考研数学真题归纳线性代数Word文档格式.docx
- 文档编号:21026373
- 上传时间:2023-01-27
- 格式:DOCX
- 页数:14
- 大小:150.66KB
考研数学真题归纳线性代数Word文档格式.docx
《考研数学真题归纳线性代数Word文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《考研数学真题归纳线性代数Word文档格式.docx(14页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
001_
单位矩阵,则|B卜.
专题二:
矩阵
1、逆矩阵
例.设A2+A-4E=OJiJ(A-2E)-|=.
例.设A为畀阶非零矩阵,E为〃阶单位矩阵.若A3=0,则
(A)E-A不可逆,E+A不可逆(C)E-A可逆,E+A可逆
_100
.010
例.设矩阵A的伴随矩阵A=1010-30
(B)E-A不可逆,E+A可逆
(D)E-A可逆.E+A不可逆
0_
0,且ABA"
=BA」+3E,其中E为4阶单
8
位矩阵,求矩阵B.
例、设A,B均为2阶矩阵,A\B*分别为A,B的伴随矩阵,若|A|=2,|B|=3,则分块矩阵
,O
3B八
o
2B八
(A)
(B)
■
o,
o>
,o
3才)
2力八
(C)
(D)
〔28
o丿
3
的伴随矩阵为
(oA}
APR
冷O)
2、初等矩阵
例.设A是3阶方阵,将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C•则满足AQ=C的可逆矩阵Q为
010_
_010_
100
101
101_
001
_01o-
oir
011
500、
rl00)
行得到单位阵E,记片=
110
p严
、001丿
21o丿
例.设A为3阶矩阵,把A的第二列加到第一列得到矩阵B,再交换B的第二行与第3
则A=(
BP「P’
C
例“殳A为3阶矩阵,将A的第2行加到第1行得B,再将B的第1列的J倍加到第2列得C•
‘110、
记P=010,则
<
0°
b
(A)C=P'
AP(B)C=PAP"
(D)C=PAP7
(C)C=P7AP
1A
例、设A为3阶矩阵,P为3阶可逆矩阵,且P~lAP=1,P=(q,a2,aJ,
Q=(q+&
2心2心)则。
()
1]
2
、L
、2,
V、
2、
2丿
例.设A为n{n>
2)阶可逆矩阵,交换A的第1行与第2行得矩阵分别为A,B的伴随矩阵,则
(A)交换A•的第1列与第2列得B‘(B)交换A•的第1行与第2行得M
3、矩阵的秩
例、A=aar+pp\ar为a的转置,卩「为卩的转置.证明:
(l)r(A)<
2.
⑵若①卩线性相关,则r(A)<
例、设A为mxn型矩阵,B为”xm型矩阵,若AB=E,则
(A)秩(A)=m,秩(B)=m(B)秩(A)=m,秩(B)=n
(C)秩(A)=仏秩(B)=加(D)秩(A)=仏秩(B)=n
专题三:
线性方程组
K解的判定定理
j
Ai'
T
例、已知方程组
a+2
=
a
-2
无解,则g
例.设有齐次线性方程组
(1+t/)X|+x,+・••+©
=0,
2x.+(2+a)/+••・+2x=0,
⑺A2),
“比+nx2+•••+(“+a}xn=0,试问d取何值时,该方程组有非零解,并求岀其通解.
例.已知四阶方阵A=(sss5),«
n«
2^3«
4均为四维列向星其中a2.«
va4线性无
关,cq=25-<
13.若卩=<
X]+a2+a3+a4线性方程组A.r=p的通解.
6伙为常数),
k
12
例、已知3阶矩阵A的第一行是(小c),ab,c不全为零,矩阵B=24
36
且AB=O,求线性方程组心=0的通解.
2、基础解系
例、设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B均为mx“矩阵,现有4个命题:
1若心=0的解均是Ba=0的解,则秩(A)X秩(B)
2若秩(A)n秩(B),则Aa=0的解均是Bx=0的解
3若心=0与Bv=0同解,则秩(八)=秩厲)
4若秩(人)=秩少),则Aa=0与Bx=0同解
以上命题中正确的是
(A)®
@(B)®
@(C)②④(D)®
@
例、已知非齐次线性方程组
X{+X2+X3+兀4=_1
‘4Xj+3x2+5壬_兀=_1
axx+x2+3x3-bxq=1
有3个线性无关的解,
(1)证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2.
几1
例、设人=02-1
L11
(2)求a.b的值及方程组的通解.
1,已知线性方程组Ax=b存在两个不同的解.丄
(1)求兄卫・
(2)求方程组Ax=b的通解.
例、设线性方程组
xi+x2+x3=0
x}+2x2+axy=0,
xt+4x2+crx3=0
与方程
x}+2x2+x3=a—l,
有公共解,求d的值及所有公共解.
例.设62—…,a、为线性方程组AX=O的一个基础解系,
Pl=^l®
i+『2勺'
卩2=+片2幺39…=”a$+『2®
、
其中儿心为实常数,试问「『2满足什么条件时儿卩2,…•仪也为AX=O的一个基础解系?
例、设A={axa2a.a4)是4阶矩阵,/f为A的伴随矩阵。
若(l,0,l,0)r是Ar=0的一个基础解系,则=0的基础解系可为()
3、应用(数学一数学二)
例、已知平而上三条不同直线的方程分别为
/]:
ax+2by+3c=0,
12:
bx+Icy+3a=0,
/3:
ex+2ay+3b=0.
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.
例、设有三张不同平而淇方程为+勺y+y=〃(=1,2,3)它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平而可能的位置关系为
(A)(B)(C)
专题四:
向:
1、线性表示
例、设apa2,a
1=1
no
3是3维向量空间疋的-组基,则由基」長討到基
!
+a2,a2+a3,a3+al的过渡矩阵为
2.线性相关性
虽:
组线性相关的是()
(A)ess
(C)a}.a3,a4
(D)a2>
a^a4
例.设〃维列向量组ap...,anj(/H<
H)线性无关贝J"
维列向量组儿…线性无关的充分
必要条件为
(A)向量组J…,j可由向量组儿…臥线性表示
(B)向量组儿…,卩加可由向量组吟线性表示
(C)向量组ap--,aw与向量组P],…屁等价
(D)矩阵A=(5)与矩阵B=(仇,…屁)等价
例、设向量组I:
apa2,.-,ar可由向量组II:
儿以,…,仇线性表示,则
(A)当r<
s时,向量组II必线性相关(B)当r>
s时,向量组II必线性相关
(C)当r<
s时,向疑组I必线性相关(D)当r>
s时,向量组I必线性相关
例、设A.B为满足AB=O的任意两个非零矩阵,则必有
(A)A的列向疑组线性相关.B的行向量组线性相关
(B)A的列向量组线性相关.B的列向量组线性相关
(C)A的行向捲组线性相关.B的行向量组线性相关
(D)A的行向量组线性相关、B的列向量组线性相关
例、设®
勺,…,a,,均为〃维列向量,A是〃?
xn矩阵,下列选项正确的是
(A)若叫,勺,…,J,线性相关,则AapAa2,Aav,线性相关
(B)若apa2,叫,线性相关,则AapAa2,Aav,线性无关
(C)若a”a?
…,a、.,线性无关,则A®
Aa?
…,Aav,线性相关
(D)若apa2,--,a”线性无关,则Aa】,Aa?
…,Aay,线性无关.
3、极大无关组
例.设s=(12-1,0)7\5=(1丄°
,2)7\5=(2丄1。
)7\若由apa2.a3形成的向量空间的
维数是2,则a=例.从R-的基ct]=
4、综合运用
r1
-1、
‘-1、
例、设人=
F—宀1一
、0
-4
一2丿
(1)求满足A%=71的芬・A运3=■的所有向量召2'
勺3・
(2)对⑴中的任意向量尙局证明怎无关•
专题五:
特征值特征向量
1、特征值特征向量的定义与性质
例、设A为2阶矩阵,叫,勺为线性无关的2维列向量,A叫=0,Aa2=2a1+a2,5!
iJA的非
零特征值为・
例、若3维列向量a.卩满足a7p=2,K中『为a的转宜.则矩阵卩出的非零特征值为•
例、设备仏是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为叫,勺侧a(,A(a,+a2)线性无关的充分必要条件是
(A)Aj工0(B)兄2HO(C)兄]=0(D)几2=。
2、相似对角化
12-3_
例、设矩阵人=-14-3的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角
1a5
化.
例、设A为4阶对称矩阵,且A2+A=0,若A的秩为3,则A相似于
(A)
1111]
K400O'
1111
•B=
0000
Jill,
0000,
侧A与B
例♦设A=
(A)合同且相似
(C)不合同但相似
(B)合同但不相似
(D)不合同且不相似
例.设A.B为同阶方阵,
(1)若A,B相似就明A,B的特征多项式相等.
(2)举一个二阶方阵的例子说明
(1)的逆命题不成立.
⑶当A,B为实对称矩阵时,证明
(1)的逆命题成立.
3.
对称矩阵的对角化
其中A•为A的伴随矩阵.E为3阶单位矩阵.
例.设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向虽=(-12-1),S=(0,71)'
是线性方程组Ay=0的两个解.
(1)求A的特征值与特征向量.
(2)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得Q7AQ=A・
丫1P
-11、
例、A为3阶实对称矩阵,A的秩为2,且A
00
k-1b
1b
求
(1)A的特征值与特征向量
(2)矩阵A
例.设3阶实对称矩阵A的特征向量值入=1,人=2,人=一2・®
=(1,-1」)卩是A的属于特征值人的一个特征向量,记B=A'
—4A‘+E,英中E为3阶单位矩阵.
(1)验证%是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量.
(2)求矩阵B.
例.已知三阶矩阵A和三维向量x,使得x,Ax,A2x线性无关,且满足A\=3Ax-2A2x・
(1)记P=(x,Ax.AU),求B使A=PBP"
(2)计算行列式|A+E|.
4、应用
例.某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将丄熟练工支援其
6
他生产部门.其缺额由招收新的非熟练工补齐•新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有
二成为熟练工•设第〃年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为兀和片,记成向:
N.
(1)求卜氣]与卜'
的关系式并写成矩阵形式:
/\
=A
(\
£
1儿利丿1儿丿
)“+】丿
<儿>
⑵验址4],!
],=一「是A的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值.
L1」I1』
/、
X
例、设A为3阶实对称矩阵,如果二次曲而方程(x,y,z)Ay=1在正交变换下的标准方程
专题六:
二次型
已知实二次型/(Xj,x2,x3)=a(x^+X2+眉)+4衲2+^xix3+4x2x3经正交变换可
化为标准型f=6才侧a=.
已知二次型f(xl9x2tx3)=(1-a)xf+(1-a)£
+2X3+2(l+a)x』2的秩为2.
(1)求a的值;
(2)求正交变换x=Qy.把/(“,x2,x3)化成标准形.
(3)求方程/(山山2,勺)=0的解.
设二次型/(斗,呂,召)=ar:
+喝+(。
一1)£
+2x{x3-2x2x3.
(1)求二次型/的矩阵的所有特征值;
(2)若二次型f的规范形为y~+y;
求a的值.
设二次型/(召宀宀)=灯心在正交变换x=Qy下的标准形为+K,且Q的第三
⑴求A.
(2)证明A+E为正左矩阵,英中E为3阶单位矩阵.
‘101、
三阶矩阵4=011,屮为矩阵A的转宜,已知r(ArA)=2,且二次型f=x'
A1Axa
1)求d
2)求二次型对应的二次型矩阵,并将二次型化为标准型,写出正交变换过程。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 考研 数学 归纳 线性代数
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)