矩阵连乘实验报告Word文件下载.docx
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这种计算次序可以用加括号的方式来确定。
若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定,也就是说该连乘积已经完全加括号,则可依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。
完全加括号的矩阵连乘积可递归的定义为:
(1)单个矩阵是完全加括号的;
(2)矩阵连乘积A是完全加括号的,则A可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号,即A=(BC)。
运用动态规划法解矩阵连乘积的最优计算次序问题。
按以下几个步骤进行
1、分析最优解的结构
设计求解具体问题的动态规划算法的第1步是刻画该问题的最优解的结构特征。
为方便起见,将矩阵连乘积简记为A[i:
j]。
考察计算A[1:
n]的最优计算次序。
设这个计算次序矩阵在Ak和Ak+1之间将矩阵链断开,
则其相应的完全加括号方式为((A1…Ak)(Ak+1…An))。
依此次序,先计算A[1:
k]和A[k+1:
n],然后将计算结果相乘得到A[1:
n]。
2、建立递归关系
设计动态规划算法的第二步是递归定义最优值。
对于矩阵连乘积的最优计算次序问题,设计算A[i:
j],
,所需的最少数乘次数为m[i][j],原问题的最优值为m[1][n]。
当i=j时,A[i:
j]=Ai为单一矩阵,无需计算,因此m[i][i]=0,i=1,2,…n。
当i<
j时,可利用最优子结构性质来计算m[i][j]。
m[i][j]=m[i][k]+m[k+1][j]+pi-1pkpj。
由于在计算时并不知道断开点k的位置,所以k还未定。
3、计算最优值
根据计算m[i][j]的递归式,容易写一个递归算法计算m[1][n]。
动态规划法解决此问题,可依据递归式以自底向上的方式进行计算,在计算过程中保存已解决的子问题答案。
每个子问题只计算一次,而在后面需要时只要简单查一下,从而避免大量的重复计算,最终得到多项式时间的算法matrixChain。
(见实验代码部分)
4、构造最优解
算法matrixChain只计算出最优值,并没有给出最优解。
但是matrixChain已经记录了构造最优解所需的全部信息。
S[i][j]中的数表明,计算矩阵链A[i:
j]的最佳方式应在矩阵Ak和Ak+1之间断开,最优加括号方式为(A[i:
k])(A[k+1:
j])。
依次构造最优解。
(算法见实验代码部分)
三、实验结果
四、结果验证
对实验结果进行验证,4个矩阵分别是A1[35*15],A2[15*5],A3[5*10],A4[10*20]。
依递归式有:
M[1][4]=min
=7125
且k=3。
计算结果正确,证明所编写的程序可正确算出最优解。
五、实验代码
#include<
stdio.h>
#defineN100//定义最大连乘的矩阵个数是100
voidmatrixChain(intp[],intm[N+1][N+1],ints[N+1][N+1])/*用m[i][j]二维数组来存储Ai*.....Aj的最少数乘次数,
用s[i][j]来存储使Ai.....Aj获得最少数乘次数对应的断开位置k,需要注意的是此处的N+1非常关键,虽然只用到的行列下标只从1到N,
但是下标0对应的元素默认也属于该数组,所以数组的长度就应该为N+1*/
{
intn=N;
//定义m,s数组的都是n*n的,不用行列下标为0的元素,但包括在该数组中
for(inti=1;
i<
=n;
i++)
m[i][i]=0;
/*将矩阵m的对角线位置上元素全部置0,此时应是r=1的情况,表示先计算第一层对角线上个元素的值*/
for(intr=2;
r<
r++)//r表示斜对角线的层数,从2取到n
{
for(inti=1;
=n-r+1;
i++)//i表示计算第r层斜对角线上第i行元素的值
{
intj=i+r-1;
//j表示当斜对角线层数为r,行下标为i时的列下标
m[i][j]=m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];
//计算当断开位置为i时对应的数乘次数
s[i][j]=i;
//断开位置为i
for(intk=i+1;
k<
j;
k++)
{
intt=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
/*计算断开位置k为从i到j(不包括i和j)的所有取值对应的
(Ai*.....*Ak)*(Ak+1*.....Aj)的数乘次数*/
if(t<
m[i][j])
{
m[i][j]=t;
//将Ai*....Aj的最少数乘次数存入m[i][j]
s[i][j]=k;
//将对应的断开位置k存入s[i][j]
}
}
}
}
}
voidtraceback(inti,intj,ints[][N+1])//用递归来实现输出得到最小数乘次数的表达式
if(i==j)
printf("
A%d"
i);
else
("
);
traceback(i,s[i][j],s);
traceback(s[i][j]+1,j,s);
)"
voidmain()
intn;
//用来存储矩阵的个数
intq[2*N];
/*用q数组来存储最原始的输入(各矩阵的行和列),主要目的是为了检验这N个矩阵是否满足连乘的条件*/
intp[N+1],flag=1;
/*用p[i-1],p[i]数组来存储A的阶数,flag用来判断这N个矩阵是否满足连乘*/
intm[N+1][N+1];
//用m[i][j]二维数组来存储Ai*......Aj的最小数乘次数
ints[N+1][N+1];
//用s[i][j]来存储使Ai......Aj获得最小数乘次数对应的断开位置k
printf("
输入矩阵的个数(注:
小于100):
"
scanf("
%d"
&
n);
for(inti=0;
=2*n-1;
i++)//各矩阵的阶数的输入先存入数组q中接受检验
if(i%2==0)
printf("
————————\n"
*输入A%d的行:
(i/2)+1);
else
********列:
scanf("
q[i]);
for(i=1;
=2*n-2;
i++)//矩阵连乘条件的检验
if(i%2!
=0&
&
q[i]!
=q[i+1])
flag=0;
break;
for(intj=1;
j<
=n-1;
j++)
p[j]=q[2*j];
if(flag!
=0)
p[0]=q[0];
p[n]=q[2*n-1];
matrixChain(p,m,s);
式子如下:
\n"
traceback(1,n,s);
最少数乘次数为%d\n"
m[1][n]);
这%d个矩阵不能连乘!
n);
六、实验心得
通过本次实验,我较为透彻的理解了动态规划算法的几个基本步骤。
完成实验后,我认为建立递归关系是很关键的一步,同时也是整个动态规划算法的精髓。
掌握了递归的思想,就可以完成很多不必要的重复计算。
具体到矩阵连乘问题,关键是解决断开点k的位置和最少数乘次数。
总体来说,这次实验不仅让我基本掌握递归的思想,而且进一步提高了自己的自学能力和编程能力,代码运用C语言写出,可以很好的体会C语言和C++的不同点和相同点。
我也体会到,想要理解一个新的算法,必须要通过自己不断的编写程序,不断的思考才能真正的领悟,因此我会不断朝着这个方向努力。
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