面.………………………………………………10分
∴平面的一个法向量为.………………………………………………11分
设二面角的平面角为,
则.……………………………………………12分
∴.………………………………………………13分
∴二面角的平面角的正弦值为.……………………………………14分
19.(本小题满分14分)
(1)解:
∵,∴.………………………………………1分
当时,,………………………………………3分
得,………………………………………………4分
∴数列是首项为,公比也为的等比数列.………………………………………5分
∴.……………………………………………6分
(2)证明:
当时,,………………………………………………7分
∴.…………………………8分
由,,………………………………………………10分
∴.……………………………………………11分
∴.…………13分
∵,
∴,即.…………………………………………………14分
20.(本小题满分14分)
(1)解:
∵椭圆过点,
∴.…………………………………………1分
∵,…………………………………………2分
∴.…………………………………………3分
∴椭圆的方程为.…………………………………………4分
(2)解法1:
由
(1)知,圆的方程为,其圆心为原点.………………………5分
∵直线与椭圆有且只有一个公共点,
∴方程组(*)有且只有一组解.
由(*)得.……………………………………6分
从而,化简得.①…………………7分
,.……………9分
∴点的坐标为.……………………………………10分
由于,结合①式知,
∴.……………………………………11分
∴与不垂直.……………………………
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