一元二次不等式及其解法(例题分类).doc
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一对一个性化辅导教案
课题
一元二次不等式及其解法
教学重点
一元二次不等式及其解法
教学难点
一元二次不等式及其解法
教学目标
掌握二元一次不等式与线性规划的基本知识及方法技巧
教
学
步
骤
及
教
学
内
容
一、课前热身
1.检查作业
2.了解学生本周学习情况
3.告知本节课内容,准备上课
二、内容讲解
三.课堂小结
四、作业布置
管理人员签字:
日期:
年月日
一元二次不等式及其解法
【要点梳理】
要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.比如:
.一元二次不等式的一般形式:
或.
设一元二次方程的两根为且,则不等式的解集为,不等式的解集为
要点诠释:
讨论一元二次不等式或其解法时要保证成立.
要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系
对于一元二次方程的两根为且,设,它的解按照,,可分三种情况,相应地,二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.
二次函数
()的图象
有两相异实根
有两相等实根
无实根
要点诠释:
(1)一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值,是抛物线与轴的交点的横坐标;
(2)表中不等式的二次系数均为正,如果不等式的二次项系数为负,应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式,然后讨论解决;
(3)解集分三种情况,得到一元二次不等式与的解集.
要点三、解一元二次不等式的步骤
(1)先看二次项系数是否为正,若为负,则将二次项系数化为正数;
(2)写出相应的方程,计算判别式:
开始
结束
将原不等式化成一般形式ax2+bx+c>0(a>0)
Δ=b2-4ac
求方程ax2+bx+c=0的两个根x1、x2
方程ax2+bx+c=0没有实数根
原不等式解集为R
原不等式解集为
原不等式解集为{x|x Δ≥0? x1=x2? 否 是 是 否 ①时,求出两根,且(注意灵活运用因式分解和配方法); ②时,求根; ③时,方程无解 (3)根据不等式,写出解集. 用程序框图表示求解一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的过程 要点诠释: 1.解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正;若为负,则将其变为正数; 2.若相应方程有实数根,求根时注意灵活运用因式分解和配方法; 3.写不等式的解集时首先应判断两根的大小,若不能判断两根的大小应分类讨论; 4.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根,我们可以利用韦达定理,找到不等式的解集与其系数之间的关系; 5.若所给不等式最高项系数含有字母,还需要讨论最高项的系数. 【典型例题】 类型一: 一元二次不等式的解法 例1.解下列一元二次不等式 (1); (2);(3) 举一反三: 【变式1】已知函数解不等式f(x)>3. 类型二: 含字母系数的一元二次不等式的解法 例2.解关于x的不等式: ax2-x+1>0 【总结升华】对含字母的二元一次不等式,一般有这样几步: ①定号: 对二次项系数大于零和小于零分类,确定了二次曲线的开口方向; ②求根: 求相应方程的根.当无法判断判别式与0的关系时,要引入讨论,分类求解; ③定解: 根据根的情况写出不等式的解集;当无法判断两根的大小时,引入讨论. 举一反三: 【变式1】解关于x的不等式: 【变式2】求不等式12x2-ax>a2(a∈R)的解集. . 例3.解关于x的不等式: ax2-(a+1)x+1<0. 举一反三: 【变式1】解关于x的不等式: (ax-1)(x-2)≥0; 【变式2】解关于x的不等式: ax2+2x-1<0; 类型三: 一元二次不等式的逆向运用 例4.不等式的解集为,求关于的不等式的解集. 举一反三: 【变式1】不等式ax2+bx+12>0的解集为{x|-3 【变式2】已知的解为,试求、,并解不等式. 【变式3】已知关于的不等式的解集为,求关于的不等式的解集. 类型四: 不等式的恒成立问题 例5.已知关于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围. 举一反三: 【变式1】若关于的不等式的解集为空集,求的取值范围. 【变式2】已知不等式ax2+4x+a>1-2x2对一切实数x恒成立, 求实数a的取值范围. 7
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