完整word版《高等几何》复习17181docx.docx
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《高等几何》复习题
一、填空题
1、平行四边形的仿射对应图形为:
平行四边形;
2、线坐标
(1,2,1)的直线的齐次方程为:
x1
2x2
x3
0;
3、直线3x1
2x2
0上的无穷远点坐标为:
(2,-3,0);
4、设(AB,CD)=2,则点偶
AC
调和分割点偶
BD
;
5、两个射影点列成透视的充要条件是
保持公共元素不变
;
6、写出德萨格定理的对偶命题:
三线形对应边的交点共线,则对应点连线共点。
7、两个线束点列成透视的充要条件是
底的交点自对应
8、求射影变换
'
21
0的自对应元素的参数
1
9、平面上
4个变换群,射影群、仿射群、相似群、正交群的大小关系为:
射影群包含仿射群,仿射群包含相似群,相似群包含正交群。
10、二次曲线的点坐标方程为4x1x3
x22
0,则其线坐标方程为是
u1u3u22
0.
11、经过一切透视仿射不改变的性质和数量,称为仿射不变性和仿射不变量
.
12、共线三点的简比是
仿射
不变量.
13、平面内三对对应点
(原象不共线,映射也不共线
)决定唯一
仿射变换.
14、已知OX轴上的射影变换式为
x'
2x
1
,则原点的对应点
-1
x
3
3
15、u12
u22
=0代表点
(1,1,0)、(1,-1,0)
的方程.
16、ABCD为平行四边形,过
A引AE与对角线BD平行,则A(BC,DE)=-1
17、对合由
两对不同的对应元素
唯一决定.
18、二阶曲线就是
两个射影线束对应直线交点
的全体.
19、方程u12
5u1u2
6u22
0表示的图形坐标
(1,2,0)(1,3,0)
20、罗巴切夫斯基平面上既不相交,又不平行的两直线叫做
分散
直线.
21、平行四边形的仿射对应图形为:
平行四边形
;
22、直线x1
5x2
0上无穷远点坐标为:
(5,-1,0)
23、已知(l1l2,l3l4)
3,则(l4l3,l2l1)
3
(l1l3,l2l4)
-2
24、过点A(1,
i,2)的实直线的齐次方程为:
2x1
x3
0
25、两个不同中心的射影对应线束对应直线的交点构成一条二
阶
曲线.
26、不在二阶曲线C上的点P关于C的调和共轭点的轨迹是一条直线
称为P的
极
线.
二、选择
1、下列哪个图形是仿射不变图形?
(D)
1
A.圆,B.直角三角形,C.矩形,D.平行四边形
2、u122u1u28u22=0表示(C)
A.以-1/4为方向的无穷远点和以1/2为方向的无穷远点,
B.以-4为方向的无穷远点和以2为方向的无穷远点,
C.以4为方向的无穷远点和以-2为方向的无穷远点,
D.以1/4为方向的无穷远点和以-1/2为方向的无穷远点.
3、两个不共底且不成透视的射影点列至少可以由几次透视对应组成?
(B)
A.一次,B.两次,C.三次,D.四次.
4、下面的名称或定理分别不属于仿射几何学有(A):
A.三角形的垂心,B.梯形,C.平面内无三线共点的四线有六个交点,D.椭圆
5、二次曲线按射影分类总共可分为(B)
A.4类,B.5类,C.6类,D.8类
6、设P1
(1),P2(-1),P3()为共线三点,则(P1P2P3)A.
A.1,B.2,C.3,D.4
7、已知共线四点A、B、C、D的交比(AB,CD)=2,则(CA,BD)=D.
A.-4,B-3,C.-2,D.-1
8、若共点四直线a,b,c,d的交比为(ab,cd)=-1,则交比(ad,bc)=B.
A.1,B.2,C.3,D.4
9、点坐标为(1,0,0)的方程是A.
A.u1=0,B.u2=0,C.u2=0,D.u4=0
10、证明公理体系的和谐性常用C.
A.公理法,B.反证法,C.模型法,D.演绎法
11、一点列到自身的两射影变换,其中为对合的是B
A.12,23,34;B.01,23,10
C.13,21,34;D.01,23,12
12、下列哪个名称或命题属于射影几何学(C)
A.三角形三条高线共点,B.直角三角形,C.Desargues定理,D.梯形.
13、满足条件(C)的一维射影变换必为对合变换.
A.有一个自对应点,B.有两个自对应点,
C.有两个对合点,D.有三个对合点.
14、一维射影变换f如果满足f-1=f,则称之为(A)变换.
A.对合,B.简单,C.线性,D.非奇.
三、判断
1
、仿射对应不一定保持二直线的平行性
.(×)
2
、两直线能把射影平面分成两个区域
.(√)
3
、当正负号任意选取时,齐次坐标
(1,1,
1)表示两个相异的点
.(×)
4
、若一维射影变换的一对对应元素
(非自对应元素)符合对合条件,则它一定是对合
.(√)
5
、配极变换是一种非奇线性对应
.(√)
6
、共线四点的交比是仿射不变量
.(√)
7
、平行四边形的射影对应映像仍然是平行四边形
.(×)
2
8、直线2x1x2x3
0上的三点A(1,3,1),B(2,5,1),C(1,2,0)
的单比(ABC)=0.(×)
9、共线三点的简比是射影不变量
.(×)
10、Desargues定理是自对偶命题.(×)
11、二直线所成角度是相似群不变量
.(√)
12、二维射影对应有3
对对应点唯一确定
.(×)
13、若交比(P1P3,P2P4)=2,则(P1P2,P3P4)=-1.
(√)
14、一维射影变换如果有一个自对应点则必定为对合变换
.(×)
四、计算、作图
1、求点(1,-1,0)关于二阶曲线3x12
5x22
x32
7x1x2
4x1x3
5x2x3
0的极线方程.
3
7/2
2
x1
解:
极线方程(1,-1,0)
7/2
5
5/
2x2
=0,即x13x2x3
0
2
5/2
1
x3
2、求仿射变换式使直线
x+2y-1=0上的每个点都不变,且使点
(1,-1)变为(-1,2).
解:
设所求仿射变换为
x
1xb1y
c1
y
2x
b2y
c2
在已知直线x+2y-1=0上任取两点,例如取
(1,0)、(3,-1),
在仿射变换下,此二点不变。
而点(1,-1)变为(-1,2),把它们分别代入所设仿射变换式,得
1
c1
1
3
c2
0
2
3
1
b1
c1
3
1
b1
c1
1
b2
c2
1
b2
c2
2
2
2
由以上方程联立解得:
1=2,b1
=2,c1=-1,2=-
3
b2=-2,
c2=
3
2
2
x2x
2y1
故所求的仿射变换为:
y
3x
2y
3
2
2
x1
x1
3、求射影变换x2
x2
的固定元素。
x3
x3
(
1u)x1
0
1u
0
解:
固定元素的方程为
(1
u)x2
0
特征方程为0
1
u
(1
u)x3
0
0
0
解得u=1,u=-1.
将u=-1代入固定点方程组,即得固定点为(1,0,0)
将u=1代入固定点方程组,得x1=0这一点列上的每一点都是固定点。
4、求对合对应,使得3,5分别对应与2,1.
0
0=0,即(1+u)(1-u)2=0
1u
A
EabcCd
F
B
DG
题四5图
3
解:
设所求变换为
kx′=Ax,则A=
ab
.依题
c
a
2k1
k2
35
2k1
k2
1
12k1
k2
1
=A
解得
A=
35
15
k1
k2
11
k1
k2
=
2
k1
k2
13
11
1
2
1
k
2
10
1
3
2
k
k
k
.
=
k1
k2
5k1
2
3k2
由于-2k1+k2
=3k2-5k
1,所以,可取k1
=8,k2
=14,
从而得A=
1
11
即所求变换为
1
1
x
x
11
.
x
1
5、已知线束中三直线a,b,c,求作直线d,使(ab,cd)=-1.(画图,写出作法过程和根据)
作法过程:
1.设a,b,c交于点A,在c上任取一点C,
2.过C点作两直线分别与a交于B、E,与b交于F,D,
3.BD与EF交于G,
4.AG即为所求的d.
根据:
完全四点形的调和共轭性.
6、平面上经过A(-3,2)和B(6,1)
两点的直线被直线
x+3y-6=0截于P点,求单比(ABP)
解:
设P点的坐标为(x0,yo),
Q(ABP)
AP
AP
(分割比),
而:
x0
3
6
y0
2
且P在直线x+3y-6=0上,
BP
PB
1
1
(
36
)
3(2
)
6
0,解得λ=1,
即P是AB中点,且(ABP)=-1.
1
1
7、已知仿射平面上直线
L的非齐次坐标方程为
x-2y+1=0,求
(1)
L的齐次坐标方程;
(2)L上无穷远点的坐标;
(3)L上无穷远点的方程。
(1)
x1-2x2+x3=0
(2)(1,1/2,0)
(3)u1
u2
=0
2
8、在直线上取笛氏坐标为
2,0,3的三点作为射影坐标系的
P*,P0,E,(i)求此直线上任一点
P的笛氏坐
标x与射影坐标λ的关系;(ii)问有没有一点,它的两种坐标相等?
解:
(i)由定义
λ=(P*P0,EP)=(2
0,3x)=(3
2)(x
0)
3x
x
(x
2)(3
0)
6
故:
x
,且1
0
60
3x
6
3
6
(ii)
若有一点它的两种坐标相等,即x=λ则有x
x
,即3x2-7x=0,
3x
6
7
∴当x=0及x=时两种坐标相等。
4
9、求点列上的射影变换,
它将参数为
1,2,3的点分别变为参数为
1,3,2的点,并求出此射影变换的自对
应元素的参数。
解:
设射影变换的方程为:
a
b
c
d0,由题意知:
a+bcd0,
6a2b3cd0,6a+3b+2c+d=0,
得到:
a:
b:
c:
d3:
5:
5:
7
故射影变换方程为:
3
'5
5'70
二重元素满足:
32
10
7
0
得
=7/3或=1
10、求由两个射影线束
x1
x3
0,x2
x3
0,3
0所构成的二阶曲线的方程。
解:
由题意
3,
x2
3x3
0,
由上式得
x2
x1,故所求方程即为3x1x3x2x30.
3x3
x3
11、求直线3x1
x2
6x3=0关于x12
x22
2x1x2+2x1x3-6x2x3=0之极点。
1
1
1
x10
3
解:
设P0(x10,x20,x30)
为所求,
则
1
1
3
x20
=
1
1
3
0
x30
6
x10
x20
x30
3
0
0
0
解线性方程组
0
0
0
1
x
1
x
2
x
得
x
1
3,
x
2
1,x
3
1
3
3
x10
x20
6
即(3,-1,-1)为所求极点的坐标.
12、求直线x-2y+3=0上无穷远点的坐标。
解:
化为齐次式
x-2x
2
+3x
3
=0,以x
=0代入
1
3
得
x1
2
=0,
1
2
或
2
=
1x
1
-2x
x=2x
x
2
∴
无穷远点坐标为(2,1,0)
x
7x
y
1
的不变点.
13、求仿射变换
4x
2y
y
4
x7xy1
6x
y10
1
解:
由
得
y40
解此方程,得不变点为(,2)
y4x2y4
4x
2
14、求四点(2,1,-1),(1,-1,1),(1,0,0),(1,5,-5)顺这次序的交比.
解:
以(2,1,-1)和(1,-1,1)为基底,
则(2,1,-1)+μ1(1,-1,1)相当于(1,0,0)
∴
2
1
1
1
1
1
1
0
0
得
μ
1=1
5
又(2,1,-1)+μ2(1,-1,1)相当于(1,5,-5)
∴
2
2
1
2
1
2
1
5
5
得
μ2=-
3
2
所求交比为1
2
2
3
15、试求二阶曲线的方程,它是由两个射影线束
x-λx=0与x-
x=0
(
=)所决定的.
1
3
2
3
1
2
解:
∵
=
1
将x1-λx3=0,x2-
x3=0中的,λ,
代入
(1)得
(1)
2
x1
1
x2
x3
x1
x3
x2(x1+2x3)-x3(x1-x3)=0,化简,即得所求的二阶曲线方程
x3
x1
2
x12x3
x3
x1x2
2x2x3
x1x3
x32
0
1
16、求两对对应元素,其参数为1,02,所确定的对合方程。
2
解
设所求为
a
+b(
+
)+d=0
①
将对应参数代入得:
1
a+(1+
1)b+d=0
②
2
2
(0+2)b+d=0
③
1
3
1
从①②③中消去
a,b,d得
1=0
2
2
1
0
2
即++-2=0为所求
17、给定点
A、B,作出点C,使(ABC)=4.
作法:
∵
(ABC)=
AC
4,∴
ACBC3
即
AB=3.在
BC
1
BC
1
BC
AB延长线上,作点
C,使BC=
1
AB
3
18、过定点P,作一条直线,使通过两条已知直线的不可到达的点.
作法:
(利用代沙格定理)任取线束S,设束中两条直线交
a于A,C,
交b于A′,C′;连直线PC,PC′分别交线束
S的第三条直线于B,B′;
直线BA和B′A的′交点Q与点P的连线,即为所求的直线.
6
19、如图,求作点P关于二次曲线Γ的极线.
作法:
过P点任引两直线,使与Γ分别交于A、B及C、D,
设Q=AC×BD,R=AD×BC,那么直线QR即为所求的极线.
20、已知四直线
l1,l2,l3,l4
的方程顺次为
2x1
-x2+x3=0,3x1+x2-2x3=0,
7x1-x2=0,5x1-x3=0,
求
证四直线共点,并求
(l1l2,
l3l4)的值。
2
1
1
3
1
2
解:
因为
3
1
2=0且7
1
0=0
7
1
0
5
0
1
所以l1,l2,l3,l4共点.四直线与x轴(x2=0)的交点顺次为
P
Γ
A(1,0,-2),B(2,0,3),C(0,0,1),D(1,0,5),
非齐次坐标为
题四19图
(0
1
1
2
)
1
2
1
)(
1
(l1l2,l3l4)
=(AB,CD)=
2
5
3
A(-
0),B(,0),C(0,0
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