几何与线性代数习题册0123文档格式.docx
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的面积S=O
2»
六、已知'
∖a[=∖,[β∖=2,<
a,β>
=-,ω=λa+β,γ=a-βo问
1)4为何值时,0与7平行;
2)几为何值时,0与7垂直。
七、已知α与夕垂直,且MI=3,1网=4,计算:
(提示:
a×
βLa,a×
βLβ.)
1)∣∣(cr×
y0)×
tz∣∣;
2)I(CX尸)x(α-刈I;
3)∣∣(3cr-∕7)×
(α-2∕7)∣∣o
习题二向量及其运算的坐标计算
1.平行于V轴的向量一般表示式是O
2.向量。
=(3,1,4),β=(2-1,1),它们的夹角<
%分>
=o
3.向量α=(-2,3,0),β=(∕2,-6,2),当。
=与方2=时,α与夕平行。
4.设三力E=(L-L,0),F2=(0,3,-l),月=(—L—2,1)作用于一质点,使质点产生的位移向
量S=—z,+2J+左,则合力所做的功W=o
5.三角形的三个顶点为A(Lo,0),3(1,0,2),C(0,1,0),其面积S=。
6.和向量。
-3/+左,分=27-/+左都垂直的单位向量是。
二、已知向量。
=(3,5,-1),求1的方向余弦及与α平行的单位向量。
三、证明向量α在夕上的投影向量为詈!
夕,并求向量。
=(2,3,1)在向量尸=(1,-2,2)上的投P'
β
影向量。
四、向量α=(8,—3,2),分=(0,2,—I),7=(1,2,3)是否共面?
若不共面,试计算以这三个向量为棱所作的平行六面体体积。
五、设々=(1,0,0),6=(2,2,1),向量/广,/共面,且Pr勿ɑ7=Pr0口/=3,求/。
习题三平面与直线
1.平行于平面5x-14y+2z+36=0且与此平面的距离为3的平面方程
是。
2.如果平面αx+2ay+10z-2=0与x+2y+5z=0平行,则α=
若垂直,贝IJa=o
3.过三点A(l,0,0),B(1,1,O),C(1,1,1)的平面方程是o
4.过X轴且垂直于平面5x+y-3z+3=O的平面方程是。
5.点42,3,1)到平面X+y—z+1=0的距离是.
6.通过点A(l,-5,1)和B[3,2,-12)且平行于y轴的平面方程为
7.过点M∣(2,3,T)和"
2(T,O,3)的直线方程是
TM-ɪZI2
8.过点Λl(-2,1,3)且垂直于直线三二=V=--的平面方程是
2-3
9.过点M(O,—1,3)且垂直于平面3x—2y+z+9=0的直线方程是
M点在此平面上的投影点坐标是;
M点关于此平面的对称点坐标是二、求满足下列条件的平面方程
1.过原点引平面的垂线,垂足是点M(l,2,1)的平面方程。
2.通过点A(2,-l,3)且平行于向量a=(1,—2,1)及月=(0,3T)的平面方程。
Y—4^v+3
三、求过点(3,1-2)且通过直线二一=25—=Z的平面方程。
x+y—z+l=0
四、求点(3T2)到直线∣2Ay+z-4=。
的距离。
五、求两异面直线(:
一=F==;
三3="
=F之间的距离。
—26—32—54
习题四线性方程组
x1+2x2-x3=O
一、用加减消元法求解下列线性方程组D<
2x1+4x2+x3=0.
xi-2x2-2x3=0
xi+2x2-x3=3
2)
2玉+4x2+5x3=-1
-Xj—2%2-2%3二-2
x1+x2+3x3=2
二、对非齐次线性方程组
x1+2x2+4x3=3,当&
b为何值时无解?
何值时有无穷多解?
%1+3x2+qx3=b
三、液态苯在空气中可以燃烧。
如果将一个冷的物体直接放在燃烧的苯上部,则水蒸气就会在物体上凝结,同时烟灰(碳)也会在物体上沉积.这个化学反应的方程式为
xlC6Hβ+x2O2→λ3C+X4H2O
求变量玉,尤2,毛,乂以配平该方程。
习题五矩阵的运算
1.设A=g(3+E),则当且仅当B?
=时,A2=Ao
2.A?
—B?
=(A+jβ)(A-3)的充分必要条件是o
(11/3、
3.设A=,贝UC=;
d=时,-Oo
∖Cd?
'
146、
(0、
123、
λ123、
4.(O10)
237
一,
012
-O
358,
1001>
oIJ
<
1
0、
k
(12
3、
/
a
5.
3
01
2
b
\0
8
13
1,
Cj
√
23、
12
31>
aOOV1ObOO
、OOC八1
二、设。
=(2,1,3),分=(1,2,3),计算:
A=aτβ∙,B=分0'
及A’(左为正整数)。
用
矩阵乘法的结合律A2=(arβ)(ar∕3)=Orlβar)β=BA)
求所有与A可交换的矩阵。
四、若A3满足AB=JBA,则称B和/可交换。
设A=
五、设/(无)=九2—%—2,记/(A)为方阵A的多项式,即/(A)=A2—A—2E,若
(1-2>
A=1n,计算/(A)。
Iʊ
3、
O改写成方程组的形式和矩阵乘积的形式。
[2J
习题六对称矩阵与分块矩阵
一、1)设A、8为”阶方阵,且A为对称矩阵,证明3'
A5也是对称矩阵。
2)设A、8均为〃阶对称矩阵,证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=R4。
二、设自为〃维列向量,且jrj=l,设A=E—2身。
证明A是对称矩阵且A?
=E
λ10、
11,按照不同的分块方式计算乘积AB:
NJ
(1)A不分块,3按列分块;
(2)A按行分块,JB不分块;
(3)A按行分块,JB按列分块。
习题七行列式的性质与计算
3。
33
3o
一<
¾
abO
2.设一ba0=0,贝IJa=,b=。
-101
二、选择题
1.设A为“阶方阵,若A经过若干次初等变换变成矩阵B,则下面的结论正确的是()O
(A)IAHBI;
(B)若IAI=O,则必有∣3∣=0;
(O∣A∣≠∣5∣;
(D)若∣A∣>
0,则必有|3|>
0。
2.若/,B为同阶方阵,则有(
(A)(ABy=AkBk;
(B)∖-AB∖=-∖AB∖∙,
(C)E2-(AB)2=(E-AB)(E+AB);
(D)
三、计算下列行列式:
IA+B⅜∣A⅛∖Eo
(1)
-abbebf
ac
—Cd
Cf
aede
-ef
a-st-b
O∙∙∙OO
a+ba∙∙∙OO
O
a+b∙∙∙OO
⑶
Dn=
O∙∙∙a+ba
O∙∙∙ba+b
4
-3
(2)
-6
-2
5
-12
按一行或一列展开,求递推公式)
CoSe
2cos6,
•••0
四、用数学归纳法证明:
…2cos6
=CGSne
习题八逆矩阵
(一)
一、填充题
1.设A为3阶方阵,且⑶=2,贝∣J∣2A]=,∣A*∣=,
∣(A*)*∣=,∣(A*r'
∣=;
∣3A-'
-2A*∣.o
-2、
L
(1、T/、
2.设AT=I
nJ
4.如AB分别是7篦阶和〃阶可逆矩阵,C为mx九阵,则
ACY*
OB,
1(1_0
5.设A=;
;
r7,且A6=e,则A"
=2l√31J
1.设”阶方阵A5C满足BcA=E,则下面的结论正确的是()o
(A)ACB=E;
(B)CBA=E;
(C)CAB=E-,(D)BAC=Eo
2.设AB为”阶方阵,则()
(A)若AJB都可逆,则A+B必可逆;
(3)若AjB都不可逆,则A+B必不可逆;
(C)若AB可逆,则A3都可逆;
(D)若AB不可逆,则AJB都不可逆。
3.已知A为口阶方阵,若有A阶方阵B使AB=A4=A贝I]()
(/)B为单位矩阵;
(B)B为零方阵;
(C)B-'
=A-,(D)不一定。
.若AB为同阶方阵,且满足AB=O,则有()
门10、
U
四、解矩阵方程X
120
=
(00IJ
51>
习题九逆矩阵
(二)
(30、
一、设矩阵A,3满足如下关系式AS=A+23,其中A=CC,求矩阵8。
23
二、设〃阶矩阵A和8满足A+3=AB,证明1)A-E为可逆矩阵;
2)AB=BAo
三、设A阶方阵/满足方程A2—3A—2E=0,求AL(A+E)T°
x1+x2+x3=O
四、用克莱姆法则求解线性方程组
4x1+2x1+x3=3
9x1-3x2+x3=28
习题十秩与初等变换
一、选择题
1.若A是“阶可逆矩阵,贝IJ()
(A)若AB=CB,则A=C(B)A总可以经过初等行变换化E。
(C)对矩阵(4石)实施若干次初等变换,当A变为E时,相应地正变为AT。
(D)对矩阵…实施若干次初等变换,当A变成E时,相应地变为AL
aIl
an
a∖3
a21
〃22
a23
2.设A=
a2∖
22
B=
%]
ai2
13
9
∖a31
〃32
a33)
Ia31+au
〃32+〃12
〃33+〃13/
(D)P2P1A=B
(A)APλP^,=B(B)AP2Pi=B(C)PiP2A=B3.设AB均为A阶非零矩阵,且AB=O,则R(A)和R(B)满足()。
(A)必有一个等于零;
(B)都等于a;
(C)一个小于A,一个等于a;
(D)都小于2
4.设阶矩阵A的秩为r,则下列结论错误的是()。
(A)A有r阶子式非零;
(B)A的所有Kl阶子式为零;
5.方程组AmX5m=0必()。
(A)无解;
(B)
仅有零解;
(C)有非零解;
二、填空题
(D)以上都不对。
1.
’0
n1ʌiθ/
01ai
10bi
a2
b2
Q3V0
b30
C3jlɪ
01Y1
10
00,
’100、
2.设A是4x3矩阵,r(A)=3,B=
230
KlJr(AB)=
√55,
0OJICI
a1bl
alb2■
■他、
3.如A=
出白
4%•
•a2bn
anb2
•anbn,
其中4,乙≠0,,,j=1,2,…贝"
(A)=
4.设A为3阶方阵,且满足42+4=石,则R(A+E)=
(a
5.已知矩阵A=ι的秩是1,则a=
UaJ
31
2-1的秩并给出力的一个最高阶非零子式。
-44,
三、用初等变换求矩阵A=1-1
[13
(32O
四、用行初等变换求矩阵
315
的逆矩阵
\323;
习题十一方程组解的判断
1.设A是mX"
矩阵,则齐次线性方程组AY=O只有零解的充要条件
是,有非零解的充要条件是O
2.设A是机X"
矩阵,则非齐次线性方程组AV=6有唯一解的充要条件是,有无穷多解的充要条件是,无解的充要条件是o
3.设力为n阶方阵,则非齐次方程组AX=6有唯一解的充要条件为Ml;
齐次线性方程组AY=O有非零解的充要条件为Ml;
只有零解的充要条件为I4o
x1+2x2+2x4+x5=0
二、求解线性方程组,-七-2x2+x3+x4=0
x1+2x2-3x3―7x4-2x5=0
玉+%2+∙⅞=O
三、取何值时,方程组<
范+b%2+%3=°
有非零解。
x1+2bx2+x3=0
λθCγ+/+%3=4-3
四、设有非齐次线性方程组x1+2x2+x3=-2,丸为何值时,此方程组有唯一解、无解或
x1+x2+Ax3=-2
无穷多解?
习题十二线性相关与线性无关
1.设%。
2,线性无关,则它的任何一个部分组线性O
2.设%。
2,…,%线性相关,则%%+1,…,4线性O
3.设有“2维列向量组4,%,…,记矩阵A=(%,%,,则%,。
2,…,4,线性相关的充分必要条件是(用矩阵的秩表示)。
4.若向量组%=(∕,-ι,-i),c2=(-1,/,-1),&
3=(-1,-Lf)线性相关,贝IJZL=。
1.已知仅可由线性表示,夕不能由4,4线性表示,则下面结论正确的是()。
(A)%能由分,。
],火线性表示,也能由4,火线性表示;
(B)%能由线性表示,但不能由4,火线性表示;
(C)%不能由分,见,火线性表示,也不能由%,4线性表示;
(D)%不能由△«
火线性表示,但能由a”4线性表示。
2.设%,。
2,。
3线性无关,则下列向量组线性相关的是()。
(A)%,%,%一/;
(B)%,%+%%+%;
(C)%+%,%+%,%+%;
(D)ax-a2.a2-a3.a3-axo
F(°
)3
三、写出向量组A:
4=O,%=1,%=1对应的矩阵,并把式子/=%—4+%写成矩
W⑴W
阵乘积的形式。
四、设%=(α,2,10)7,%=(—2,1,5尸,%=(—1,1,4)、6=(1,1]尸。
当a,b为何值时,1)β
不能由4,%,%线性表示;
2)/可以由4,4,%唯一地线性表示;
3)仅可以由4,%,%线性表示,但表示法不唯一。
五、证明设向量线性无关,4=%,q2=%+%,…,夕=%+4+…+%,则
向量组笈,凡,…,用也线性无关。
习题十三极大无关组与秩
1.能互相线性表示的两个向量组,称为向量组。
2.在向量组…,均中,若存在r(r≤a)个向量4I,%,…,%•,它们满足
①,②则称,42,…,air为向量组/,…,am的极大无关组。
3.向量组的极大无关组所含向量个数,称为o
4.任一向量组与其极大无关组是向量组。
5.设向量组A:
%,可由向量组3:
A,尸2,…,尾线性表示,则向量组A的秩
向量组8的秩;
若向量组A与向量组8等价,则它们的秩
U、
二、已知向量组A:
al=
。
2=
,。
3=
,B:
β[=
-1
小
(3;
证明向量组B能由A线性表示,但向量组A不能由3线性表示。
三、设有向量组%=(2,1,4,3),%=(-LL—6,6),%=(-1,-2,2,-9),a4=(1,1,-2,7),
%=(2,4,4,9),求该向量组的秩及其一个极大无关组,并将其余向量组用这个极大无关组线性
表TKo
四、已知«
J,%,%及才=,分2=4+2%>
分3=%+3%,
证明:
秩(%,%,%)=秩(*尸2,尸3)。
习题十四线性相关性(补充)
一、证明题
1)设%,<
,…,%,是一组“维向量,已知〃维单位坐标向量《,名,…,J能由
它们线性表示,证明多,22,…,4线性无关。
2)设%是一组〃维向量,则%。
2,…,4线性无关O任一尊维向量可用它们线性表示。
3)设AB是机X"
矩阵,且H(A)=d(3)=々,则R(A±
3)<
κ+G。
4)设名∕=1,2,…,“是一组〃维列向量,则…“线性无关=行
列式IAl=∣cr1,tz2,∙∙∙,α,,∣≠0°
习题十五向量空间、基和维数
1.设V是实数域上的向量空间,%,%/一,£
“是丫中一组向量,如果%,。
2,…,4"
满足
①;
②=则称%,。
2,…,弓”是V的一组基,基中所含向量的个数称为O
2.设%,外,…,4”是向量空间V的一组基,对于任意的aeV,α可以用…唯一地
线性表示为a=klal+k2a2+∙∙∙+kmam,称有序数组(ki,k2,∙∙∙,km)为a在基al,a2,∙∙∙,am下的。
3.设…,均与A,尸2,…,力”是向量空间V中的两组基,若它们满足
电他,,心=(%%/)A(其中A=⅝)nixm),称机阶矩阵A为°
4.设…,4,与月,四,…,仪,是向量空间V的两组基,由前一组基到后一组基的过渡矩阵
为A,αeV,且α在旧基与新基下的坐标分别为:
X=(XI,电,…,七"
)‘和F=(M,为,…,以尸贝!
∣X=°
二、检验下列集合对于向量加法与数乘运算是否是实数域R上的向量空间:
(1)={(%1,x2,x3)∣x1+x2+x3=1};
(2)V2={(x1,x2,x3)∣x1+x2+x3=0}o
三、试证明向量%=(1,1,0),%=(0,0,2),4=(2,3,2)构成后的一组基,并求出β=(5,9-2)
四、在R3中取两组基%=(1,3,5),%=(6,3,2),%=©
J,。
);
A=(3,7,1),
用=(6,0,1),分3=(2,3,5)。
求由基%,%,%到基后,月2,回的过渡矩阵和坐标变换公式。
习题十六方程组解的结构
1.设AC=O是AC=〃所对应的齐次线性方程组,则下面结论正确的是()。
(A)若=。
仅有零解,则瓜=方有唯一解;
(B)若`=6有无穷多组解,则AX=O只有零解;
(C)若`=6有无穷多组解,则AX=O有非零解;
(D)若AX=O有非零解,则心=6有无穷多组解。
2.若%,%是某非齐次线性方程组的两解向量,则()
(A)4+%是它的解向量(B)%是它的解向量(C)/+%是其对应齐次方程组的解向量(D)%-%是其对应齐次方程组的解向量
3.若氏,。
3是齐次方程组`=。
的基础解系,则下列答案中也是基础解系的为(
(A)al-a2,a2-a3,a3-ax(B)o⅛的任意三个线性组合
(C)ax,aγ-a2,al-a2-a3(D)ax,2ax,3ax
xl+x2+2x3-x4=O
二、求齐次线性方程组《2玉+0+£
-%4=O的一个基础解系,并写出相应的通解。
2x1+2x2+x3+2x4=0
三、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知名,%,人是其三个解向量,且
7=(2,L4,5),,η2+η3=(3,4,5,6),,求该方程组的通解。
4%ι+Ix2-X3=2
四、求解非齐次线性方程组3x1-x2+2x3=IOo
1Ix1+3x2=8
五、设〃*是非齐次线性方程组AX=匕的一个解,石2,…石…是其对应的齐次线性方程组的一个基础解系,证明:
Dη,ξγ,ξ1,,口_,线性无关;
2)〃*,〃*+£
〃*+42,+“•线性无关。
习题十七积、特征值与特征向量
1.以下说确的是()
A.正交向量组必定线性无关;
B.线性无关向量组必定正交;
C.正交向量组不含零向量;
D.线性无关向量组不含零向量。
2.正交矩阵的行列式为()
A.-1;
B.1;
C.O;
D.-1或1。
3.设月为正交矩阵,则下列矩阵中,不是正交矩阵(其中α是不为1的正整数)的是()
A.A^'
;
B.Ar;
C.Ak;
D.Mo
1.〃阶方阵A的不同特征值所对应的特征向量;
若4,冬,…,凡是〃阶方阵A的
〃个特征值,贝!
if4=,∏4=°
i=∖i=l
2.已知三阶矩阵A
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- 几何 线性代数 习题 0123