第8章非线性系统分析参考答案汇总Word文档格式.docx
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aA
aA3sin4td
t
2aA3
(
1cos2
t)2dt
12
2cos2
cos22t
d
4
cos4
(3
1cos4
t)d
8
sin2
)
sin4
32
3aA3
所以
N(A)
3aA2
A
4A
2.设拥有滞环继电器非线性特征的非线性系统构造如题图
8.1所示,已知b=1,a=0.3,
试判断系统能否存在自持振荡,若存在,则求出自持振荡的幅值和频次。
y
b
r=0
x
10
c
+
-a
0ax
-
-b
(2s1)(0.4s1)
题图8.1
拥有滞环的继电器非线性特征的描绘函数为
4b
a
j
4ab
1()
2(Aa)
其描绘函数负倒数特征为
A1(a)2
ja
(Aa)
N(A)4b
可见,描绘函数负倒数特征的虚部为常数
曲线为一条虚部为
a的直线。
a,即
因为G(s)
,所以
(2s
1)(0.4s1)
G(j)
1)(0.4j
1)
(2j
10(1
2j
)(1
0.4j
(1
2)(1
0.16
2)
2.4j
0.8
24
2)(10.16
0.162)
由以上可知,
)必有交点,并且交点为稳固的,所以会产生自持振荡。
曲线与G(j
N(A)
令
),此时有
G(j
N(A)
1(a)2
(14
将b=1,a=0.3代入可得ω=5.02rad/s,A=0.57。
所以,该系统存在自持振荡,振荡的幅值为0.57,角频次为ω=5.02rad/s。
3.设拥有死区继电器非线性特征的非线性系统构造如题图8.2所示,已知b=3,a=1。
试
剖析系统的稳固性,并求系统不产生自持振荡时a与b应知足什么关系。
r=0x
+-
s(0.5s1)(s
题图8.2
拥有死区继电器非线性特征的描绘函数为
1(a)2
Aa
其描绘函数的负倒数特征为
(A
a)
对上式求导,并令导数等于
0,可知当A
2a时,
有极大值
a。
将b=3,a=1
2b
代入,可适当A
2时,
,即
。
6
在负实轴上的最大值为
s(0.5s
1)(s
j(0.5j
1)(j
4j(1
0.5j
0.25
(10.25
令G(jω)的虚部为0,即Im[G(jω)]=
0,可得
rad/s。
将
代
入到G(jω)的实部,可得Re[G(j
)]
=
4。
所以G(jω)曲线与负实
=2
轴的交点是(
4,j0)。
因为
4小于
,所以G(jω)曲线与
曲线必有交点,如题
3解图所示。
,可得
4,解之得A1
(1)2
=4.9896,A=1.0207。
A=1.0207
小于A
,所以系统在
A2=1.0207处不稳固,而
A1=4.9896大于A
2,所以系统在
A1=4.9896处稳固,产生自持振荡。
即系统会产生自持振荡,振幅为4.9896,频次为1.414rad/s。
Im
N(A)AB
C
0Re
ω
G(jω)
题3解图
要想使系统不产生自持振荡,只要G(jω)曲线与曲线没有交点即可,即知足
a4
2b3
可得
a8
b3
当a8时,系统不会产生自持振荡。
4.拥有理想继电器非线性特征的非线性系统如题图8.3所示,已知b=1。
(1)当τ=0时,
系统遇到扰动后会出现什么样的运动形式?
(2)当τ≠0时,假如系统输出产生一个振幅为4、
角频次为1rad/s的自持振荡,求系统参数K和τ的值。
Kes
0x
s(s
1)(s
2)
题图8.3
(1)理想继电器非线性特征的描绘函数为
其负倒数特征为
将b=1代入可得
曲线为负实轴。
当τ=0时,线性部分的开环幅相频特征为
K
(j
Kj(1
)(2
2)(4
3K
2K
令G(jω)的虚部为
0,即Im[G(jω)]
=0,可得
2rad/s。
2代
)(4
入到G(jω)的实部,可得Re[G(j)]
3K
K。
所以G(jω)曲线与负实轴
的交点是(
K,j0),如题4解图所示。
B
Re
题4解图
所以G(jω)曲线与曲线必有交点,并且交点坐标与A和K值相关,并且,当A
增大时,曲线将从不稳固区进入稳固地区,所以交点为稳固点,会产生自持振荡。
所以,系统遇到扰动后会产生稳固的自持振荡。
(2)当τ≠0时,线性部分的开环幅相频特征为
Kej
因为系统要产生振幅为
4、角频次为1rad/s的自持振荡,即
ω=1rad/s。
G(j1)
1)(j1
j1(j1
所以K
,K=9.935。
又因为
G(j1)57.3
90arctan1
arctan0.5
o
180
所以τ=0.32。
5.判断如题图8.4所示的系统能否稳固,能否存在自持振荡。
AB
C0Re
ACB0Re
ωA1
G(jω)
(a)
(b)
(c)
(d)
题图8.4
(a)
G(jω)曲线与
B,但当A增大时,
由G(jω)左边进入
曲线有交点
右边,即从稳固区进入不稳固区,所以交点
B不是稳固工作点,不会产生自持振荡。
(b)G(jω)曲线与
由G(jω)
B、C。
对于B点,当A增大时,
左边稳固区进入右边不稳固区,所以交点B不是稳固工作点,不会产生自持振荡。
对于交
点C,当A增大时,
由G(jω)右边不稳固区进入左边稳固区,所以交点
C是稳固工
作点,会产生自持振荡。
(c)G(jω)曲线与
右边稳固区进入左边不稳固区,所以交点
(d)G(jω)曲线与
由G(jω)的不稳固区进
入稳固区,所以交点
B是稳固工作点,会产生自持振荡。
6.将题图8.5
所示的非线性系统化为串连形式,并求出等效的开环传达函数。
r=0
e
Ts
s
0a
题图8.5
系统构造图的简化如题
6解图所示。
ybx
Ks
Ts2K
题6解图
所以G(s)Ts2K。
7.设拥有死区继电器非线性特征的非线性系统构造如题图试用描绘函数法剖析K值与系统产生自持振荡的关系,并求频次。
ybx
-as
eKc
-Ts2K
8.6所示,已知a=1,b=3。
K=3时自持振荡的振幅和振荡
r=0
题图8.6
(a)2
2a
时,
代入,可适当
s(0.5s1)(s1)
(0.5j
Kj(1
1.5K
K(1
0.52)
0.252)(1
0,即Im[G(jω)]=
K(10.52)
0,可得
代入到G(jω)的实部,可得Re[G(j
所以G(jω)曲线与
(10.252)(1
负实轴的交点是(
K,j0),如题
7解图所示。
N(A)A
题7解图
曲线有交点时,即
)时系统产生自持振荡,
进而可
当G(jω)曲线与
得
时产生自持振荡,解之得
,所以当K
时系统会产生自持振荡。
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