高中数学的解三角形方法大全.docx
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高中数学的解三角形方法大全
解三角形
1.解三角形:
一般地,把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。
已知三角形的几个元素求
其他元素的过程叫作解三角形。
以下若无特殊说明,均设的三个内角的对边分别为,则有以下关系成立:
(1)边的关系:
,,(或满足:
两条较短的边长之和大于较长边)
(2)角的关系:
,,,,
,,,
(3)边角关系:
正弦定理、余弦定理以及它们的变形
板块一:
正弦定理及其应用
1.正弦定理:
,其中为的外接圆半径
2.正弦定理适用于两类解三角形问题:
(1)已知三角形的任意两角和一边,先求第三个角,再根据正弦定理求出另外两边;
(2)已知三角形的两边与其中一边所对的角,先求另一边所对的角(注意此角有两解、一解、无解
的可能),再计算第三角,最后根据正弦定理求出第三边
【例1】考查正弦定理的应用
(1)中,若,,,则_____;
(2)中,若,,,则____;
(3)中,若,,,则____;
(4)中,若,则的最大值为_____。
总结:
若已知三角形的两边和其中一边所对的角,解这类三角形时,要注意有两解、一解和无解的可能
如图,在中,已知、、
(1)若为钝角或直角,则当时,有唯一解;否则无解。
(2)若为锐角,则当时,三角形无解;
当时,三角形有唯一解;
当时,三角形有两解;
当时,三角形有唯一解
实际上在解这类三角形时,我们一般根据三角形中“大角对大边”理论判定三角形是否有两解的可能。
板块二:
余弦定理及面积公式
1.余弦定理:
在中,角的对边分别为,则有
余弦定理:
,其变式为:
2.余弦定理及其变式可用来解决以下两类三角形问题:
(1)已知三角形的两边及其夹角,先由余弦定理求出第三边,再由正弦定理求较短边所对的角(或由余弦定理求第二个角),最后根据“内角和定理”求得第三个角;
(2)已知三角形的三条边,先由余弦定理求出一个角,再由正弦定理求较短边所对的角(或由余弦定理求第二个角),最后根据“内角和定理”求得第三个角;
说明:
为了减少运算量,能用正弦定理就尽量用正弦定理解决
3.三角形的面积公式
(1)(、、分别表示、、上的高);
(2)
(3)(为外接圆半径)
(4);
(5)其中
(6)(是内切圆的半径,是三角形的周长)
【例】考查余弦定理的基本应用
(1)在中,若,,,求;
(2)在中,若,,,求边上的高;
(3)在中,若,,,求
【例】
(1)在中,若,,,则中最大角的余弦值为________
(2)(10上海理)某人要制作一个三角形,要求它的三条高的长度分别为,则()
A.不能作出这样的三角形B.作出一个锐角三角形
C.作出一个直角三角形D.作出一个钝角三角形
(3)以为三边组成一个锐角三角形,则的取值范围为__________
【例】考查正余弦定理的灵活使用
(1)在中,若,其面积,则_____
(2)在中,若,则_____
(3)(07天津理)在中,若,,则_____
(4)(10江苏)在锐角中,若,则_________
【例】判断满足下列条件的三角形形状
(1);
(2);(3);
(4);(5),
板块三:
解三角形综合问题
【例】(09全国2)
在中,角的对边分别为、、,,,求
【例】(11西城一模)在中,角的对边分别为,且,
(1)当时,求角的度数;
(2)求面积的最大值
【例】在中,,,,求的值和的面积
【例】在中,角的对边分别为,已知,
(1)若的面积等于,求;
(2)若,求的面积
【例5】(09江西理)在中,角的对边分别为,且,
(1)求
(2)若,求
【例】(09安徽理)在中,,
(1)求的值;
(2)设,求的面积
【例】(10辽宁理)在中,角的对边分别为,
且
(1)求的大小;
(2)求的最大值
【例】在中,角的对边分别为,,
(1)求的大小;
(2)求的范围
【例】(11全国2)设的内角的对边分别为,已知,
,求
【江西理】在中,角的对边分别是,已知
(1)求的值;
(2)若,求边的值
【11江西文】在中,角的对边分别是,已知
(1)求的值;
(2)若,,求边的值
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