等比数列基础习题选答案教学教材.docx
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等比数列基础习题选答案教学教材
等比数列基础习题选(答案)
参考答案与试题解析
一.选择题(共27小题)
1.(2008•浙江)已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则公比q=( )
A.
B.
﹣2
C.
2
D.
考点:
等比数列.
专题:
计算题.
分析:
根据等比数列所给的两项,写出两者的关系,第五项等于第二项与公比的三次方的乘积,代入数字,求出公比的三次方,开方即可得到结果.
解答:
解:
∵{an}是等比数列,a2=2,a5=,
设出等比数列的公比是q,
∴a5=a2•q3,
∴==,
∴q=,
故选D
点评:
本题考查等比数列的基本量之间的关系,若已知等比数列的两项,则等比数列的所有量都可以求出,只要简单数字运算时不出错,问题可解.
2.(2006•湖北)在等比数列{an}中,a1=1,a10=3,则a2a3a4a5a6a7a8a9=( )
A.
81
B.
27
C.
D.
243
考点:
等比数列.501974
分析:
由等比数列的性质知(a2a9)=(a3a8)=(a4a7)=(a5a6)=(a1a10).
解答:
解:
因为数列{an}是等比数列,且a1=1,a10=3,
所以a2a3a4a5a6a7a8a9=(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)=(a1a10)4=34=81,
故选A
点评:
本题主要考查等比数列的性质.
3.(2006•北京)如果﹣1,a,b,c,﹣9成等比数列,那么( )
A.
b=3,ac=9
B.
b=﹣3,ac=9
C.
b=3,ac=﹣9
D.
b=﹣3,ac=﹣9
考点:
等比数列.501974
分析:
由等比数列的等比中项来求解.
解答:
解:
由等比数列的性质可得ac=(﹣1)×(﹣9)=9,
b×b=9且b与奇数项的符号相同,
∴b=﹣3,
故选B
点评:
本题主要考查等比数列的等比中项的应用.
4.已知数列1,a1,a2,4成等差数列,1,b1,b2,b3,4成等比数列,则的值是( )
A.
B.
﹣
C.
或﹣
D.
考点:
等差数列的通项公式;等比数列的通项公式.501974
专题:
计算题.
分析:
由1,a1,a2,4成等差数列,利用等差数列的性质求出等差d的值,进而得到a2﹣a1的值,然后由1,b1,b2,b3,4成等比数列,求出b2的值,分别代入所求的式子中即可求出值.
解答:
解:
∵1,a1,a2,4成等差数列,
∴3d=4﹣1=3,即d=1,
∴a2﹣a1=d=1,
又1,b1,b2,b3,4成等比数列,
∴b22=b1b3=1×4=4,解得b2=±2,
又b12=b2>0,∴b2=2,
则=.
故选A
点评:
本题以数列为载体,考查了等比数列的性质,以及等差数列的性质,熟练掌握等比、等差数列的性质是解本题的关键,等比数列问题中符号的判断是易错点
5.正项等比数列{an}满足a2a4=1,S3=13,bn=log3an,则数列{bn}的前10项和是( )
A.
65
B.
﹣65
C.
25
D.
﹣25
考点:
等差数列的前n项和;等比数列的通项公式.501974
专题:
计算题.
分析:
由题意可得=a2a4=1,解得a3=1,由S3=13可得a1+a2=12,,则有a1q2=1,a1+a1q=12,解得q和a1的值,
由此得到an的解析式,从而得到bn的解析式,由等差数列的求和公式求出它的前10项和.
解答:
解:
∵正项等比数列{an}满足a2a4=1,S3=13,bn=log3an,
∴=a2a4=1,解得a3=1.
由a1+a2+a3=13,可得a1+a2=12.
设公比为q,则有a1q2=1,a1+a1q=12,解得q=,a1=9.
故an=9×=33﹣n.
故bn=log3an=3﹣n,则数列{bn}是等差数列,它的前10项和是=﹣25,
故选D.
点评:
本题主要考查等比数列的定义和性质,等比数列的通项公式,等差数列的前n项和公式的应用,求出an=33﹣n,是解题的关键,属于基础题.
6.等比数列{an}中,a6+a2=34,a6﹣a2=30,那么a4等于( )
A.
8
B.
16
C.
±8
D.
±16
考点:
等比数列的通项公式.501974
专题:
计算题.
分析:
要求a4,就要知道等比数列的通项公式,所以根据已知的两个等式左右两边相加得到a6,左右两边相减得到a2,根据等比数列的性质列出两个关于首项和公比的关系式,联立求出a和q,得到等比数列的通项公式,令n=4即可得到.
解答:
解:
设此等比数列的首项为a,公比为q,
由a6+a2=34,a6﹣a2=30两个等式相加得到2a6=64,解得a6=32;两个等式相减得到2a2=4,解得a2=2.
根据等比数列的通项公式可得a6=aq5=32①,a2=aq=2②,把②代入①得q4=16,所以q=2,代入②解得a=1,
所以等比数列的通项公式an=2n﹣1,则a4=23=8.
故选A
点评:
此题要求学生灵活运用等比数列的性质解决数学问题,会根据条件找出等比数列的通项公式.本题的关键是根据题中的已知条件得到数列的a2和a6.
7.已知数列{an}满足,其中λ为实常数,则数列{an}( )
A.
不可能是等差数列,也不可能是等比数列
B.
不可能是等差数列,但可能是等比数列
C.
可能是等差数列,但不可能是等比数列
D.
可能是等差数列,也可能是等比数列
考点:
等差关系的确定;等比关系的确定.501974
专题:
等差数列与等比数列.
分析:
由于=n2+n﹣λ,而n2+n﹣λ不是固定的常数,不满足等比数列的定义.若是等差数列,则由a1+a3=2a2,解得λ=3,此时,,显然,不满足等差数列的定义,从而得出结论.
解答:
解:
由可得=n2+n﹣λ,由于n2+n﹣λ不是固定的常数,故数列不可能是等比数列.
若数列是等差数列,则应有a1+a3=2a2,解得λ=3.
此时,,显然,此数列不是等差数列,
故选A.
点评:
本题主要考查等差关系的确定、等比关系的确定,属于中档题.
8.已知数列{an}的前n项和为Sn,若对于任意n∈N*,点Pn(n,Sn)都在直线y=3x+2上,则数列{an}( )
A.
是等差数列不是等比数列
B.
是等比数列不是等差数列
C.
是常数列
D.
既不是等差数列也不是等比数列
考点:
等比关系的确定;等差关系的确定.501974
专题:
计算题.
分析:
由点Pn(n,Sn)都在直线y=3x+2上,可得Sn=3n+2,再利用an=Sn﹣Sn﹣1求解.
解答:
解:
由题意,∵点Pn(n,Sn)都在直线y=3x+2上
∴Sn=3n+2
当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=3
当n=1时,a1=5
∴数列{an}既不是等差数列也不是等比数列
故选D
点评:
本题的考点是等比关系的确定,主要考查由前n项和求数列的通项问题,关键是利用前n项和与通项的关系.
9.(2012•北京)已知{an}为等比数列,下面结论中正确的是( )
A.
a1+a3≥2a2
B.
C.
若a1=a3,则a1=a2
D.
若a3>a1,则a4>a2
考点:
等比数列的性质.501974
专题:
探究型.
分析:
a1+a3=,当且仅当a2,q同为正时,a1+a3≥2a2成立;,所以;若a1=a3,则a1=a1q2,从而可知a1=a2或a1=﹣a2;若a3>a1,则a1q2>a1,而a4﹣a2=a1q(q2﹣1),其正负由q的符号确定,故可得结论.
解答:
解:
设等比数列的公比为q,则a1+a3=,当且仅当a2,q同为正时,a1+a3≥2a2成立,故A不正确;
,∴,故B正确;
若a1=a3,则a1=a1q2,∴q2=1,∴q=±1,∴a1=a2或a1=﹣a2,故C不正确;
若a3>a1,则a1q2>a1,∴a4﹣a2=a1q(q2﹣1),其正负由q的符号确定,故D不正确
故选B.
点评:
本题主要考查了等比数列的性质.属基础题.
10.(2011•辽宁)若等比数列an满足anan+1=16n,则公比为( )
A.
2
B.
4
C.
8
D.
16
考点:
等比数列的性质.501974
专题:
计算题.
分析:
令n=1,得到第1项与第2项的积为16,记作①,令n=2,得到第2项与第3项的积为256,记作②,然后利用②÷①,利用等比数列的通项公式得到关于q的方程,求出方程的解即可得到q的值,然后把q的值代入经过检验得到满足题意的q的值即可.
解答:
解:
当n=1时,a1a2=16①;当n=2时,a2a3=256②,
②÷①得:
=16,即q2=16,解得q=4或q=﹣4,
当q=﹣4时,由①得:
a12×(﹣4)=16,即a12=﹣4,无解,所以q=﹣4舍去,
则公比q=4.
故选B
点评:
此题考查学生掌握等比数列的性质,灵活运用等比数列的通项公式化简求值,是一道基础题.学生在求出q的值后,要经过判断得到满足题意的q的值,即把q=﹣4舍去.
11.(2010•江西)等比数列{an}中,|a1|=1,a5=﹣8a2,a5>a2,则an=( )
A.
(﹣2)n﹣1
B.
﹣(﹣2n﹣1)
C.
(﹣2)n
D.
﹣(﹣2)n
考点:
等比数列的性质.501974
专题:
计算题.
分析:
根据等比数列的性质,由a5=﹣8a2得到等于q3,求出公比q的值,然后由a5>a2,利用等比数列的通项公式得到a1大于0,化简已知|a1|=1,得到a1的值,根据首项和公比利用等比数列的通项公式得到an的值即可.
解答:
解:
由a5=﹣8a2,得到=q3=﹣8,解得q=﹣2,
又a5>a2,得到16a1>﹣2a1,解得a1>0,所以|a1|=a1=1
则an=a1qn﹣1=(﹣2)n﹣1
故选A
点评:
此题考查学生灵活运用等比数列的性质及前n项和的公式化简求值,是一道中档题.
12.已知等比数列{an}中,a6﹣2a3=2,a5﹣2a2=1,则等比数列{an}的公比是( )
A.
﹣1
B.
2
C.
3
D.
4
考点:
等比数列的性质.501974
专题:
计算题.
分析:
根据等比数列的通项公式化简已知的两等式,得到关于首项和公比的两个方程,分别记作①和②,把①提取q后,得到的方程记作③,把②代入③即可求出q的值.
解答:
解:
由a6﹣2a3=2,a5﹣2a2=1得:
,
由①得:
q(a1q4﹣2a1q)=2③,
把②代入③得:
q=2.
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