中考数学专项攻略专项2待定系数法应用探讨.docx
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中考数学专项攻略专项2待定系数法应用探讨
2019中考数学专项攻略-专项2待定系数法应用探讨
在数学问题中,若得知所求结果具有某种确定的形式,则可设定一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果,这些待确定的系数(或参数),称作待定系数。
然后根据已知条件,选用恰当的方法,来确定这些系数,这种解决问题的方法叫待定系数法。
待定系数法是数学中的基本方法之一。
它渗透于初中数学教材的各个部分,在全国各地中考中有着广泛应用。
应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础,通常有三种方法:
比较系数法;代入特殊值法;消除待定系数法。
比较系数法通过比较等式两端项的系数而得到方程(组),从而使问题获解。
例如:
“已知x23=(1A)·x2+Bx+C,求A,B,C的值”,解答此题,并不困难,只需将右式与左式的多项式中对应项的系数加以比较后,就可得到A,B,C的值。
这里的A,B,C就是有待于确定的系数。
代入特殊值法通过代入特殊值而得到方程(组),从而使问题获解。
例如:
“点(2,﹣3)在正比例函数图象上,求此正比例函数”,解答此题,只需设定正比例函数为y=kx,将(2,﹣3)代入即可得到k的值,从而求得正比例函数解析式。
这里的k就是有待于确定的系数。
消除待定系数法通过设定待定参数,把相关变量用它表示,代入所求,从而使问题获解。
例如:
“已知,求的值”,解答此题,只需设定,则,代入即可求解。
这里的k就是消除的待定参数。
应用待定系数法解题的一般步骤是:
(1)确定所求问题的待定系数,建立条件与结果含有待定的系数的恒等式;
(2)根据恒等式列出含有待定的系数的方程(组);
(3)解方程(组)或消去待定系数,从而使问题得到解决。
在初中阶段和中考中应用待定系数法解题常常使用在代数式变型、分式求值、因式分解、求函数解析式、求解规律性问题、几何问题等方面。
下面通过2017年和2018年全国各地中考的实例探讨其应用。
一. 待定系数法在代数式变型中的应用:
在应用待定系数法解有关代数式变型的问题中,根据
右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程(组),解出方程(组)即可求得答案。
典型例题:
例:
(2017云南玉溪3分)若是完全平方式,则=【】
A.9B.-9C.±9D.±3
【答案】A。
【考点】待定系数法思想的应用。
【分析】设,则,
∴。
应选A。
练习题:
1.(2018江苏南通3分)已知x2+16x+k是完全平方式,则常数k等于【】
A.64B.48C.32D.16
2.(2018贵州黔东南4分)二次三项式x2﹣kx+9是一个完全平方式,则k的值是 ▲ 。
3.(2017江苏连云港3分)计算(x+2)2的结果为x2+□x+4,则“□”中的数为【】
A.-2B.2C.-4D.4
4.(2017湖北荆州3分)将代数式化成的形式为【】
A.B.C.D.
二. 待定系数法在分式求值中的应用:
在一类分式求值问题中,已知一比例式求另一分式的值,可设定待定参数,把相关变量用它表示,代入所求分式,从而使问题获解。
典型例题:
例:
(2018四川凉山4分)已知,则的值是【】
A.B.C.D.
【答案】D。
【考点】比例的性质。
【分析】∵,∴设,则b=5k,a=13k,把a,b的值代入,得,
。
应选D。
练习题:
1.(2018北京市5分)已知,求代数式的值。
2.(2017四川巴中3分)若,则=▲。
三. 待定系数法在因式分解中的应用:
在因式分解问题中,除正常应用提取公因式法、应用公式法、十字相乘法、分组分解法等解题外还可应用待定系数法求解,特别对于三项以上多项式的分解有很大作用(如:
x3-6x2+11x-6,,目前这类考题很少,但不失为一种有效的解题方法)。
典型例题:
例1:
(2018湖北黄石3分)分解因式:
=▲。
【答案】(x-1)(x+2)。
【考点】因式分解。
【分析】设,
∵,,解得或,
∴。
〖注:
此题实际用十字相乘法解题更容易,但作为一种解法介绍于此。
〗
例2:
分解因式:
▲。
【答案】。
【考点】因式分解。
【分析】∵,
∴可设。
∵,
∴。
比较两边系数,得。
联立,得a=4,b=-1。
代入式适合。
∴。
练习题:
1.(2018四川南充3分)分解因式:
=▲。
2.(2018山东潍坊3分)分解因式:
x3—4x2—12x=▲。
3.(2017贵州黔东南4分)分解因式:
▲。
四. 待定系数法在求函数解析式中的应用:
待定系数法是解决求函数解析式问题的常用方法,求函数解析式是初中阶段待定系数法的一个主要用途。
确定直线或曲线方程就是要确定方程中x的系数与常数,我们常常先设它们为未知数,根据点在曲线上,点的坐标满足方程的关系,将已知的条件代入方程,求出待定的系数与常数。
这是平面解析几何的重要内容,是求曲线方程的有效方法。
初中阶段主要有正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数这几类函数,前面三种分别可设y=kx,y=kx+b,的形式(其中k、b为待定系数,且k≠0)。
而二次函数可以根据题目所给条件的不同,设成一般式y=ax2+bx+c(a、b、c为待定系数),顶点式y=a(x-h)2+k(a、k、h为待定系数),交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a、x1、x2为待定系数)三类形式。
根据题意(可以是语句形式,也可以是图象形式),确定出a、b、c、k、x1、x2等待定系数,求出函数解析式。
典型例题:
例1:
(2018江苏南通3分)无论a取什么实数,点P(a-1,2a-3)都在直线l上,Q(m,n)是直线l上的
点,则(2m-n+3)2的值等于▲.
【答案】16。
【考点】待定系数法,直线上点的坐标与方程的关系,求代数式的值。
【分析】∵由于a不论为何值此点均在直线l上,
∴令a=0,则P1(-1,-3);再令a=1,则P2(0,-1)。
设直线l的解析式为y=kx+b(k≠0),
∴,解得。
∴直线l的解析式为:
y=2x-1。
∵Q(m,n)是直线l上的点,∴2m-1=n,即2m-n=1。
∴(2m-n+3)2=(1+3)2=16。
例2:
(2018山东聊城7分)如图,直线AB与x轴交于点A(1,0),与y轴交于点B(0,﹣2).
(1)求直线AB的解析式;
(2)若直线AB上的点C在第一象限,且S△BOC=2,求点C的坐标.
【答案】解:
(1)设直线AB的解析式为y=kx+b,
∵直线AB过点A(1,0)、点B(0,﹣2),
∴,解得。
∴直线AB的解析式为y=2x﹣2。
(2)设点C的坐标为(x,y),
∵S△BOC=2,∴•2•x=2,解得x=2。
∴y=2×2﹣2=2。
∴点C的坐标是(2,2)。
【考点】待定系数法,直线上点的坐标与方程的关系。
【分析】
(1)设直线AB的解析式为y=kx+b,将点A(1,0)、点B(0,﹣2)分别代入解析式即可组成方程组,从而得到AB的解析式。
(2)设点C的坐标为(x,y),根据三角形面积公式以及S△BOC=2求出C的横坐标,再代入直线即可求出y的值,从而得到其坐标。
例3:
(2018湖南岳阳8分)游泳池常需进行换水清洗,图中的折线表示的是游泳池换水清洗过程“排水﹣﹣清洗﹣﹣灌水”中水量y(m3)与时间t(min)之间的函数关系式.
(1)根据图中提供的信息,求整个换水清洗过程水量y(m3)与时间t(min)的函数解析式;
(2)问:
排水、清洗、灌水各花多少时间?
【答案】解:
(1)排水阶段:
设解析式为:
y=kt+b,
∵图象经过(0,1500),(25,1000),
∴,解得:
。
∴排水阶段解析式为:
y=﹣20t+1500。
清洗阶段:
y=0。
灌水阶段:
设解析式为:
y=at+c,
∵图象经过(195,1000),(95,0),
∴,解得:
。
∴灌水阶段解析式为:
y=10t﹣950。
(2)∵排水阶段解析式为:
y=﹣20t+1500,∴令y=0,即0=﹣20t+1500,解得:
t=75。
∴排水时间为75分钟。
清洗时间为:
95﹣75=20(分钟),
∵根据图象可以得出游泳池蓄水量为1500m3,
∴1500=10t﹣950,解得:
t=245。
故灌水所用时间为:
245﹣95=150(分钟)。
【考点】一次函数的应用,待定系数法,直线上点的坐标与方程的关系。
【分析】
(1)根据图象上点的坐标利用待定系数法分别得出排水阶段解析式,以及清洗阶段:
y=0和灌水阶段解析式即可。
(2)根据
(1)中所求解析式,即可得出图象与x轴交点坐标,即可得出答案。
例4:
(2018湖南娄底3分)已知反比例函数的图象经过点(﹣1,2),则它的解析式是【】
A.B.C.D.
【答案】B。
【考点】待定系数法求反比例函数解析式,曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】设反比例函数图象设解析式为,
将点(﹣1,2)代入得,k=﹣1×2=﹣2。
则函数解析式为。
应选B。
例5:
(2018江苏连云港12分)如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点O为坐标原点,点D为抛物线的顶点,点E在抛物线上,点F在x轴上,四边形OCEF为矩形,且OF=2,EF=3,
(1)求抛物线所对应的函数解析式;
(2)求△ABD的面积;
(3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°,点A对应点为点G,问点G是否在该抛物线上?
请说明理由.
【答案】解:
(1)∵四边形OCEF为矩形,OF=2,EF=3,
∴点C的坐标为(0,3),点E的坐标为(2,3).
把x=0,y=3;x=2,y=3分别代入y=-x2+bx+c,得
,解得。
∴抛物线所对应的函数解析式为y=-x2+2x+3。
(2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴抛物线的顶点坐标为D(1,4)。
∴△ABD中AB边的高为4。
令y=0,得-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3。
∴AB=3-(-1)=4。
∴△ABD的面积=×4×4=8。
(3)如图,△AOC绕点C逆时针旋转90°,CO落在CE所在的直线上,由
(1)
(2)可知OA=1,OC=3,
∵点A对应点G的坐标为(3,2)。
∵当x=3时,y=-32+2×3+3=0≠2,
∴点G不在该抛物线上。
【考点】二次函数综合题,矩形的性质,曲线图上点的坐标与方程的关系,解一元二次方程,二次函数的性质,旋转的性质。
【分析】
(1)在矩形OCEF中,已知OF、EF的长,先表示出C、E的坐标,然后利用待定系数法确定该函数的解析式。
(2)根据
(1)的函数解析式求出A、B、D三点的坐标,以AB为底、D点纵坐标的绝对值为高,可求出△ABD的面积。
(3)根据旋转条件求出点A对应点G的坐标,然后将点G的坐标代入抛物线的解析式中直接进行判定即可。
例6:
(2018江苏无锡2分)若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(2,1),且经过点B(1,0),则抛物线的函数关系式为 ▲ .
【答案】y=﹣x2+4x﹣3。
【考点】待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(2,1),∴可设抛物线的解析式为y=a(x﹣2)2+1。
又∵抛物线y=a(x﹣2)2+1经过点B(1,0),∴(1,0)满足y=a(x﹣2)2+1。
∴将点B(1,0)代入y=a(x﹣2)2得,0=a(1﹣2)2即a=﹣1。
∴抛物线的函数关系式为y=﹣(x﹣2)2+1,即y=﹣x2+4x﹣3。
例7:
(2018浙江宁波12分)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A(﹣1,0),B(2,0),交y轴于C(0,﹣2),过A,C画直线.
(1)求二
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