三角函数图像与性质知识点总结.doc
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函数图像与性质知识点总结
一、三角函数图象的性质
1.“五点法”描图
(1)y=sinx的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为
(0,0) (π,0) (2π,0)
(2)y=cosx的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为
(0,1),,(π,-1),,(2π,1)
2.三角函数的图象和性质
函数
性质
y=sinx
y=cosx
y=tanx
定义域
R
R
{x|x≠kπ+,k∈Z}
图象
值域
[-1,1]
[-1,1]
R
对称性
对称轴:
x=kπ+(k∈Z);
对称中心:
(kπ,0)(k∈Z)
对称轴:
x=kπ(k∈Z)
对称中心:
(kπ+,0)(k∈Z)
对称中心:
(k∈Z)
周期
2π
2π
π
单调性
单调增区间_[2kπ-,2kπ+](k∈Z);
单调减区间
[2kπ+,2kπ+](k∈Z)
单调增区间
[2kπ-π,2kπ](k∈Z);
单调减区间
[2kπ,2kπ+π](k∈Z)
单调增区间
(kπ-,kπ+)(k∈Z)
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
3.一般地对于函数f(x),如果存在一个非零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期,把所有周期中存在的最小正数,叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)
4.求三角函数值域(最值)的方法:
(1)利用sinx、cosx的有界性;
关于正、余弦函数的有界性
由于正余弦函数的值域都是[-1,1],因此对于∀x∈R,恒有-1≤sinx≤1,-1≤cosx≤1,所以1叫做y=sinx,y=cosx的上确界,-1叫做y=sinx,y=cosx的下确界.
(2)形式复杂的函数应化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式逐步分析ωx+φ的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域;含参数的最值问题,要讨论参数对最值的影响.
(3)换元法:
把sinx或cosx看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值)问题.
利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性,如:
y=sin2x-4sinx+5,令t=sinx(|t|≤1),则y=(t-2)2+1≥1,解法错误.
5.求三角函数的单调区间时,应先把函数式化成形如y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式,再根据基本三角函数的单调区间,求出x所在的区间.应特别注意,应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x系数的正负号)
(1)y=sin;
(2)y=sin.
6、y=Asin(ωx+φ)+B的图象求其解析式的问题,主要从以下四个方面来考虑:
①A的确定:
根据图象的最高点和最低点,即A=;
②B的确定:
根据图象的最高点和最低点,即B=;
③ω的确定:
结合图象,先求出周期,然后由T=(ω>0)来确定ω;
④φ的确定:
把图像上的点的坐标带入解析式y=Asin(ωx+φ)+B,然后根据φ的范围确定φ即可,例如由函数y=Asin(ωx+φ)+K最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为-(即令ωx+φ=0,x=-)确定φ.
二、三角函数的伸缩变化
先平移后伸缩
的图象
得的图象
得的图象
得的图象
得的图象.
先伸缩后平移
的图象
得的图象
得的图象
得的图象得的图象.
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