上海市杨浦区2013年高三数学一模试卷(理).docx
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杨浦区2012学年度第一学期高三年级学业质量调研
数学试卷(理)2013.1
考生注意:
1.答卷前,考生务必在答题纸写上姓名、考号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.
2.本试卷共有23道题,满分150分,考试时间120分钟.
一.填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.
1.若函数的反函数为,则 .
2.若复数(为虚数单位),则.
3.抛物线的焦点到准线的距离为.
4.若线性方程组的增广矩阵为,则该线性方程组的解是.
5.若直线:
,则该直线的倾斜角是.
6.若的二项展开式中,的系数为,则实数.
7.若圆椎的母线,母线与旋转轴的夹角,则该圆椎的侧面积为.
8.设数列()是等差数列.若和是方程的两根,则数列的前项的和______________.
9.下列函数:
①,②,③,④
⑤中,既是偶函数,又是在区间上单调递减函数为 (写出符合要求的所有函数的序号).
10.将一颗质地均匀的骰子连续投掷两次,朝上的点数依次为和,则函数图像与轴无公共点的概率是_______.
11.若函数()的图像过定点,点在曲线上运动,则线段中点轨迹方程是.
12.如图,已知边长为8米的正方形钢板有一个角锈蚀,
其中米,米.为了合理利用这块钢板,将在五边
形内截取一个矩形块,使点在边上.
则矩形面积的最大值为____平方米.
13在中,若,,,则的面积为___________.
14.在平面直角坐标系中,直线与圆相切,其中,.若函数的零点,,则________.
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得5分,否则一律得零分.
15.“”是“函数在区间内单调递增”的………()
充分非必要条件. 必要非充分条件.
充要条件. 既非充分又非必要条件.
16.若无穷等比数列的前项和为,首项为,公比为,且,(),则复数在复平面上对应的点位于………()
第一象限. 第二象限. 第三象限.第四象限.
17.若、为双曲线:
的左、右焦点,点在双曲线上,∠=,则到轴的距离为………()
....
18.已知数列是各项均为正数且公比不等于的等比数列().对于函数,若数列为等差数列,则称函数为“保比差数列函数”.现有定义在上的如下函数:
①,②,③,④,则为“保比差数列函数”的所有序号为………()
①②.③④.①②④.②③④.
三、解答题(本大题满分74分)本大题共5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分12分)本题共有2个小题,第1小题满分5分,第2小题满分7分.
P
C
D
E
如图,在三棱锥中,平面,,,,分别是的中点,
(1)求三棱锥的体积;
(2)若异面直线与所成角的大小为,求的值.
20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分.
已知,
(1)求的最小正周期和单调递减区间;
(2)若,求的最大值及取得最大值时对应的的取值.
21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
椭圆的中心为坐标原点,右焦点为,且椭圆过点.若的三个顶点都在椭圆上,设三条边的中点分别为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设的三条边所在直线的斜率分别为,且.若直线的斜率之和为0,求证:
为定值.
22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.
已知函数的值域为集合,
(1)若全集,求;
(2)对任意,不等式恒成立,求实数的范围;
(3)设是函数的图像上任意一点,过点分别向直线和轴作垂线,垂足分别为,求的值.
23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
对于实数,将满足“且为整数”的实数称为实数的小数部分,用记号表示,对于实数,无穷数列满足如下条件:
其中.
(1)若,求数列;
(2)当时,对任意的,都有,求符合要求的实数构成的集合.
(3)若是有理数,设(是整数,是正整数,、互质),问对于大于的任意正整数,是否都有成立,并证明你的结论.
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数学试卷(理)参考答案
一.填空题:
1.0;2.;3.2;4.(向量表示也可);5.;6.;7.;8.2013;9.③⑤;10.;11.;12.48;13.;14.0;
二、选择题:
15.;16.;17.;18..
三、解答题
19.(本题满分12分)本题共有2个小题,第1小题满分5分,第2小题满分7分.
(1)由已知得,………2分
所以,体积………5分
(2)取中点,连接,则,
所以就 是异面直线与所成的角.………7分
由已知,,
.………10分
在中,,
所以,.………12分
(其他解法,可参照给分)
20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分.
解:
(1)因为
………2分
………4分
所以,,即函数的最小正周期为………5分
,
所以的单调递减区间为………7分
(2)因为,得,
所以有………8分
由,即………10分
所以,函数的最大值为1.………12分
此时,因为,所以,,即.………14分
21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
解:
(1)设椭圆的方程为,由题意知:
左焦点为
所以,………4分
解得,.
故椭圆的方程为.………6分
(方法2、待定系数法)
(2)设,,
由:
,,………8分
两式相减,得到
所以,即,………11分
同理,
所以,又因为直线的斜率之和为0,
所以………14分
方法2、(可参照方法1给分)
设直线:
,代入椭圆,得到
,化简得
(以下略)
22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.
(1)由已知得,,则………1分
当且仅当时,即等号成立,
………3分[来源:
学科网]
所以,………4分
(2)由题得………5分
函数在的最大值为………9分
………10分
(3)设,则直线的方程为,
即,………11分
由得………13分
又,………14分[来源:
Z&xx&k.Com]
所以,,故………16分
23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
解:
(1),,………2分
,则
所以.………4分
(2),所以,所以,
①当,即时,,所以,
解得(,舍去).………6分
②当,即时,,所以,
解得(,舍去).………7分
③当,即时,,所以,
解得(,舍去).………9分
综上,,,.………10分
(3)成立.………11分
(证明1)
由是有理数,可知对一切正整数,为0或正有理数,可设(是非负整数,是正整数,且既约).………12分
①由,可得;………13分
②若,设(,是非负整数)
则,而由得
,故,,可得………14分
若则,………15分
若均不为0,则这正整数互不相同且都小于,
但小于的正整数共有个,矛盾.………17分
故中至少有一个为0,即存在,使得.
从而数列中以及它之后的项均为0,所以对不大于的自然数,都有.
(证法2,数学归纳法)………18分
(其它解法可参考给分)
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