切线长及弦切角Word格式.docx
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EF∥BC.
拓展提升
已知:
如图,P为⊙O外一点,PA,PB为⊙O的切线,A和B是切点,BC是直径.
求证:
AC∥OP.
课后训练学案
1.在△ABC中,AB=5cmBC=7cmAC=8cm,⊙O与BC、AC、AB分别相切于D、E、F,则AF=_____,BD=_______、CF=________
2.已知PA、PB切⊙O于A、B,∠APB=60º
,PA=4,则⊙O的半径为。
3.已知⊙O的半径为
,点P到圆心O的距离为2
,则过点P的两条切线的夹角为度,切线长为。
4.BC是⊙O的弦,P是BC延长线上一点,PA与⊙O相切于点A,∠ABC=25°
,∠ACB=80,则∠P的度数为_______.
★5.已知⊙O1和⊙O2外切于点B,PB是两圆公切线,PA、PB分别与⊙O1、⊙O2相切于A、C,如果AP=2X-3,PC=X+3,则x=。
6.已知:
△ABC内接于⊙O,∠ABC=25°
,∠ACB=75°
,过A点作⊙O的切线交BC的延长线于P,则∠APB等于()A.62.5°
B.55°
C.50°
D.40°
.
7.已知:
如图7-149,PA,PB切⊙O于A,B两点,AC为直径,则图中与∠PAB相等的角的个数为()A.1个;
B.2个;
C.4个;
D.5个.
8.已知如图7-150,四边形ABCD为圆内接四边形,AB是直径,MN切⊙O于C点,∠BCM=38°
,那么∠ABC的度数是()A.38°
;
B.52°
C.68°
D.42°
9.已知:
如图6,四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和⊙O分别相切于点L、M、N、P.
想一想:
AB+CD与AD+BC之间有什么关系?
说明你结论的正确性。
10.如图,AB是⊙O的弦,CD是经过⊙O上的点M的切线.求证:
⑴如果AB//CD,那么AM=MB;
⑵如果AM=BM,那么AB//CD.
★11.如下图,△ABC的∠BAC的平分线交外接圆于D,交圆的切线BE于E.
(1).∠EBD=∠DBC;
(2).AB·
BE=AE·
DC.
切线长定理、弦切角、和圆有关的比例线段
定理的掌握。
1.切线长概念
切线长是在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长度,“切线长”是切线上一条线段的长,具有数量的特征,而“切线”是一条直线,它不可以度量长度。
2.切线长定理
对于切线长定理,应明确
(1)若已知圆的两条切线相交,则切线长相等;
(2)若已知两条切线平行,则圆上两个切点的连线为直径;
(3)经过圆外一点引圆的两条切线,连结两个切点可得到一个等腰三角形;
(4)经过圆外一点引圆的两条切线,切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补;
(5)圆外一点与圆心的连线,平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角、顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角。
直线AB切⊙O于P,PC、PD为弦,图中几个弦切角呢?
(四个)
4.弦切角定理:
弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5.弄清和圆有关的角:
圆周角,圆心角,弦切角,圆内角,圆外角。
6.遇到圆的切线,可联想“角”弦切角,“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段
定理
图形
已知
结论
证法
相交弦定理
⊙O中,AB、CD为弦,交于P
PA·
PB=PC·
PD
连结AC、BD,证:
△APC∽△DPB
相交弦定理的推论
⊙O中,AB为直径,CD⊥AB于P
PC2=PA·
PB
用相交弦定理
切割线定理
⊙O中,PT切⊙O于T,割线PB交⊙O于A
PT2=PA·
连结TA、TB,证:
△PTB∽△PAT
切割线定理推论
PB、PD为⊙O的两条割线,交⊙O于A、C
过P作PT切⊙O于T,用两次切割线定理
圆幂定理
⊙O中,割线PB交⊙O于A,CD为弦
P'
C·
D=r2-OP'
2
PB=OP2-r2
r为⊙O的半径
延长P'
O交⊙O于M,延长OP'
交⊙O于N,用相交弦定理证;
过P作切线用切割线定理勾股定理证
8.圆幂定理:
过一定点P向⊙O作任一直线,交⊙O于两点,则自定点P到两交点的两条线段之积为常数|
|(R为圆半径),因为
叫做点对于⊙O的幂,所以将上述定理统称为圆幂定理。
【典型例题】
例1.如图1,正方形ABCD的边长为1,以BC为直径。
在正方形内作半圆O,过A作半圆切线,切点为F,交CD于E,求DE:
AE的值。
图1
例2.⊙O中的两条弦AB与CD相交于E,若AE=6cm,BE=2cm,CD=7cm,那么CE=_________cm。
点拨:
相交弦定理是较重要定理,结果要注意两种情况的取舍。
图2
例3.已知PA是圆的切线,PCB是圆的割线,则
________。
点拨:
利用相似得出比例关系式后要注意变形,推出所需结论。
例4.如图3,P是⊙O外一点,PC切⊙O于点C,PAB是⊙O的割线,交⊙O于A、B两点,如果PA:
PB=1:
4,PC=12cm,⊙O的半径为10cm,则圆心O到AB的距离是___________cm。
图3
例5.如图4,AB为⊙O的直径,过B点作⊙O的切线BC,OC交⊙O于点E,AE的延长线交BC于点D,
(1)求证:
(2)若AB=BC=2厘米,求CE、CD的长。
点悟:
要证
,即要证△CED∽△CBE。
有切线,并需寻找角的关系时常添辅助线,为利用弦切角定理创造条件。
图4
例6.如图5,AB为⊙O的直径,弦CD∥AB,AE切⊙O于A,交CD的延长线于E。
求证:
图5
例7.如图6,PA、PC切⊙O于A、C,PDB为割线。
AD·
BC=CD·
AB
由结论AD·
AB得
,显然要证△PAD∽△PBA和△PCD∽△PBC
图6
例8.如图7,在直角三角形ABC中,∠A=90°
,以AB边为直径作⊙O,交斜边BC于点D,过D点作⊙O的切线交AC于E。
BC=2OE。
由要证结论易想到应证OE是△ABC的中位线。
而OA=OB,只须证AE=CE。
图7
例9.如图8,在正方形ABCD中,AB=1,
是以点B为圆心,AB长为半径的圆的一段弧。
点E是边AD上的任意一点(点E与点A、D不重合),过E作
所在圆的切线,交边DC于点F,G为切点。
当∠DEF=45°
时,求证点G为线段EF的中点;
图8
【模拟试题】
(答题时间:
40分钟)
一、选择题
1.已知:
PA、PB切⊙O于点A、B,连结AB,若AB=8,弦AB的弦心距3,则PA=()
A.
B.
C.5D.8
2.下列图形一定有内切圆的是()
A.平行四边形B.矩形
C.菱形D.梯形
3.已知:
如图1直线MN与⊙O相切于C,AB为直径,
∠CAB=40°
,则∠MCA的度数()图1
A.50°
B.40°
C.60°
D.55°
4.圆内两弦相交,一弦长8cm且被交点平分,另一弦被交点分为1:
4,则另一弦长为()
A.8cmB.10cmC.12cmD.16cm
5.在△ABC中,D是BC边上的点,AD
,BD=3cm,DC=4cm,如果E是AD的延长线与△ABC的外接圆的交点,那么DE长等于()
C.
D.
6.PT切⊙O于T,CT为直径,D为OC上一点,直线PD交⊙O于B和A,B在线段PD上,若CD=2,AD=3,BD=4,则PB等于()
A.20B.10C.5D.
二、填空题
7.AB、CD是⊙O切线,AB∥CD,EF是⊙O的切线,它和AB、CD分别交于E、F,则∠EOF=_____________度。
8.已知:
⊙O和不在⊙O上的一点P,过P的直线交⊙O于A、B两点,若PA·
PB=24,OP=5,则⊙O的半径长为_____________。
9.若PA为⊙O的切线,A为切点,PBC割线交⊙O于B、C,若BC=20,
,则PC的长为_____________。
10.正△ABC内接于⊙O,M、N分别为AB、AC中点,延长MN交⊙O于点D,连结BD交AC于P,则
_____________。
三、解答题
11.如图2,△ABC中,AC=2cm,周长为8cm,F、K、N是△ABC与内切圆的切点,DE切⊙O于点M,且DE∥AC,求DE的长。
12.如图3,已知P为⊙O的直径AB延长线上一点,PC切⊙O于C,CD⊥AB于D,求证:
CB平分∠DCP。
13.如图4,已知AD为⊙O的直径,AB是⊙O的切线,过B的割线BMN交AD的延长线于C,且BM=MN=NC,若AB
,求⊙O的半径。
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- 切线 弦切角