三角函数较难题.docx
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三角函数较难题
三角函数较难题
1.已知点在圆上,则函数的最小正周期和最小值分别为()
A.B.C.D.
2.在中,角所对应的边分别为,.若,则()
x
B
P
y
O
A.B.3C.或3D.3或
3.函数的部分图象如图所示,设为坐标原点,
是图象的最高点,是图象与轴的交点,则__________.
4.给出如下五个结论:
①存在使②存在区间()使为减函数而<0
③在其定义域为增函数④既有最大、最小值,又是偶函数
⑤最小正周期为π.其中正确结论的序号是
5.设函数(Ⅰ)求的最小正周期及值域;
(Ⅱ)已知中,角的对边分别为,若,,,求的面积.
6.已知向量互相平行,其中.
(1)求和的值;
(2)求的最小正周期和单调递增区间.
7.A,B,C为△ABC的三角,其对边分别为a,b,c,若.
(1)求;
(2)若,,求△ABC的面积.
8.在中,角所对的边为,且满足
(1)求角的值;
(2)若且,求的取值围.
9.已知函数
(1)求函数的最小正周期和最大值;
(2)设的三角分别是A、B、C.若,且,求的值.
10.已知函数,.(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求函数在区间上的最大值和最小值,及相应的x的值.
11.已知函数.
(1)求函数的单调递增区间;
(2)在中,角所对边的长分别是,若,求的面积的值.
12.,,为的三角,其对边分别为,,,若.(Ⅰ)求;
(Ⅱ)若,求的面积.
13.已知.(Ⅰ)求的最小正周期和对称轴方程;
(Ⅱ)在中,角所对应的边分别为,若有,,,求的面积.
14.在中,角所对的边分别为,已知,.
(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求的值.
15.已知函数
(1)求的值;
(2)求的递减区间.
16.设的角,,,所对的边长分别为,,,,,且.
(1)求角的大小;
(2)若,且边上的中线的长为,求边的值.
17.已知函数是定义在R上的奇函数,且当时有.
(1)判断函数的单调性,并求使不等式成立的实数的取值围.
(2)若、、分别是的三个角、、所对的边,面积求、的值;
18.在△ABC中,A、B、C为三个角,f(B)=4cosB·sin2+cos2B-2cosB.
(1)若f(B)=2,求角B;
(2)若f(B)-m>2恒成立,数m的取值围.
19.已知函数的图象的两条相邻对称轴间的距离等于,在ABC中,角A,B,C所对的边依次为a,b,c,若,b+c=3,,求ABC的面积.
20.在ABC中,记角A,B,C的对边为a,b,c,角A为锐角,设向量,且.
(1)求角A的大小及向量与的夹角;
(2)若,求ABC面积的最大值.
参考答案
1.B
【解析】
试题分析:
因为点在圆上,所以,
,所以最小正周期,,应选B.
考点:
三角函数性质、点与圆的位置关系.
2.C.
【解析】
试题分析:
由,得,
即;若,则,此时;若,即,此时;故选C.
考点:
解三角形.
3.8
【解析】
试题分析:
,所以周期,所以P,,所以,
考点:
本题考查三角函数图像,解三角形
点评:
通过三角函数的解析式找到O,P,Q三点坐标,求出各边长度,求出角的余弦,再求正弦
4.④
【解析】
试题分析:
,因为,所以,故不存在
使,故①错误;当时,为减函数,而,故不存在区间()使为减函数而<0,故②错误;由于,故③错误;
有最大值和最小值,且是偶函数,故④正确;的最小正周期为,故⑤错误,故正确的命题有④.
考点:
三角函数的图象与性质.
5.(Ⅰ)=,3分
所以的最小正周期为,值域为;(Ⅱ)
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)由二倍角的正、余弦公式升角,得到=;(Ⅱ)由,得
,得,由余弦定理得=,由已知,由三角形的
面积公式即可求得.
试题解析:
(Ⅰ)=,3分
所以的最小正周期为,4分
∵∴,故的值域为.6分
(Ⅱ)由,得,
又,得,8分
在中,由余弦定理,得=,9分
又,,所以,解得,11分
所以,的面积13分
考点:
1、二倍角的正、余弦公式;2、余弦定理;3、三角形的面积公式.
6.
(1),;
(2),的单调递增区间是
【解析】
试题分析:
(1)平方关系和商数关系式中的角都是同一个角,且商数关系式中;
(2)利用平方关系解决问题时,要注意开方运算结果的符号,需要根据角的围确定,二是利用诱导公式进行化简时,先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步骤:
去负—脱周—化锐,特别注意函数名称和符号的确定;(3)求解较复杂三角函数的单调区间时,首先化成形式,再的单调区间,只需把看作一个整体代入相应的单调区间,注意先把化为正数,这是容易出错的地方.
试题解析:
(1)因为与互相平行,则,(3分)
又,所以,所以.(6分)
(2)由,得最小正周期(8分)
由,得(11分)
所以的单调递增区间是(12分)
考点:
1、同角三角函数的基本关系;2、三角函数的化简;3、求三角函数的周期和单调区间.
7.
(1);
(2).
【解析】
试题分析:
(1)由两角和的余弦公式将已知中的等式转化,进而确定,求出,即;
(2)根据题意及余弦定理求出,再运用三角形的面积公式求得即可.
试题解析:
(1),
又,∴,,.
(2)由余弦定理得
即:
,,.
考点:
1、两角和(差)的正、余弦公式;2、余弦定理;3、三角形面积公式.
8.
(1);
(2)
【解析】
试题分析:
(1)由已知
得3分
化简得5分
故.6分
(2)因为,所以,7分
由正弦定理,得a=2sinA,c=2sinC,
故9分
因为,所以,10分
所以.12分
考点:
本题考查二倍角公式,正弦定理,两角和与差的三角函数,正弦函数的图象和性质
点评:
解决本题的关键是熟练掌握二倍角公式,两角和与差的三角函数,以及正弦定理,第二问关键是整理成的形式
9.
(1)f(x)的最小正周期是π,最大值时1;
(2)
【解析】
试题解析:
:
解:
(1)3分
所以f(x)的周期为,4分
当时,即时取最小-1,
f(x)取其最大值为1.6分
(2)得,C是三角形角,,8分
由余弦定理:
10分
由正弦定理:
,,得,12分
考点:
考查了三角函数的周期和最值,正余弦定理的应用
点评:
根据题意,把f(x)转化为一个角的三角函数,求出周期和最大值,利用正余弦定理解三角形.
10.2,时,,时,
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)
.
所以.7分
(另解)
=2.2分
(Ⅱ)因为,
所以.
所以当,即时,;
当,即时,.13分
所以当时,;当时,.
考点:
本题考查三角函数求最值,二倍角公式,辅助角公式
点评:
将一直所给三角函数化为,就可以求最值,周期,单调区间,对称轴,对称中心
11.
(1);
(2).
【解析】
试题分析:
(1)函数解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简,整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,由正弦函数的单调性即可确定出f(x)的单调递增区间;
(2)由已知及
(1)的结论求出角A的大小,再由正弦定理即可求出a边的长度,从而利用公式就可求出其面积.
试题解析:
(1)∵,
∴.
由,解得.
∴函数的单调递增区间是.
(2)∵在中,,
∴解得.
又,
∴.
依据正弦定理,有.
∴.
∴.
考点:
1.两角和与差的正弦函数;2.三角函数的单调性及其求法;3.正余弦定理.
12.(Ⅰ);(Ⅱ)
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)根据题意利用两角和的余弦值的逆用,将条件化简,为,再利用三角形角和为,,得到;(Ⅱ)将余弦定理变形为:
再将已知条件带入求得的值,由,求得的面积.为得结果.
试题解析:
(Ⅰ)
4分
又,6分
,.7分
(Ⅱ)由余弦定理
得9分
即:
,12分
.14分
考点:
1.两角和的余弦公式;2.三角形的余弦定理;3.三角形的面积公式.
13.(Ⅰ)最小正周期为;对称轴方程为.
(Ⅱ)
【解析】(Ⅰ)由已知得
.故的最小正周期为,令,得,故的最小正周期为;对称轴方程为.
(Ⅱ)由得,因为,故,因为,所以.由正弦定理得:
,
即,所以,由余弦定理得:
,即,∴,
所以.
【命题意图】本题考查诱导公式、三角恒等变形、正弦定理、余弦定理和三角形面积公式等基础知识,意在考查基本的运算能力.
14.(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)在中,,结合正弦定理得,由,知,
再用余弦定理求得的值;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,在中,可得,利用二倍角的正弦、余弦公式求得、,在利用两角差的余弦公式求得.在求解三角形时,要注意正弦定理、余弦定理的正确使用,在求解两角和与差的三角函数时,要注意结合角的围,求出要用到的角的三角函数值,并利用公式正确求解.
试题解析:
(Ⅰ)在中,由及,可得,2分
又由,有4分
所以;6分
(Ⅱ)在中,由,可得,7分
所以,9分
所以.12分
考点:
①正弦定理、余弦定理;②同角三角函数的基本关系式、二倍角公式及两角和与差的三角函数.
15.
(1),
(2)
【解析】
试题分析:
(1)由函数,通过函数的恒等变形将函数化简,再求的值,同时又是为第二小题做好铺垫.
(2)由函数,以及正弦函数的单调递减区间是在上,通过解不等式即可得结论.
试题解析:
1分
=2分
=4分
(1)+26分
=7分
(2)由得8分
9分
所以,的单调减区间是10分
(注:
未注明者,扣1分.)
考点:
1.三角函数的恒等变形.2.三角函数的单调性.
16.
(1);
(2).
【解析】
试题分析:
(1)根据平面向量数量积的坐标表示,由可得,再由正弦定理,将所得的表达式统一为角之间所满足的关系式:
,进一步化简可得,从而,;
(2)由
(1)可得,,设,则,,在中,由余弦定理得:
,即,解得,即.
试题解析:
(1)∵,∴,2分
∴,4分
,
则,6分∴,∴;8分
(2)由
(1)知,又∵,∴,9分设,则,,在中,由余弦定理得:
,11分即,
解得,即.12分
考点:
1.三角恒等变形;2.正余弦定理解三角形.
17.
(1)在是增函数,或
(2)
【解析】
试题分析:
解:
(1)∵当时f(x)有
∴在上是增函数,
又∵f(x)是奇函数∴f(x)是在上是增函数,
∵
∴∴
(2)c=f(4)=2
考点:
函数的单调性、奇偶性、解不等式、正、余弦定理解三角形
18.
(1);
(2)
【解析】
试题分析:
(1)化简整理可得
从而根据,即可得到.
(2)转化成恒成立.
由,得到.
试题解析:
(1)
=3分
∵∵,∴,
∴.6分
(2)恒成立,即恒成立.8分
∵,∴,∴.12分
考点:
1.和差倍半的三角函数;2.三角函数的图象和性质;3.转化与化归思想.
19.
【解析】
试题分析:
由余弦二倍角公式和正弦二倍角公式以及辅助角公式,将的解析式化为,利用两条相邻对称轴间的距离等于,得,得,进而可求得,由,可求角,其次利用余弦定理求得的等式,与已知联立,求得,进而利用求面积.
试题解析:
3分
∴函数的最小正周期,
由题意得:
,即解得:
5分
,
,,,即.7分
∴由余弦定理得:
即①,9分
②,联立①②,解得:
,
则12分
考点:
1、二倍角公式和辅助角公式;2、余弦定理;3、三角形面积公式.
20.
(1),;
(2)
【解析】
试题分析:
(1)由数量积的坐标表示得,根据,求A;
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