江苏专用版高考数学大一轮复习第十一章统计111随机抽样教师用书理Word格式文档下载.docx
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2.(2015·
四川改编)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异,拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查,则最合理的抽样方法是__________.
答案 分层抽样法
解析 根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层抽样法.
3.
(1)某学校为了了解2016年高考数学学科的考试成绩,在高考后对1200名学生进行抽样调查,其中文科400名考生,理科600名考生,艺术和体育类考生共200名,从中抽取120名考生作为样本.
(2)从10名家长中抽取3名参加座谈会.
Ⅰ.简单随机抽样法 Ⅱ.系统抽样法 Ⅲ.分层抽样法
问题与方法配对正确的是____________.
答案
(1)Ⅲ,
(2)Ⅰ
解析 通过分析可知,对于
(1),应采用分层抽样法,对于
(2),应采用简单随机抽样法.
4.将参加英语口语测试的1000名学生编号为000,001,002,…,999,从中抽取一个容量为50的样本,按系统抽样的方法分为50组,如果第一组编号为000,001,002,…,019,且第一组随机抽取的编号为015,则抽取的第35个编号为________.
答案 695
解析 由题意可知,第一组随机抽取的编号l=15,
分段间隔数k=
=
=20,则抽取的第35个编号为15+(35-1)×
20=695.
5.某学校高一,高二,高三年级的学生人数之比为3∶3∶4,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取________名学生.
答案 15
解析 设应从高二年级抽取x名学生,则x∶50=3∶10,解得x=15.
题型一 简单随机抽样
例1
(1)以下抽样方法是简单随机抽样的有________.
①在某年明信片销售活动中,规定每100万张为一个开奖组,通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖;
②某车间包装一种产品,在自动包装的传送带上,每隔30分钟抽一包产品,称其重量是否合格;
③某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见;
④用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验.
(2)总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为________.
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
答案
(1)④
(2)01
解析
(1)①、②不是简单随机抽样,因为抽取的个体间的间隔是固定的;
③不是简单随机抽样,因为总体的个体有明显的层次;
④是简单随机抽样.
(2)由题意知前5个个体的编号为08,02,14,07,01.
思维升华 应用简单随机抽样应注意的问题
(1)一个抽样试验能否用抽签法,关键看两点:
一是抽签是否方便;
二是号签是否易搅匀.一般地,当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法.
(2)在使用随机数表法时,如遇到三位数或四位数,可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起,每三个或四个作为一个单位,自左向右选取,有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去.
(1)下列抽样试验中,适合用抽签法的有________.
①从某厂生产的5000件产品中抽取600件进行质量检验;
②从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验;
③从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验;
④从某厂生产的5000件产品中抽取10件进行质量检验.
(2)下列抽取样本的方式不属于简单随机抽样的有________________.
①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本;
②盒子里共有80个零件,从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时,从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里;
③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验;
④某班有56名同学,指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛.
答案
(1)②
(2)①②③④
解析
(1)①、④中的总体个体数较多,不适宜抽签法,③中甲、乙两厂的产品质量有区别,也不适宜抽签法.②是简单随机抽样.
(2)①不是简单随机抽样.
②不是简单随机抽样.由于它是放回抽样.
③不是简单随机抽样.因为这是“一次性”抽取,而不是“逐个”抽取.
④不是简单随机抽样.因为指定个子最高的5名同学是56名中特指的,不存在随机性,不是等可能抽样.
题型二 系统抽样
例2
(1)(2015·
湖南改编)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:
分钟)的茎叶图如图所示
若将运动员按成绩由好到差编为1~35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________.
(2)某单位有840名职工,现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720]的人数为________.
答案
(1)4
(2)12
解析
(1)由题意知,将1~35号分成7组,每组5名运动员,成绩落在区间[139,151]的运动员共有4组,故由系统抽样法知,共抽取4名.
(2)由
=20,即每20人抽取1人,所以抽取编号落在区间[481,720]的人数为
=12.
引申探究
1.本例
(2)中条件不变,若第三组抽得的号码为44,则在第八组中抽得的号码是________.
答案 144
解析 在第八组中抽得的号码为(8-3)×
20+44=144.
2.本例
(2)中条件不变,若在编号为[481,720]中抽取8人,则样本容量为________.
答案 28
解析 因为在编号[481,720]中共有720-480=240人,又在[481,720]中抽取8人,
所以抽样比应为240∶8=30∶1,又因为单位职工共有840人,所以应抽取的样本容量为
=28.
思维升华
(1)系统抽样适用的条件是总体容量较大,样本容量也较大.
(2)使用系统抽样时,若总体容量不能被样本容量整除,可以先从总体中随机地剔除几个个体,从而确定分段间隔.
(3)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法,一旦起始编号确定,其他编号便随之确定.
(1)(2016·
南京模拟)高三
(1)班有学生52人,现将所有学生随机编号,用系统抽样方法,抽取一个容量为4的样本,已知5号、31号、44号学生在样本中,则样本中还有一个学生的编号是________.
(2)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,…,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷A,编号落入区间[451,750]的人做问卷B,其余的人做问卷C.则抽到的人中,做问卷B的人数为________.
答案
(1)18
(2)10
解析
(1)分段间隔为
=13,故还有一个学生的编号为5+13=18.
(2)由系统抽样的特点知:
抽取号码的间隔为
=30,抽取的号码依次为9,39,69,…,939.落入区间[451,750]的有459,489,…,729,这些数构成首项为459,公差为30的等差数列,设有n项,显然有729=459+(n-1)×
30,解得n=10.所以做问卷B的有10人.
题型三 分层抽样
命题点1 求总体或样本容量
例3
(1)(2016·
苏北四市联考)某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品,产品数量之比为3∶5∶7,现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本,其中甲种产品有18件,则样本容量n=________.
(2)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测.若样本中有50件产品由甲设备生产,则乙设备生产的产品总数为________件.
答案
(1)90
(2)1800
解析
(1)依题意得
×
n=18,解得n=90,即样本容量为90.
(2)分层抽样中各层的抽样比相同.样本中甲设备生产的产品有50件,则乙设备生产的产品有30件.在4800件产品中,甲、乙设备生产的产品总数比为5∶3,所以乙设备生产的产品的总数为1800件.
命题点2 求某层入样的个体数
例4 (2015·
北京)某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本中的老年教师人数为________.
类别
人数
老年教师
900
中年教师
1800
青年教师
1600
合计
4300
(2)(2015·
福建)某校高一年级有900名学生,其中女生400名.按男女比例用分层抽样的方法,从该年级学生中抽取一个容量为45的样本,则应抽取的男生人数为________.
答案
(1)180
(2)25
解析
(1)由题意抽样比为
,
∴该样本中的老年教师人数为900×
=180.
(2)由题意知,男生共有500名,根据分层抽样的特点,在容量为45的样本中男生应抽取的人数为45×
=25.
思维升华 分层抽样问题类型及解题思路
(1)求某层应抽个体数量:
按该层所占总体的比例计算.
(2)已知某层个体数量,求总体容量或反之:
根据分层抽样就是按比例抽样,列比例式进行计算.
(3)确定是否应用分层抽样:
分层抽样适用于总体中个体差异较大的情况.
(1)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为________.
(2)某公司共有1000名员工,下设若干部门,现采用分层抽样方法,从全体员工中抽取一个样本容量为80的样本,已告知广告部门被抽取了4个员工,则广告部门的员工人数为________.
答案
(1)200,20
(2)50
解析
(1)该地区中小学生总人数为
3500+2000+4500=10000,
则样本容量为10000×
2%=200,其中抽取的高中生近视人数为2000×
2%×
50%=20.
(2)
,x=50.
五审图表找规律
典例 (14分)某单位有2000名职工,老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中,如下表所示:
管理
技术开发
营销
生产
共计
老年
40
80
200
中年
120
160
240
600
青年
280
720
1200
320
480
1040
2000
(1)若要抽取40人调查身体状况,则应怎样抽样?
(2)若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会,则应怎样抽选出席人?
(3)若要抽20人调查对广州亚运会举办情况的了解,则应怎样抽样?
抽取40人调查身体状况
↓(观察图表中的人数分类统计情况)
样本人群应受年龄影响
↓(表中老、中、青分类清楚,人数确定)
要以老、中、青分层,用分层抽样
↓
要开一个25人的座谈会
↓(讨论单位发展与薪金调整)
样本人群应受管理、技术开发、营销、生产方面的影响
↓(表中管理、技术开发、营销、生产分类清楚,人数确定)
要以管理、技术开发、营销、生产人员分层,用分层抽样
要抽20人调查对广州亚运会举办情况的了解
↓可认为亚运会是大众体育盛会,一个单位人员对情,况了解相当
将单位人员看作一个整体
↓(从表中数据看总人数为2000)
人员较多,可采用系统抽样
规范解答
解
(1)按老年、中年、青年分层,用分层抽样法抽取,[1分]
抽取比例为
.[3分]
故老年人、中年人、青年人各抽取4人、12人、24人.[5分]
(2)按管理、技术开发、营销、生产分层,用分层抽样法抽取,[6分]
,[8分]
故管理、技术开发、营销、生产各部门抽取2人、4人、6人、13人.[10分]
(3)用系统抽样,
对全部2000人随机编号,号码从0001~2000,每100号分为一组,从第一组中用简单随机抽样抽取一个号码,然后将这个号码分别加100,200,…,1900,共20人组成一个样本.
[14分]
1.某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有30名,高二年级有40名.现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了6名,则在高二年级的学生中应抽取的人数为________.
答案 8
解析 设样本容量为N,则N×
=6,∴N=14,
∴高二年级所抽学生人数为14×
=8.
2.(2017·
扬州月考)打桥牌时,将洗好的扑克牌(52张)随机确定一张为起始牌后,开始按次序搬牌,对任何一家来说,都是从52张总体抽取一个13张的样本.这种抽样方法是______________.
答案 系统抽样
解析 符合系统抽样的特点,故是系统抽样.
3.(2016·
南京、盐城联考)某校高一年级有学生400人,高二年级有学生360人,现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出55人,其中从高一年级学生中抽出20人,则从高三年级学生中抽取的人数为________.
答案 17
解析 由题意可得从高二年级学生中抽出的人数为
360=18,故从高三年级学生中抽取的人数为55-20-18=17.
4.用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本,将160名学生随机地从1~160进行编号,并按编号顺序平均分成20组(1~8号,9~16号,…,153~160号),若按等距的规则从第16组抽出的号码为126,则第1组中用抽签法确定的号码是________.
答案 6
解析 第1组中用抽签法确定的号码是126-15×
8=6.
5.(2016·
镇江模拟)将某班的60名学生编号为01,02,…,60,采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本,且随机抽得的一个号码为04,则剩下的四个号码依次是______________.
答案 16,28,40,52
解析 编号组数为5,间隔为
=12,
因为在第一组抽得04号:
又4+12=16,16+12=28,28+12=40,40+12=52,
所以其余4个号码为16,28,40,52.
6.将参加夏令营的600名学生编号为001,002,…,600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本,且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区,从001到300在第Ⅰ营区,从301到495在第Ⅱ营区,从496到600在第Ⅲ营区,三个营区被抽中的人数依次为__________________.
答案 25,17,8
解析 由题意及系统抽样的定义可知,将这600名学生按编号依次分成50组,每一组各有12名学生,第k(k∈N*)组抽中的号码是3+12(k-1).
令3+12(k-1)≤300得k≤
,因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25;
令300<
3+12(k-1)≤495得
<
k≤42,因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42-25=17.
7.(2016·
山西大同一中月考)用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中,抽取一个容量为3的样本,其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是__________.
答案
解析 在抽样过程中,个体a每一次被抽中的概率是相等的,因为总体容量为10,故个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为
.
8.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查,已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6,则应从一年级本科生中抽取________名学生.
答案 60
解析 设应从一年级本科生中抽取x名学生,则
,解得x=60.
9.某高中在校学生有2000人.为了响应“阳光体育运动”的号召,学校开展了跑步和登山的比赛活动.每人都参与而且只能参与其中一项比赛,各年级参与比赛的人数情况如下表:
高一年级
高二年级
高三年级
跑步
a
b
c
登山
x
y
z
其中a∶b∶c=2∶3∶5,全校参与登山的人数占总人数的
.为了了解学生对本次活动的满意程度,从中抽取一个200人的样本进行调查,则从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为________.
答案 36
解析 根据题意,可知样本中参与跑步的人数为200×
=120,所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为120×
=36.
10.一个总体中有90个个体,随机编号0,1,2,…,89,以从小到大的编号顺序平均分成9个小组,组号依次为1,2,3,…,9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本,规定如果在第1组随机抽取的号码为m,那么在第k组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同,若m=8,则在第8组中抽取的号码是________.
答案 76
解析 由题意知m=8,k=8,则m+k=16,也就是第8组抽取的号码个位数字为6,十位数字为8-1=7,故抽取的号码为76.
11.200名职工年龄分布如图所示,从中随机抽取40名职工作样本,采用系统抽样方法,按1~200编号,分为40组,分别为1~5,6~10,…,196~200,第5组抽取号码为22,第8组抽取号码为________.若采用分层抽样,40岁以下年龄段应抽取________人.
答案 37 20
解析 将1~200编号分为40组,则每组的间隔为5,其中第5组抽取号码为22,则第8组抽取的号码应为22+3×
5=37;
由已知条件200名职工中40岁以下的职工人数为200×
50%=100,设在40岁以下年龄段中应抽取x人,则
,解得x=20.
12.某校共有学生2000名,各年级男、女学生人数如下表.已知在全校学生中随机抽取1名,抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生,则应在三年级抽取的学生人数为________.
一年级
二年级
三年级
女生
373
男生
377
370
答案 16
解析 依题意可知二年级的女生有380人,那么三年级的学生人数应该是2000-373-377-380-370=500,即总体中各个年级的人数比为3∶3∶2,故用分层抽样法应在三年级抽取的学生人数为64×
=16.
13.某公路设计院有工程师6人,技术员12人,技工18人,要从这些人中抽取n个人参加市里召开的科学技术大会.如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取,不用剔除个体,如果参会人数增加1个,则在采用系统抽样时,需要在总体中先剔除1个个体,求n.
解 总体容量为6+12+18=36.
当样本容量是n时,由题意知,系统抽样的间隔为
分层抽样的比例是
,抽取的工程师人数为
6=
技术员人数为
12=
,技工人数为
18=
所以n应是6的倍数,36的约数,即n=6,12,18.
当样本容量为(n+1)时,总体容量是35人,系统抽样的间隔为
,因为
必须是整数,所以n只能取6.即样本容量n=6.
*14.某公司有一批专业技术人员,对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查,其结果(人数分布)如下表:
学历
35岁以下
35~50岁
50岁以上
本科
30
20
研究生
(1)用分层抽样的方法在35~50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2人,求至少有1人学历为研究生的概率;
(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人,其中35岁以下48人,50岁以上10人,再从这N个人中随机抽取出1人,此人的年龄为50岁以上的概率为
,求x,y的值.
解
(1)用分层抽样的方法在35~50岁中抽取一个容量为5的样本,设抽取学历为本科的人数为m,
∴
,解得m=3.
抽取的样本中有研究生2人,本科生3人,分别记作S1,S2;
B1,B2,B3.
从中任取2人的所有等可能基本事件共有10个:
(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3),(S2,B1),(S2,B2),(S2,B3),(S1,S2),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个:
(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3),(S2,B1),(S2,B2),(S2,B3),(S1,S2),
∴从中任取2人,至少有1人学历为研究生的概率为
(2)由题意,得
,解得N=78,
∴35~50岁中被抽取的人数为78-48-10=20,
,
解得x=40,y=5
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