梯形优秀教案在集体教案评比中被评为二等奖Word文档格式.docx
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梯形的中位线平行于上下底边,等于上下底和的一半
(三)常用辅助线
三:
典型例题
例1:
如图,四边形ABCD是等腰梯形,其中AD=BC,若AD=5,CD=2,AB=8,求梯形ABCD的面积.
分析:
梯形的面积公式:
S=
(a+b)h.
本题的上底、下底是已知的,要求面积,关键是求高.如何求高呢?
由于梯形是一个轴对称图形.因此我们可知两线段AE、BF相等,应用勾股定理,即可求出.
解:
过点D、C作DE⊥AB于E,CF⊥AB于F,根据等腰梯形的轴对称性知:
AE=BF.
AE=
(AB-EF)=
(AB-CD)=3
在Rt△ADE中,DE2=AD2-AE2=52-32=42
∴DE=4
∴S梯形ABCD=
×
(8+2)×
4=20
例2:
已知如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,∠B=60°
,AD=10,BC=18,求梯形ABCD的周长.
过A、D点分别作AE⊥BC于E,DF⊥BC于F,根据梯形的轴对称性知:
BE=CF
BE=
(BC-AD)=4
∠BAE=30°
AB,即AB=2BE=8
∴AB=CD=8
L梯形ABCD=10+8+18+8=44
例3:
如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,M、N分别为CD和AB的中点,且MN⊥AB.
求证:
四边形ABCD是等腰梯形.
判定四边形ABCD是一个等腰梯形,要在已知梯形的前提下证明它的两腰相等或同一底上的两个角相等.本例中已知ABCD是梯形,只要证明第二步骤即可.
证明:
过点C作CE⊥AB于E,过D点作DF⊥AB于F.
∵AB∥DC,MN⊥AB
∴四边形DFNM和CENM是矩形.
∴DM=FN,CM=EN且DF=CE
又DM=CM,∴FN=EN
而N是AB的中点,∴AF=BE
又∠DFA=∠CEB,DF=CE
∴△DFA≌△CEB,∴AD=BC
即:
四边形ABCD是等腰梯形
例4:
如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,DE∥CB,梯形的周长为22,EB=4,求△AED的周长.
∵AB∥DCDE∥CB
∴四边形DCBE是平行四边形
∴DE=CBDC=BE
=22-4-4
=14
例5
如图16-3-2,梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=70°
,∠C=40°
,AD=6cm,BC=15cm,求CD长.
分析:
关键是作出辅助线,将线段AD平移到BC上,再利用角度的关系找到DC=EC
解:
过D作ED∥AB交BC于E,则∠DEC=∠B,
∵四边形ABED是平行四边形,AD=BE,
∵∠B=70°
,∠DEC=70°
.
∵∠C=40°
,∴∠EDC=180-∠DEC-∠C=70°
,
∴∠DEC=∠EDC=70°
,∴CD=CE.
又∵CE=BC-BE=BC—AD=15—6=9.∴CD=9(cm).
反思:
梯形常通过作辅助线分成—个平行四边形和—个三角形.
例6
如图16-3-3,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,对角线AC⊥BD,AD=4cm,BC=10cm,求梯形的面积.
欲求梯形面积必须先求高,根据已知对角线,可以作辅助线构造平行四边形和三角形,从而利用平行四边形和三角形的知识来解决问题.
过D作DF∥AC交BC的延长线于F,作DE⊥BC于E.
∵四边形ACFD是平行四边形,∴DF=AC,CF=AD=4.
∵AC⊥BD,AC∥DF,∴∠BDF=∠BOC=90°
∵AC=BD,∴BD=DF,∴BF=BC+CF=14,DE=÷
BF=7.
作对角线的平行线把梯形转化成平行四边形是常见的引辅助线方法.同时梯形的面积也等于△DBF的面积.
例7:
如图16-3-7,梯形ABCD中,AB∥CD,且BM⊥CM,M是AD的中点,试说明AB+CD=BC
关键是将AB、CD转化到一条直线上去,再通过中心对称的知识将问题解决.
延长BM交CD延长线于N点.
∵M是AD的中点,AB∥CD,∴△ABM与△DNM关于点M成中心对称,
∴AB=DN,MB=MN,∵BM⊥CM,∴CB=CN,CD+ND=BC
∵AB=DN,∴AB+CD=BC.
遇到梯形腰的中点,往往连结顶点与一腰的中点并延长交底的延长线于一点,构成中心对称的两个三角形.
四:
课堂检测
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列说法中,不正确的是().
(A)有三个角是直角的四边形是矩形;
(B)对角线相等的四边形是矩形
(C)对角线互相垂直的矩形是正方形;
(D)对角线互相垂直的平行四边形是菱形
2.已知一个四边形的对角线互相垂直,那么顺次连接这个四边形的四边中点所得的四边形是().
(A)矩形(B)菱形(C)等腰梯形(D)正方形
3.用两个全等的直角三角形拼下列图形:
①矩形;
②菱形;
③正方形;
④平行四边形;
⑤等腰三角形;
⑥等腰梯形.其中一定能拼成的图形是().
(A)①②③(B)①④⑤(C)①②⑤(D)②⑤⑥
4.如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,∠C=60°
,BD平分∠ABC.如果这个梯形的周长为30,则AB的长为().
(A)4(B)5(C)6(D)7
(1)
(2)(3)
5.如图2,矩形ABCD沿AE折叠,使点D落在BC边上的F点处,如果∠BAF=60°
,那么∠DAE等于().
(A)15°
(B)30°
(C)45°
(D)60°
6.如图3,在菱形ABCD中,∠ADC=120°
,则BD:
AC等于().
(A)
:
2(B)
3(C)1:
2(D)
1
7.如图4,四边形ABCD是正方形,延长BC至点E,使CE=CA,连结AE交CD于点F,则∠AFC的度数是().
(A)150°
(B)125°
(C)135°
(D)112.5°
8.如图5,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AC,BD相交于点O.有下列四个结论:
①AC=BD;
②梯形ABCD是轴对称图形;
③∠ADB=∠DAC;
④△AOD≌△ABO.其中正确的是().
(A)①③④(B)①②④(C)①②③(D)②③④
(4)(5)
9.一张矩形纸片按如图甲或乙所示对折,然后沿着图丙中的虚线剪下,得到①,②两部分,将①展开后得到的平面图形是().
(A)三角形(B)矩形(C)菱形(D)梯形
10.小许拿了一张正方形的纸片如图甲,沿虚线对折一次得图乙.再对折一次得图丙.然后用剪刀沿图丙中的虚线(虚线与底边平行)剪去一个角.打开后的形状是().
二、填空题(每小题3分,共30分)11.既是轴对称图形,又是中心对称图形的四边形是_________.
12.把“直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形”填入下列相应的空格上:
(1)正方形可以由两个能够完全重合的_________拼合而成;
(2)菱形可以由两个能够完全重合的_________拼合而成;
(3)矩形可以由两个能够完全重合的________拼合而成.
13.在
ABCD中,若添加一个条件________,则四边形ABCD是矩形;
若添加一个条件_______,则四边形ABCD是菱形.
14.已知正方形的面积为4,则正方形的边长为________,对角线长为________.
15.已知矩形的对角线长为4cm,一条边长为2
cm,则面积为________.
16.菱形的两条对角线分别是6cm,8cm,则菱形的边长为_____,面积为______.
17.如图6,在四边形ABCD是正方形,△CDE是等边三角形,则∠AED=______,∠AEB=______.
(6)(7)(8)
18.如图7,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=6cm,BC=8cm,∠B=60°
,则AB=_______cm.
19.现有一张长53cm,宽28cm的矩形纸片,要从中剪出长15cm,宽12cm的矩形小纸片,则最多能剪出______张.
20.如图8,在菱形ABCD中,∠BAD=80°
,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,E为垂足,连结DF,则∠CDF的度数=________.
三、解答题(40分)
21.(6分)如图,在菱形ABCD中,∠A与∠B的度数比为1:
2,周长是48cm.求:
(1)两条对角线的长度;
(2)菱形的面积.
22.(8分)已知:
如图,
ABCD各角的平分线分别相交于点E,F,G,H,求证:
四边形EFGH是矩形.
23.(8分)如图,适当地改变方格图中的平行四边形的部分位置,并保持面积不变,先使其成为矩形,再将矩形向下平移3个格后,继续改变其中某些部分的位置并保持面积不变,使其成为菱形.说明在变化过程中所运用的图形变换.
24.(8分)已知:
如图,在正方形ABCD中,AE⊥BF,垂足为P,AE与CD交于点E,BF与AD交于点F,求证:
AE=BF.
25.(10分)如图,要剪切如图①(尺寸单位:
mm)所示的甲、乙两种直角梯形零件,且使两种零件的数量相等.有两种面积相等的矩形铝板,第一种长500mm,宽300mm(如图②);
第二种长600mm,宽250mm(如图③)可供选用.
(1)填空:
为了充分利用材料,应选用第______种铝板,这时一块铝板最多能剪甲、乙两种零件共_______个,剪下这些零件后,剩余的边角料的面积是______mm2.
(2)画图:
从图②或图③中选出待用的铝板示意图,在图上画出剪切线,并把边角余料用阴影表示出来.
答案:
1.B2.A3.B4.C5.A6.B7.D8.C9.C10.D
11.答案不唯一
12.
(1)等腰直角三角形
(2)等腰三角形(3)直角三角形
13.AC=BD;
AB=BC
14.2;
2
15.4
cm2
16.5cm;
24cm2
17.15°
;
30°
18.2
19.4
20.60°
21.
(1)BD=12cm,AC=12
cm
(2)S菱形ABCD=72
cm2
22.略
23.图略
24.提示:
只要证明△ABF≌△DAE
25.提示:
(1)选用第一种铝板,最多能剪甲、乙两种零件各2个,共4个,
如图所示.S阴=300×
500-2×
200-2×
150=10000(mm)2
(2)剪切线如图所示:
五:
课后作业
一、选择题
1.(2002.荆州)如图1,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠D=2∠B,AD=a,CD=b,则AB等于()
A.a+
B.
+bC.a+bD.a+2b
(1)
(2)(3)(4)
2.(2003.南通)梯形的上底长为a,下底长是上底长的3倍,则梯形的中位线长()
A.4aB.2aC.1.5aD.a
3.(2003.仙桃市、潜江市、江汉油田)如图2,线段AC、BD相交于点O,欲使四边形ABCD成为等腰梯形,满足的条件是()
A.AO=CO,BO=DOB.AO=CO,BO=DO,∠ACB=90°
C.AO=DO,BO=CO,且AO≠COD.AO=DO,∠AOD=90°
4.(2004.河北)如图3,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC⊥BD,且AC=12,BD=9,则此梯形的中位线长是()
A.10B.
C.
D.12
二、填空题
1.(2003.黄冈)四边形ABCD各角的比为∠A:
∠B:
∠C:
∠D=1:
2:
3:
4,则这个四边形为___.
2.(2004.云南)如图4,在△ABC中,DE∥BC,
则
=_____.
3.(2002.重庆)如图,已知AB∥DC,AE⊥DC,AE=12,BD=15,AC=20,则梯形ABCD的面积为_______.
4.(2003.潍坊)已知等腰梯形的两条对角线互相垂直,中位线长为8cm,则它的高为_______cm.
5.已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=60°
BD=2
AE是梯形的高,且BE=1,则AD=______.
三、解答题
1.(2003.隋州)已知:
如图,梯形ABCD中,AD∥BC,DC⊥BC,沿对角线BD折叠,点A恰好落在DC上,记为A′,若AD=4,BC=6,求A′B.
2.(2003.杭州)如图,EF为梯形ABCD的中位线,AC平分∠DAB交EF于M,延长DM交AB于N,求证:
△ADN是等腰三角形.
3.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,BC-AD=2cm,∠B=90°
∠C=45°
BC+AD=10cm.
求梯形ABCD的面积.
能力提高练习
一、开放探索题
1.如图,四边形ABCD为直角梯形,AB∥CD,AD⊥AB,点P在腰AD上移动,要使PB+PC最小.
(1)则应满足()
A.PB=PCB.PA=PDC.∠BPC=90°
D.∠APB=∠DPC
(2)试求出P点的位置.
2.如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,M、N分别为AD、BC的中点,E、F分别是BM、CM的中点.
(1)求证:
四边形MENF是菱形;
(2)若MENF是正方形,那么梯形的高与底边BC有何关系?
二、学科内综合题
3.(2004.长沙)如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3cm,BC=7cm,∠B=60°
P为下底BC上一点(不与B、C重合),连结AP,过P点作PE交DC于E,使得∠APE=∠B.
△ABP∽△PCE.
(2)求等腰梯形的腰AB的长.
基础达标验收卷
一、1.C2.B3.C4.C
二、1.梯形2.
3.1504.85.2
三、1.解:
∵△ABD和△A′BD重合,
∴△ABD≌△A′BD.
∴∠ADB=∠CDB.DA′=DA=4.
∵∠ADC=∠C=90°
∴∠BDC=∠ADB=45°
.∵AD∥BC,
∴∠DBC=∠ADB=45°
∴DC=BC=6.
∴A′C=CD-DA′=6-4=2.
由勾股定理,在Rt△A′BC中,得A′B=2
.
2.证明:
∵EF为梯形ABCD的中位线,AC平分∠DAB,
∴EF∥AB,∠EAM=∠EMA=∠NAM.
∴EA=EM,可得AD=2EM.
又∵EM为△DAN的中位线,
∴AN=2EM,∴AD=AN.
∴△ADN为等腰三角形.
3.解:
过D作DE⊥BC,垂足为E.S梯形ABCD=10cm2.
1.
(1)延长CD至C′,使C′D=CD.连结BC′交AD于P点,P点即为所求.
∵DP垂直平分CC′,
∴PC′=PC,∠C′=∠C′CP.
∵C′C∥AB,∴∠C′=∠PBA.
∴∠C′CP=∠PBA.
∴∠APB=∠CPD,故选D.
(2)略.
2.
(1)提示:
由四边形ABCD是等腰梯形可证△ABM≌△DCM,
∴BM=CM,∴EN
CM=MF.
同理NF
BM=ME.
又∵BM=CM,
∴NE=MF=NF=ME.
∴四边形ENFM是菱形.
(2)连结MN,∵BM=CM,BN=CN,
∴MN⊥BC.
∵四边形MENF为正方形,
∴∠EMF=90°
∴△BMC为等腰直角三角形.
∴MN=
BC.
即:
梯形的高等于底边的一半.
3.
(1)证明:
由∠APC为△ABP的外角,得∠APC=∠B+∠BAP.
又∵∠B=∠APE,∴∠EPC=∠BAP.
又∵∠B=∠C,∴△ABP∽△PCE.
(2)过A作AF⊥BC于F,由已知易求得BF==2(cm)
在Rt△ABF中,∠B=60°
BF=
=2(cm),
∴AB=4(cm).
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