图
象
性
质
定义域:
(0,+∞)
值域:
R
过点(1,0),即当时,
时
时
时
时
在(0,+∞)上是增函数
在(0,+∞)上是减函数
思考:
函数与函数的定义域、值域之间有什么关系?
___________________________________________________________________________
对数函数的图象与指数函数的图象关于_______________对称。
一般的,函数y=ax与y=logax(a>0且a≠1)互称相对应的反函数,它们的图象关于直线y=x对称
y=f(x)存在反函数,一般将反函数记作y=f-1(x)如:
f(x)=2x,则f-1(x)=log2x,二者的定义域与值域对调,且图象关于直线y=x对称
函数与其反函数的定义域与值域对调,且它们的图象关于直线y=x对称
专题应用练习
一、求下列函数的定义域
(1);
(2);
(3)(4)
(5)y=lg(6)y=
1.y=log(5x-1)(7x-2)的定义域是________________
2.y=的定义域是_______________
3.求函数的定义域___________
4.函数y=的定义域是
5.函数y=log2(32-4x)的定义域是 ,值域是 .
6.函数的定义域____________
7.求函数的定义域和值域。
8.求下列函数的定义域、值域:
(1);
(2);(3)(且).
9.函数f(x)=ln()定义域
10.设f(x)=lg,则f的定义域为
11.函数f(x)=的定义域为
12.函数f(x)=的定义域为;
13.函数f(x)=ln()的定义域为
14的定义域是
1.设f(x)=lg(ax2-2x+a),
(1)如果f(x)的定义域是(-∞,+∞),求a的取值范围;
(2)如果f(x)的值域是(-∞,+∞),求a的取值范围.
15.已知函数
(1)若函数的定义域为R,求实数a的取值范围
(2)若函数的值域为R,求实数a的取值范围
(3)若函数的定义域为,求实数a的值;
(4)若函数的值域为,求实数a的值.
16.若函数的定义域为,则函数的定义域为
17.已知函数f(2x)的定义域是[-1,1],求f(log2x)的定义域.
18若函数y=lg(4-a·2x)的定义域为R,则实数a的取值范围为
19已知满足不等式,函数的值域是
20求函数的值域。
21已知函数f(x)=log2+log2(x-1)+log2(p-x).
(1)求f(x)的定义域;
(2)求f(x)的值域.
解:
f(x)有意义时,有
由①、②得x>1,由③得x<p,因为函数的定义域为非空数集,故p>1,f(x)的定义域是(1,p).
(2)f(x)=log2[(x+1)(p-x)]=log2[-(x-)2+](1<x<p),
①当1<<p,即p>3时,0<-(x-,
∴log2≤2log2(p+1)-2.
②当≤1,即1<p≤3时,∵0<-(x-∴log2<1+log2(p-1).
综合①②可知:
当p>3时,f(x)的值域是(-∞,2log2(p+1)-2];
当1<p≤3时,函数f(x)的值域是(-∞,1+log2(p-1)).
二、利用对数函数的性质,比较大小
例1、比较下列各组数中两个数的大小:
(1),;
(2),;
(3),;(4),,
1.,,的大小关系是____________
2.已知a2>b>a>1,则m=logab,n=logba,p=logb的大小关系是____________
3.已知logm5>logn5,试确定m和n的大小关系
4.已知0<a<1,b>1,ab>1,则loga的大小关系是
5.已知logb<loga<logc,比较2b,2a,2c的大小关系.
6.设,则
7.
8.
9.设00,且a≠1,试比较|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小。
10.已知函数,则,,的大小关系是______
三、解指、对数方程:
(1)
(2)(3)(4)
1.已知3a=5b=A,且=2,则A的值是
2.已知log7[log3(log2x)]=0,那么等于
3.已知log7[log3(log2x)]=0,那么x等于
4..若x∈(e-1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln3x,则
5.若,那么等于
6.已知,则
7.已知,求的值.
四、解不等式:
1.
2.
3.设满足,给出下列四个不等式:
①,②,③,④,其中正确的不等式有
4.已知:
(1)在上恒有,求实数的取值范围。
5.已知函数,当时,恒成立,求实数的取值范围。
6.求的取值范围,使关于的方程有两个大于的根.
(2008·全国)若x∈(e-1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln3x,则
7.已知0<a<1,b>1,ab>1,则loga的大小关系是
8.已知函数f(x)=logax(a>0,a≠1),如果对于任意x∈[3,+∞)都有|f(x)|≥1成立,试求a的取值范围
9.已知函数f(x)=log2(x2-ax-a)在区间(-∞,1-]上是单调递减函数.求实数a的取值范围.
10.若函数在区间上是增函数,的取值范围
11.已知函数在区间上是增函数,则实数的取值范围是
12.若函数f(x)=,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是
13..设函数若,则的取值范围是( )
14.设a>0且a≠1,若函数f(x)=有最大值,试解不等式>0
五、定点问题
1.若函数y=loga(x+b)(a>0,且a≠1)的图象过两点(-1,0)和(0,1),则
2.若函数y=loga(x+b)(a>0,且a≠1)的图象过两点(-1,0)和(0,1),则
3.函数恒过定点.
六、求对数的底数范围问题
1.
(1)若且,求的取值范围
2.
(2)若,求的取值范围
3..若且,则的取值范围________
4.函数的定义域和值域都是,则的值为 .
5.若函数在上单调递减,则的取值范围是
6.函数y=log0.5(ax+a-1)在x≥2上单调减,求实数a的范围
7..已知y=(2-)在[0,1]上是x的减函数,求a的取值范围.
8.已知函数y=log(x2-2ax-3)在(-∞,-2)上是增函数,求a的取值范围.
9.已知函数f(x)=logax(a>0,a≠1),如果对于任意x∈[3,+∞)都有|f(x)|≥1成立,
试求a的取值范围.
10.若函数在上是增函数,的取值范围是
11.使成立的的取值范围是
12.若定义在(-1,0)内的函数f(x)=log2a(x+1)满足f(x)>0,则a的取值范围是
七、最值问题
1.函数y=logax在[2,10]上的最大值与最小值的差为1,则常数a= .
2.求函数的最小值 ,最大值 .。
3.设a>1,函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为,则a=
4.函数f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a,则a=
5.已知,则函数的最大值是,最小值是.
6.已知,求函数的最大值与最小值
7.已知满足,求函数的最值。
8.
9.函数f(x)=ax+log(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a,则a=
10.求函数的最小值
11.函数在区间上的最大值比最小值大2,则实数=___.
八、单调性
1.讨论函数的奇偶性与单调性
2.函数的定义域是,值域是,单调增区间是
3.函数的递减区间是.
4.函数y=log1/3(x2-3x)的增区间是________
5.证明函数在上是增函数
6.函数在上是减函数还是增函数?
7.求函数的单调区间,并用单调定义给予证明
.8.求y=(-2x)的单调递减区间
9..求函数y=(-4x)的单调递增区间
10.函数y=log(x2-3x+2)的递增区间是
11.函数的值域是,单调增区间是.
12.若函数在区间上是减函数,求实数的取值范围
1.证明函数y=(+1)在(0,+∞)上是减函数;
2.已知函数f(x)=log2(x2-ax-a)在区间(-∞,1-]上是单调递减函数.,求实数a的取值范围.
3.已知函数,(其中实数)
(Ⅰ)求函数的定义域;(Ⅱ)若在上有意义,试求实数的取值范围
小结:
复合函数的单调性
的单调相同,为增函数,否则为减函数
九、奇偶性
1.函数的奇偶性是 。
2.若函数是奇函数,且时,,则当时,
3.偶函数在内单调递减,,则之间的大小关系
4.已知是定义在上的偶函数,且在上为增函数,,则不等式的解集为
5.已知函数若则 .
6.已知奇函数满足,当时,函数,则=____.
7.
8.知函数f(x)=loga(a>0,且a≠1,b>0)
(1)求f(x)定义域;
(2)讨论f(x)奇偶性;(3)讨论f(x)单调性
9.a,b∈R,且a≠2,定义在区间(-b,b)内的函数f(x)=是奇函数
1)求b取值范围2)讨论函数f(x)单调性.
10.设a,b∈R,且a≠2,定义在区间(-b,b)内的函数f(x)=是奇函数.
(1)求b的取值范围;
(2)讨论函数f(x)的单调性.
11.已知函数其中,设.
(1)求函数的定义域,判断的奇偶性,并说明理由;
(2)若,求使成立的的集合.
十、对称问题与解析式
1.已知函数的定义域是,且对任意的满足,当时有,请你写出一个满足上述条件的函数 。
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