田浩的初中数学组卷 1菁优网Word下载.docx
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(3)P点移动到什么位置时,△APC与△ABC全等,请说明理由.
4.(2012•莆田)如图,点C在以AB为直径的半圆O上,延长BC到点D,使得CD=BC,过点D作DE⊥AB于点E,交AC于点F,点G为DF的中点,连接CG、OF、FB.
(1)求证:
CG是⊙O的切线;
(2)若△AFB的面积是△DCG的面积的2倍,求证:
OF∥BC.
5.(2012•德阳)如图,已知点C是以AB为直径的⊙O上一点,CH⊥AB于点H,过点B作⊙O的切线交直线AC于点D,点E为CH的中点,连接AE并延长交BD于点F,直线CF交AB的延长线于G.
AE•FD=AF•EC;
(2)求证:
FC=FB;
(3)若FB=FE=2,求⊙O的半径r的长.
6.(2012•达州)如图,C是以AB为直径的⊙O上一点,过O作OE⊥AC于点E,过点A作⊙O的切线交OE的延长线于点F,连接CF并延长交BA的延长线于点P.
PC是⊙O的切线.
(2)若AF=1,OA=
,求PC的长.
7.(2011•黔南州)如图,点A,B,C,D在⊙O上,AB=AC,AD与BC相交于点E,AE=
ED,延长DB到点F,使FB=
BD,连接AF.
(1)证明:
△BDE∽△FDA;
(2)试判断直线AF与⊙O的位置关系,并给出证明.
参考答案与试题解析
考点:
垂径定理;
勾股定理;
相似三角形的判定与性质.1863356
专题:
计算题.
分析:
连接NE,设圆N半径为r,ON=x,则OD=r﹣x,OC=r+x,证△OBD∽△OCA,推出OC:
OB=OA:
OD,即(r+x):
1=9:
(r﹣x),求出r2﹣x2=9,根据垂径定理和勾股定理即可求出答案.
解答:
解:
连接NE,
设圆N半径为r,ON=x,则OD=r﹣x,OC=r+x,
∵以M(﹣5,0)为圆心、4为半径的圆与x轴交于A、B两点,
∴OA=4+5=9,0B=5﹣4=1,
∵AB是⊙M的直径,
∴∠APB=90°
(直径所对的圆周角是直角),
∵∠BOD=90°
,
∴∠PAB+∠PBA=90°
,∠ODB+∠OBD=90°
∵∠PBA=∠OBD,
∴∠PAB=∠ODB,
∵∠APB=∠BOD=90°
∴△OBD∽△OCA,
∴
=
即
解得:
(r+x)(r﹣x)=9,
r2﹣x2=9,
由垂径定理得:
OE=OF,OE2=EN2﹣ON2=r2﹣x2=9,
即OE=OF=3,
∴EF=2OE=6,
故选C.
点评:
本题考查了勾股定理,垂径定理,相似三角形的性质和判定的应用,解此题的关键是求出OE=OF和r2﹣x2=9,主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力.
切线的性质;
切线长定理;
连接OE,由AD,DC,BC都为圆的切线,根据切线的性质得到三个角为直角,且利用切线长定理得到DE=DA,CE=CB,由CD=DE+EC,等量代换可得出CD=AD+BC,选项②正确;
由AD=ED,OD为公共边,利用HL可得出直角三角形ADO与直角三角形EDO全等,可得出∠AOD=∠EOD,同理得到∠EOC=∠BOC,而这四个角之和为平角,可得出∠DOC为直角,选项⑤正确;
由∠DOC与∠DEO都为直角,再由一对公共角相等,利用两对对应角相等的两三角形相似,可得出三角形DEO与三角形DOC相似,由相似得比例可得出OD2=DE•CD,选项①正确;
又ABCD为直角梯形,利用梯形的面积计算后得到梯形ABCD的面积为
AB(AD+BC),将AD+BC化为CD,可得出梯形面积为
AB•CD,选项④错误,而OD不一定等于OC,选项①错误,即可得到正确的选项.
连接OE,如图所示:
∵AD与圆O相切,DC与圆O相切,BC与圆O相切,
∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°
∴DA=DE,CE=CB,AD∥BC,
∴CD=DE+EC=AD+BC,选项②正确;
在Rt△ADO和Rt△EDO中,
∴Rt△ADO≌Rt△EDO(HL),
∴∠AOD=∠EOD,
同理Rt△CEO≌Rt△CBO,
∴∠EOC=∠BOC,
又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°
∴2(∠DOE+∠EOC)=180°
,即∠DOC=90°
,选项⑤正确;
∴∠DOC=∠DEO=90°
,又∠EDO=∠ODC,
∴△EDO∽△ODC,
,即OD2=DC•DE,选项①正确;
而S梯形ABCD=
AB•(AD+BC)=
AB•CD,选项④错误;
由OD不一定等于OC,选项③错误,
则正确的选项有①②⑤.
故选A
此题考查了切线的性质,切线长定理,相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,以及梯形面积的求法,利用了转化的数学思想,熟练掌握定理及性质是解本题的关键.
全等三角形的判定与性质;
菱形的判定.1863356
几何综合题.
(1)连接AC,由直径AB=4,得到半径OA=OC=2,又AC=2,得到AC=OC=OA,即三角形AOC为等边三角形,可得出三个内角都为60°
,再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍,得到∠APC为30°
,由CD为圆O的切线,得到OC垂直于CD,可得出∠OCD为直角,用∠OCD﹣∠OCA可得出∠ACD的度数;
(2)由∠AOC为60°
,AB为圆O的直径,得到∠BOC=120°
,再由P为
的中点,得到两条弧相等,根据等弧对等角,可得出∠COP=∠BOP=60°
,进而得到三角形COP与三角形BOP都为等边三角形,可得出OC=OB=PC=PB,即四边形OBPC为菱形;
(3)P有两个位置使三角形APC与三角形ABC全等,其一:
P与B重合时,显然两三角形全等;
第二:
当CP为圆O的直径时,此时两三角形全等,理由为:
当CP与AB都为圆的直径时,根据直径所对的圆周角为直角可得出三角形ACP与三角形ABC为直角三角形,由AB=CP,AC为公共边,利用HL即可得到直角三角形ACP与直角三角形ABC全等.
(1)连接AC,如图所示:
∵AC=2,OA=OB=OC=
AB=2,
∴AC=OA=OC,
∴△ACO为等边三角形,
∴∠AOC=∠ACO=∠OAC=60°
∴∠APC=
∠AOC=30°
又DC与圆O相切于点C,
∴OC⊥DC,
∴∠DCO=90°
∴∠ACD=∠DCO﹣∠ACO=90°
﹣60°
=30°
;
…(4分)
(2)连接PB,OP,
∵AB为直径,∠AOC=60°
∴∠COB=120°
当点P移动到CB的中点时,∠COP=∠POB=60°
∴△COP和△BOP都为等边三角形,
∴OC=CP=OB=PB,
则四边形OBPC为菱形;
…(8分)
(3)当点P与B重合时,△ABC与△APC重合,显然△ABC≌△APC;
当点P继续运动到CP经过圆心时,△ABC≌△CPA,理由为:
∵CP与AB都为圆O的直径,
∴∠CAP=∠ACB=90°
在Rt△ABC与Rt△CPA中,
∴Rt△ABC≌Rt△CPA(HL).…(10分)
此题考查切线的性质,全等三角形的判定与性质,菱形的判定,等边三角形的判定与性质,以及弧、圆心角及弦之间的关系,熟练掌握性质与判定是解本题的关键.
切线的判定;
圆周角定理.1863356
(1)连接OC.欲证CG是⊙O的切线,只需证明∠CGO=90°
,即CG⊥OC;
(2)根据直角三角形ABC、直角三角形DCF的面积公式,以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求得AC=2AF;
然后根据三角形中位线的判定与定理证得该结论.
证明:
(1)在△ABC中,∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°
(直径所对的圆周角是直角);
又∵OA=OC,
∴∠A=∠ACO(等边对等角);
在Rt△DCF中,∵点G为DF的中点,∴CG=GF(直角三角形斜边上的中线是斜边的一半),
∴∠GCF=∠CFG(等边对等角);
∵DE⊥AB(已知),∠CFG=∠AFE(对顶角相等);
∴在Rt△AEF中,∠A+∠AFE=90°
∴∠ACO+∠GCF=90°
,即∠GCO=90°
∴CG⊥OC,
∴CG是⊙O的切线;
(2)∵AB是⊙O的直径,
(直径所对的圆周角是直角),即AC⊥BD;
又∵CD=BC,点G为DF的中点,
∴S△AFB=S△ABC﹣S△BCF=
(AC•BC﹣CF•BC),S△DCG=
S△FCD=
×
DC•CF=
BC•CF;
∵△AFB的面积是△DCG的面积的2倍,
(AC•BC﹣CF•BC)=2×
BC•CF,
∴AC=2CF,即点F是AC的中点;
∵O点是AB的中点,
∴OF是△ABC的中位线,
∴OF∥BC.
本题考查了切线的判定、圆周角定理.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.
切线的判定与性质;
等腰三角形的性质;
等腰三角形的判定;
直角三角形斜边上的中线;
圆周角定理;
证明题;
(1)由BD是⊙O的切线得出∠DBA=90°
,推出CH∥BD,证△AEC∽△AFD,得出比例式即可;
(2)证△AEC∽△AFD,△AHE∽△ABF,推出BF=DF,根据直角三角形斜边上中线性质得出CF=DF=BF即可;
(3)求出EF=FC,求出∠G=∠FAG,推出AF=FG,求出AB=BG,连接OC,BC,求出∠FCB=∠CAB推出CG是⊙O切线,由切割线定理得出(2+FG)2=BG×
AG=2BG2,
在Rt△BFG中,由勾股定理得出BG2=FG2﹣BF2,推出FG2﹣4FG﹣12=0,求出FG即可.
∵BD是⊙O的切线,
∴∠DBA=90°
∵CH⊥AB,
∴CH∥BD,
∴△AEC∽△AFD,
∴AE•FD=AF•EC.
(2)证明:
∵CH∥BD,
∴△AEC∽△AFD,△AHE∽△ABF,
∵CE=EH(E为CH中点),
∴BF=DF,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=∠DCB=90°
∴CF=DF=BF,
即CF=BF.
(3)解:
∵BF=CF=DF(已证),EF=BF=2,
∴EF=FC,
∴∠FCE=∠FEC,
∵∠AHE=∠CHG=90°
∴∠FAH+∠AEH=90°
,∠G+∠GCH=90°
∵∠AEH=∠CEF,
∴∠G=∠FAG,
∴AF=FG,
∵FB⊥AG,
∴AB=BG,
连接OC,BC,
∵BF切⊙O于B,
∴∠FBC=∠CAB,
∵OC=OA,CF=BF,
∴∠FCB=∠FBC,∠OCA=∠OAC,
∴∠FCB=∠CAB,
∵∠ACB=90°
∴∠ACO+∠BCO=90°
∴∠FCB+∠BCO=90°
即OC⊥CG,
∴CG是⊙O切线,
∵GBA是⊙O割线,
FB=FE=2,由切割线定理得:
(2+FG)2=BG×
在Rt△BFG中,由勾股定理得:
BG2=FG2﹣BF2,
∴FG2﹣4FG﹣12=0,
FG=6,FG=﹣2(舍去),
由勾股定理得:
AB=BG=
=4
∴⊙O的半径是2
.
本题考查了切线的性质和判定,相似三角形的性质和判定,等腰三角形的性质和判定,直角三角形斜边上中线的性质,圆周角定理,勾股定理等知识点的综合运用,题目综合性比较强,有一定的难度.
(1)连接OC,根据垂径定理,利用等角代换可证明∠FAC=∠FCA,然后根据切线的性质得出∠FAO=90°
,然后即可证明结论.
(2)先证明△PAF∽△PCO,利用相似三角形的性质得出PC与PA的关系,在Rt△PCO中,利用勾股定理可得出x的值,继而也可得出PC得长.
连接OC,
∵OE⊥AC,
∴AE=CE,FA=FC,
∴∠FAC=∠FCA,
∵OA=OC(圆的半径相等),
∴∠OAC=∠OCA,
∴∠OAC+∠FAC=∠OCA+∠FCA,即∠FAO=∠FCO,
∵FA与⊙O相切,且AB是⊙O的直径,
∴FA⊥AB,
∴∠FCO=∠FAO=90°
∴PC是⊙O的切线;
(2)解:
∵PC是⊙O的切线,
∴∠PCO=90°
又∵∠FPA=∠OPC,∠PAF=90°
∴△PAF∽△PCO,
∵CO=OA=
,AF=1,
∴PC=
PA,
设PA=x,则PC=
在Rt△PCO中,由勾股定理得:
此题考查了切线的性质、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质,涉及知识点较多,解答本题要求熟练掌握切线的判定定理及性质,有一定难度.
三角形的角平分线、中线和高;
探究型.
(1)因为∠BDE公共,夹此角的两边BD:
DF=ED:
AD=2:
3,由相似三角形的判定,可知△BDE∽△FDA.
(2)连接OA、OB、OC,证明△OAB≌△OAC,得出AO⊥BC.再由△BDE∽△FDA,得出∠EBD=∠AFD,则BE∥FA,从而AO⊥FA,得出直线AF与⊙O相切.
(1)在△BDE和△FDA中,
∵FB=
BD,AE=
ED,
,(3分)
又∵∠BDE=∠FDA,
∴△BDE∽△FDA.(5分)
(2)直线AF与⊙O相切.(6分)
连接OA,OB,OC,
∵AB=AC,BO=CO,OA=OA,(7分)
∴△OAB≌△OAC,
∴∠OAB=∠OAC,
∴AO是等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线,
∴AO⊥BC,
∵△BDE∽△FDA,得∠EBD=∠AFD,
∴BE∥FA,
∵AO⊥BE知,AO⊥FA,
∴直线AF与⊙O相切.
本题考查相似三角形的判定和切线的判定.
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