三角形四心的向量性质练习doc文档格式.docx
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bOGGB
cOGGC
图2
abcOGGAGBGC
而abc3OG0
abc
OG
3
变式:
已知D,E,F分别为△ABC的边BC,AC,AB的中点.则
uuuruuuruuur
ADBECF0.
如图的所示,
AD
2
BE
CF
(GAGBGC)
0..
图3
变式引申:
如图4,平行四边形ABCD的中心为O,P为该平面上任意一点,
1
则PO
(PA
PB
PC
PD).
4
1uuur
uuuruuur
QPO
(PA
PC),PO
(PBPD),
PO
PD).
(1)证法运用了向量加法的三角形法则,证法2运用了向量加法的平行四边形法则.
(2)若P
uuuruuuruuuruuur
与O重合,则上式变为OAOBOCOD0.
例2.
已知O是平面内一点,
A,B,C是平面上不共线的三点,动点
P满足
OP
,
0,,则动点P的轨迹一定通过
ABC的
OAABBC
A.重心B.垂心C.外心D.内心
题2:
已知O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满
[0,
).则P点的轨迹一定通过△ABC的(
)
足OP
OA
(ABAC),
A.外心
B.
内心
C.重心
D.垂心
由已知得AP
(AB
AC),设BC的中点为D,则根据平行四边形法
则知点P在BC的中线AD所在的射线上,故P的轨迹过△ABC的重心,选C.
题3:
已知O是平面上的一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点
P
(uuurAB
uuurAC
),[0,),则动点P的轨迹一定通过
满足OP
|AB|sinB|AC|sinC
△ABC的()
A.重心
B.垂心
C.外心
D.内心
),
|AB|sinB
|AC|sinC
由正弦定理知|AB|sinB|AC|sinC,∴AP
(AB
AC),
|AB|sinB
设BC的中点为D,则由平行四边形法则可知点P在BC的中线AD所在的射线上,所以动点P的轨迹一定通过△ABC的重心,故选A.
题7:
已知A、B、C是平面上不共线的三点,O为△ABC的外心,动点P满足
(1
R,
0),则P的轨迹一定
1[
(1)OA
)OB
)OC](
通过△ABC的(
A.内心
D.AB边的中点
2(1
CP
OC=[(1
)OA
(1)OB
)OC]
=
[(OA
OC)(OB
OC)]=
(CA
CB),由平行四边形法则
0,所以P的轨迹在AB边的中线上,
知CA
CB必过AB边的中点,注意到
但不与重心重合,故选D.
题8:
已知O是△ABC所在平面上的一点,若OA
OB
OC=0,则O点是△ABC
的()
B.内心
若OA
OC=0,
则OA
OC,以OA、OB为邻边作平行四
边形OAC1,设
1与
交于点
,则
为
的中点,有
uuuur
AB
D
OAOB
OC1
B
得OC1
OC,即C、O、D、C1四点共线,同理AE、BF亦为△ABC的中线,
所以O是△ABC的重心.选C.
题9:
已知O是△ABC所在平面上的一点,若PO
PC)(其中P为
平面上任意一点),则O点是△ABC的(
由已知得3PO
OP,
∴3PO
3OP
OC,即
OC=0,由上题的结论知O点
是△ABC的重心.故选C.
例4.证明:
三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。
证:
设AC=b,CB=a,则AD=AC+CD=b+1a,
EBECCB=
∵A,G,D共线,B,G,E共线
A
∴可设AG=λAD,EG=μEB,
则
AG
λAD
λ
1λ
a,
F
E
G
=(b+
a)=λb+
EG=μEB=μ(1b+a)=1μb+μa,
C
∵AE
EG
即:
1
b+(
1μb+μa)=λb+
1λa
∴(μ1λ)a+(1μ
∵
a,b
不平行,
λ+
)b=0
2AD
∴
AG=2GD
同理可化:
AG=2GD,CG=2GF
二、三角形的外心的向量表示及应用
命题二:
已知G是△ABC内一点,满足MAMBMC,则点M为△
ABC的外心。
例2已知G、M分别为不等边△ABC的重心与外心,点A,B的坐标分别为A(-1,0),B(1,0),且GM∥AB,
(1)求点C的轨迹方程;
(2)若直线
l过点(0,1),并与曲线交于P、Q两点,且满足OPOQ0,求直线l的方程。
xy
解
(1)设(Cx,y),则G(,),
其中x,y
0,
由于GM∥AB,
故my,
m
y
外心M(0,),
M为外心
M
x
图5
MAMC,得(x0)2
(y
y)2
1(y)2
轨迹E的方程是3x2
y2
(xy
0)
题5:
已知O是平面上的一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P
(uuurAB
),
),则动点P的轨
满足OPOB
|AB|cosB
|AC|cosC
迹一定通过△ABC的(
设BC的中点为D,则OB
OD,
则由已知得DP
ABBC
ACBC
∴DP
BC(uuur
B)
|AB||BC|cos(
|AC|
|BC|cosC
=(
|BC|
|BC|)=0.
|AB|cosB
|AC|cosC
∴DP⊥BC,P点在BC的垂直平分线上,故动点P的轨迹通过△ABC的外心.
选C.
题12:
已知O是△ABC所在平面上的一点,若
(OA
OB)AB=(OB
OC)BC=(OC
OA)CA=0,则O点是△ABC的(
由已知得:
uuuruuur
OB)(OB
OA)
=(OBOC)(OC
OB)=(OC
OA)(OA
OC)=0
uuur2
OB=OA
OC=0
|OA||OB||OC|.所以O点是△ABC的外心.选A.
三、三角形的垂心的向量表示及应用
命题三:
已知G是△ABC内一点,满足GAGBGAGCGBGC,则点
G为垂心。
(2005全国文12)
证明:
由PAPBPBPC得PAPBPBPC0.
即PB(PAPC)0,即PBCA0
则PBCA,同理PABC,PCAB
所以P为ABC的垂心.
本题将平面向量有关运算、“数量积为零,则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识巧妙结合。
若H为△ABC所在平面内一点,且HA
BC
HB
CA
HC
则点H是△ABC的垂心
证明:
HA
(HAHB)?
BA
CB)?
BA
得(HAHBCA
H
即(HC
HC)?
图6
同理AC
HB,BC
故H是△ABC的垂心
例4.如图,AD、BE、CF是△ABC的三条高,求证:
AD、BE、CF相交于一点。
设BE、CF交于一点H,AB=a,
AC=b,
AH=h,
则BH=ha,
CH=hb,
BC=ba
∵BHAC,
CHAB
∴(ha)b
(
h
hb
ah
b
a
)0
(ha)a
ab
∴AHBC
又∵点D在AH的延长线上,∴AD、BE、CF相交于一点
题4:
),则动点P的轨迹一定
AC
∴APBC
(uuur
|AC||BC|cosC
)=(
|BC|)=0,
∴AP
BC,即AP⊥BC,所以动点P的轨迹通过△ABC的垂心,选B.
题10:
已知O是△ABC所在平面上的一点,若OAOB
OBOC
OCOA,则
O点是△ABC的(
由OAOB
OBOC,则OAOB
,即OB(OA
OC)0,
得OBCA0,所以OB
CA.同理可证OC
AB,OA
BC.
∴O是△ABC的垂心.选D.
题11:
已知O为△ABC所在平面内一点,满足
,则O点是△ABC的()
|OA|
|BC|
|OB|
|CA|
=|OC|
|AB|
A.垂心
B.重心
C.内心
D.外心
由已知得|OA|
OB)
OB)=(CA
BC)
BA(OA
CB)BA
BC)=0
uur
BA2OC
,∴
⊥BA
.
=0
同理OA
CB
,OB
AC.故选A.
四、三角形的内心的向量表示及应用
命题四:
O是
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