动态规划例1求解下列整数规划的最优解Word文件下载.docx
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而S20,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10。
所以当S20,1,2,3时,x?
0;
当s4,5,6,7时,
x20或1;
当S28,9,10时x20,1,2。
由此确定f2S2。
现将有关数据列入表4.2中.
表4.2
X
S2
5x2f3(S24x2)
x3
S3
0+0
5+0
0+6
10+0
5+6
11
0+12
当k1时,有
而§
10,故x1只能取0,1,2,3,由此确定f1§
。
现将有关数据列入表4.3中。
表4.3
4x1f2s3x1
f1Si
\0
4+6
8+5
12+0
13
按计算顺序反推,由表4.3可知,当
x12时,f1(S1)取得最大值13.又由s24查表4.2得x21,及
S30,再由表4.1查得x30因此,最优解为
x32,x31,x30,最优解maxZ13.
例5用动态规划方法解下列非线性规划问题
maxzx1x2x3x1x2x3cxi0i1,2,3
解:
解决这一类静态规划问题,需要人为地赋予时间概念,从而将该问题
转化为多阶段决策过程。
按问题的变量个数划分阶段,把它看作一个三阶段决策问题,k=1,2,3
设状态变量为S1,&
S3,S4并记S1<
c
取问题中的变量x1,x2,x3为决策变量
状态转移方程为:
S3=x3S3+x2=S2S2+x1=S1<
允许决策集合为:
x3=S30<
x2<
S20<
x〔VS1
各阶段指标函数为:
V1(x1)=x1V2(x2)=x2V3(x3)=x3,各指标函
fk(Sk)
数以乘积方式结合,最优指标函数fk(Sk)表示从第k阶段初始状态Sk出发到第3阶段所得到的最大值,则动态规划基本方程为:
xjmaxjvkg)fkg1)]k,2,,1
f4(S4)1
用逆序解法由后向前依次求解:
k=3时,
f3(S3)盎"
3*f4(S4)]
max(x3)
^3S3
x3=S3
k=2时,
2、「2
f2(S2)maxJv2(x2)f3(S3)]max(x2S3)max[x2(S2x?
)]
xD2(S2)0x2S20x2S2
所以x22S2是极大值点
f2(S2)
N、2,243
(S2)(S2巳)草S2
3327
*2
X2S2
k=1时,
fi(Si)
maX[vi(Xi)f2(S2)]maX(x1
XDi(S)0XiS
—s2)maX[Xi
270Xis
"
27(SiXi)3]
人…、4、3
令hi(S,,Xi)Xi——(SiXi)
27
dhidX
43
万(SXi)
i2,、2_、
为护耳xi)(i)
解得:
Xi
d2hi
dX2
〔2,—(§
Xi)2(
1)
i2‘、2
27(SiXi)
24,
—Xi(§
Xi)
24/
——(Si
Xi)(2xi&
)
d2'
-9S20
一.i
所以Xi4Si是极大值点
i3i4
Si)Si
464
i4
fi(s)S—(s
427
由丁Si未知,所以对s再求极值,
i
;
Si
…、,i4、
maXf-i(s〔)maX(—s)
0sc0Sic64
显然Si=c时,fi(si)取得最大值
i——c64
Si=c
si
-c
fi(S)
一c
64
i3
S2S-I
X2
匚S2
cS2
一c
i6
S3S2
_c
_c
c
反向追踪得各阶段最优决策及最优值:
所以最优解为:
C,X24
i一c
1*i
—c,X3c,z
24
例6用动态规划方法解下列非线性规划问题
maXz
Xj
j
i,2,3
按变量个数将原问题分为三个阶段,阶段变量k=1,2,3;
选择Xk为决策变量;
状态变量Sk表示第k阶段至第3阶段决策变量之和;
取小区间长度△=〔,小区间数目m=6/1=6,状态变量Sk的取值点为:
Sk0,1,2,3,4,5,6k2
Si6
Sk+1=$—Xk;
允许决策集合:
Dk(Sk)={Xk|0<
Xk<
Sk}k=1,2,3
X<
Sk均在分割点上取值;
阶段指标函数分别为:
g〔(X1)=X12g2(X2)=X2g3(X3)=X33,
最优指标函数fk(sQ表小从第k阶段状态$出发到第3阶段所得到的最大值,动态规划的基本方程为:
fk(Sk)maX[gk(Xk)fk1(Sk1)]k3,2,1
0XkSk
f4(S4)1
k=3时,
f3(s3)丁弩(©
s3
S3及X3取值点较多,计算结果以表格形式给出,见表6.1-6.3所示。
表6.1计算结果
S3\
125
216
表6.2计算结果
1X0
0,1
1X1
2X0
1X8
2X1
3X0
1X27
2X8
3X1
4X0
1X64
2X27
3X8
4X1
5X0
1乂125
2X64
3X27
4X8
5X1
6X0
128
表6.3计算结果
2「,一、
f2(Si—Xi)
S\
4X27
9x8
16xi
25X0
36X0
108
由表6.3知,xi=2,si=6,贝US2=si-xi=6—2=4,查表6.2得:
X2=1,则
S3=S2—X2=4—1=3,查表6.1得:
X3=3,所以最优解为:
Xi=2,X2=1,X3=3,fi(Si)=108。
上面讨论的问题仅有一个约束条件。
对具有多个约束条件的问题,同样可以
用动态规划方法求解,但这时是一个多维动态规划问题,解法上比较繁琐一些。
例7某公司打算在3个不同的地区设置4个销售点,根据市场部门估计,
在不同地区设置不同数量的销售点每月可得到的利润如表6.4所示。
试问在各地区如何设置销售点可使每月总利润最大。
表6.4利润值
地区
销售点
16
25
30
32
17
21
22
14
如前所述,建立动态规划数学模型:
将问题分为3个阶段,k=1,2,3;
决策变量Xk表示分配给第k个地区的销售点数;
状态变量为$表示分配给第k个至第3个地区的销售点总数;
Sk+1=&
—Xk,其中Si=4;
Xk<
Sk}
阶段指标函数:
gk(Xk)表示Xk个销售点分配给第k个地区所获得的利润;
最优指标函数fk(Sk)表示将数量为■的销售点分配给第k个至第3个地区
所得到的最大利润,动态规划基本方程为:
fk(Sk)max[gk(xk)fk1(skxk)]k3,2,1
f4(S4)0
数值计算如表所示。
表6.5k=3时计算结果
g3O)
f3⑶
表6.6k=2时计算结果
X?
S2X
g2(x2)+f3(S2—x2)
f2(&
x2
0+10
0+14
12+10
17+0
0+16
12+14
17+10
21+0
0+17
12+16
17+14
21+10
22+0
31
2,3
表6.7k=1时计算结果
g1(x)+f2(S1—xi)
xi
s\
0+31
16+27
25+22
30+12
32+0
47
所以最优解为:
xi=2,x2=1,x3=1,f〔(4)=47,即在第1个地区设置2个销售点,第2个地区设置1个销售点,第3个地区设置1个销售点,每月可获利润47。
例9(生广一库存I可题)
某工厂要对一种产品制定今后四个时期的生产计划,据估计在今后四个时期内,市场对该产品的需求量分别为2,3,2,4单位,假设每批产品固定成本为
3千元,若不生产为0,每单位产品成本为1千元,每个时期最大生产能力不超过6个单位,每期期末未出售产品,每单位需付存贮费0.5千元,假定第1期初
和第4期末库存量均为0,问该厂如何安排生产与库存,可在满足市场需求的前提下总成本最小。
以每个时期作为一个阶段,该问题分为4个阶段,k=1,2,3,4;
决策变量xk表小第k阶段生产的产品数;
状态变量sk表示第k阶段初的库存量;
以dk表示第k阶段的需求,则状态转移方程:
sk+i=$+xk—dk;
k=4,3,2,1由丁期初及期末库存为0,所以Sl=0,S5=0;
允许决策集合Dk(Sk)的确定:
当s<
>
dk时,xk可以为0,当$<
dk时,至少应生产dk—Sk,故xk的下限为max(0,dk—$)每期最大生产能力为6,xk最大不超过6,由丁期末库存为0,xk还应小丁本期至4期需求之和减去本期的库存44
量,djSk,所以为的上限为min(djSk,6),故有:
Dk(s<
)={xk|max(0,dk—s<
)<
xk<
min(djsk,6)}jk
阶段指标函数rk(s%xk)表示第k期的生产费用与存贮费用之和:
最优指标函数fk(Sk)表小第k期库存为Sk到第4期末的生广与存贮最低费用,动态规划基本方程为:
fk(Sk)min、[「k(Sk,xk)fk1(Sk1)]k4,3,2,1
xkDk(sk)
f5(S5)0
先求出各状态允许状态集合及允许决策集合,如表6.8所示。
表6.8状态允许状态集合及允许决策集合
S1
D1(S
{2,3,4,5,6
}
D2(s
2)
{3,4,5,6}
{123,4,5,
6}
{0,1,2,3,4,5,
{0,123,4,
5}
D3(S
3)
{123,4,5
{0,1,2,3,4}
{0,1,2,3}
{0,1,2}
{0,1
{0}
S4
D4(s
{4}
{3}
{2}
{1}
{0}
由基本方程计算各阶段策略,结果如下表所示。
表6.9k=4时计算结果
x4
0.5&
3x4
X40.5s4x4
S5
f5(S5)
f4(S)
—
6.5
5.5
表6.10k=3时计算结果
0.5S3X30
「3(&
飞3)八clc
S4=$+乂3—2
f4(S4)
3x30.5S3x30
12.5
13.5
4.5
11.5
7.5
8.5
10.5
—*—
1.5
Q
9.5
8*
2.5
表6.11k=2时计算结果
0.5S2x20
「2(3飞2)小clc
S3=S2+x2-3
f3(&
3x20.5s2x20
17.5
16.5
15.5
15
18
14.5
表6.12k=1时计算结果
X1
0.5§
X10
「1(§
,X1)CCLC
3X10.5s1X10
S2=X-2
f1(S1)
21.5
20.5
逆向追踪可得:
xi=5,S2=3,X2=0,S3=0,X3=6,S4=4,X4=0,即第1时期生产5个单位,第3时期生产6个单位,第2,4时期不生产,可使总费用最小,最小费用为20.5千元。
例10(库存一销售问题)
设某公司计划在1至4月份从事某种商品经营。
已知仓库最多可存储600
件这种商品,已知1月初存货200件,根据预测知1至4月份各月的单位购货成本及销售价格如表6.13所示,每月只能销售本月初的库存,当月进货供以后各月销售,问如何安排进货量和销售量,使该公司四个月获得利润最大(假设四月底库存为零)。
表6.13单位购货成本及销售价格
月份
购货成本C
销售价格P
40
45
38
42
39
44
按月份划分阶段,k=1,2,3,4;
状态变量Sk表示第k月初的库存量,S1=200,S5=0;
决策变量:
Xk表小第k月售出的货物数量,yk表小第k月购进的货物数量;
Sk+1=S<
+yk—Xk;
0VXk<
Sk,0<
yk<
600-(sk—Xk);
阶段指标函数为:
pkXk—o<
yk表示k月份的利润,其中pk为第k月份的单位销售价格,o<
为第k月份的单位购货成本;
最优指标函数fk(Sk)表小第k月初库存为$时从第k月至第4月末的最大
利润,则动态规划基本方程为:
fk(Sk)maX[PkXkCkykfk〔(庄1)]k4,3,2,1
0XkSk0yk600(SkX<
k=4时,
**-
X4=S4y4=0
f4(S4)maX(44x442y4)44s4
0X4S40y4600(S4X4)
为求出使44S3—5x3+4y3最大的X3,ya,须求解线性规划问题:
maxz44ss5x34y3
X3&
X3V3600S3
X3,y30
只有两个变重X3,y3,可用图解法也可用单纯形法求解,取得取优解,X3=0,
y3=600—S3,f3(S3)=40S3+2400
f2(s2)maX[42x238y2f3(s3
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