中考数学圆的综合综合经典题附答案docWord下载.docx
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∴CG⊥x轴,
∴CG∥AF,∵∠BAG=90,°
∴AG⊥AB,∵CE⊥AB,
∴AG∥CE,
∴四边形AFCG为平行四边形,
∴AF=CG=4.
【点睛】
本题考查的是垂径定理、圆周角定理、直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质,根据题意作出辅助线是解答此题的关键.
2.如图1,已知扇形
MON的半径为
2,∠MON=90°
,点B在弧MN上移动,联结
BM,
作OD⊥BM,垂足为点
D,C为线段
OD上一点,且OC=BM,联结BC并延长交半径
OM于
点A,设OA=x,∠COM的正切值为y.
(1)如图2,当AB⊥OM时,求证:
AM=AC;
(2)求y关于x的函数关系式,并写出定义域;
(3)当△OAC为等腰三角形时,求x的值.
x
.(0x2);
(3)x
142.
(1)证明见解析;
(2)y
x2
分析:
(1)先判断出∠ABM=∠DOM,进而判断出△OAC≌△BAM,即可得出结论;
(2)先判断出
BD=DM,进而得出
DM
ME
x),再判断出
BD
AE
,进而得出AE=(2
OAOC2DM
,即可得出结论;
OEODOD
(3)分三种情况利用勾股定理或判断出不存在,即可得出结论.详解:
(1)∵OD⊥BM,AB⊥OM,∴∠ODM=∠BAM=90°
.∵∠ABM+∠M=∠DOM+∠M,∴∠ABM=∠DOM.
∵∠OAC=∠BAM,OC=BM,∴△OAC≌△BAM,∴AC=AM.
(2)如图2,过点D作DE∥AB,交OM于点E.
∵OB=OM,OD⊥BM,∴BD=DM.
∵DE∥AB,∴
,∴AE=EM.∵OM=
x).
2,∴AE=(2
OA
OC
2DM
OE
OD
∴DM
OA,y
.(
0<x
2)
2OE
(3)(i)当OA=OC时.∵DM
1BM
1OC
1x.在Rt△ODM中,
OM2
DM2
1x2
.
4
1x
∵y
.解得x
14
2,或x
142(舍).
(ii)当AO=AC时,则∠AOC=∠ACO.∵∠ACO>∠COB,∠COB=∠AOC,∴∠ACO>
∠AOC,∴此种情况不存在.
(ⅲ)当CO=CA时,则∠COA=∠CAO=α.∵∠CAO>∠M,∠M=90°
﹣α,∴α>90°
﹣α,∴α>45°
,∴∠BOA=2α>90°
.∵∠BOA≤90,°
∴此种情况不存在.
即:
当△OAC为等腰三角形时,
x的值为
142.
点睛:
本题是圆的综合题,主要考查了相似三角形的判定和性质,圆的有关性质,勾股定
理,等腰三角形的性质,建立y关于x的函数关系式是解答本题的关键.
3.如图,AB为⊙O的直径,AC为⊙O的弦,AD平分∠BAC,交⊙O于点D,DE⊥AC,交AC的延长线于点E.
(1)判断直线DE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若AE=8,⊙O的半径为5,求DE的长.
(1)直线DE与⊙O相切
(2)4
试题分析:
(
1)连接OD,∵AD平分∠BAC,∴
EAD=OAD,∵OA=OD,
∴
ODA=
OAD,
ODA=EAD,
,又
∵
点
∴EA∥OD
∵DE⊥EA
∴DE⊥OD
D在⊙O上,∴直线DE与⊙O相切
(2)
如图1,作DF⊥AB,垂足为F,∴DFA=DEA=90,
∵EAD=FAD,AD=AD,∴△EAD≌△FAD,∴AF=AE=8,DF=DE,
∵OA=OD=5,∴OF=3,在Rt△DOF中,DF=OD2OF2=4,∴AF=AE=8
考点:
切线的证明,弦心距和半径、弦长的关系
点评:
本题难度不大,第一小题通过内错角相等相等证明两直线平行,再由两直线平行推出同旁内角相等.第二小题通过求出两个三角形全等,从而推出对应边相等,接着用弦心距和弦长、半径的计算公式,求出半弦长.
4.如图,点P是正方形ABCD内的一点,连接PA,PB,PC.将△PAB绕点B顺时针旋转
90°
到△P'
CB的位置.
(1)设AB的长为a,PB的长为b(b<
a),求△PAB旋转到△P'
CB的过程中边PA所扫过区域(图中阴影部分)的面积;
(2)若PA=2,PB=4,∠APB=135°
,求PC的长.
【答案】
(1)S阴影=(a2-b2);
(2)PC=6.
(1)依题意,将△P′CB逆时针旋转90°
可与△PAB重合,此时阴影部分面积=扇
形BAC的面积-扇形BPP'
的面积,根据旋转的性质可知,两个扇形的中心角都是90°
,可据
此求出阴影部分的面积.
(2)连接PP'
,根据旋转的性质可知:
BP=BP'
,旋转角∠PBP'
=90°
,则△PBP'
是等腰直角三角形,∠BP'
C=∠BPA=135°
,∠PP'
C=∠BP'
C-∠BP'
P=135°
-45°
,可推出△PP'
C是直角三角
形,进而可根据勾股定理求出PC的长.
试题解析:
(1)∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°
到△P′CB的位置,∴△PAB≌△P'
CB,
∴S△PAB=S△P'
S阴影=S扇形BAC-S扇形BPP′=(a2-b2);
(2)连接PP′,根据旋转的性质可知:
△APB≌△CP′B,
∴BP=BP′,=4P′C=PA=2,∠PBP′=90,°
∴△PBP'
是等腰直角三角形,P'
P2=PB2+P'
B2=32;
又∵∠BP′C=∠BPA=135°
∴∠PP′∠C=BP′C-∠BP′P=135-45°
,°
即△PP′C是直角三角形.
PC==6.
1.扇形面积的计算;
2.正方形的性质;
3.旋转的性质.
5.四边形ABCD的对角线交于点E,且AE=EC,BE=ED,以AD为直径的半圆过点E,圆心为O.
(1)如图①,求证:
四边形ABCD为菱形;
(2)如图②,若BC的延长线与半圆相切于点F,且直径AD=6,求弧AE的长.
(1)见解析;
(2)
π
(1)先判断出四边形ABCD是平行四边形,再判断出AC⊥BD即可得出结论;
(2)先判断出AD=DC且DE⊥AC,∠ADE=∠CDE,进而得出∠CDA=30°
,最后用弧长公式即可得出结论.
证明:
(1)∵四边形ABCD的对角线交于点E,且AE=EC,BE=ED,∴四边形
ABCD是平行四边形.∵以AD为直径的半圆过点E,∴∠AED=90°
,即有AC⊥BD,∴四边
形ABCD是菱形;
(2)由
(1)知,四边形ABCD是菱形,∴△ADC为等腰三角形,∴AD=DC且DE⊥AC,∠ADE=∠CDE.如图2,过点C作CG⊥AD,垂足为G,连接FO.∵BF切圆O于点F,
∴OF⊥AD,且OF1AD3,易知,四边形CGOF为矩形,∴CG=OF=3.
在Rt△CDG中,CD=AD=6,sin∠ADC=CG=1,∴∠CDA=30°
,∴∠ADE=15°
CD
?
30
3
连接OE,则∠AOE=2×
∠ADE=30°
,∴AE
180
本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质,熟练掌握其判定与性质并结合题意加以灵活运用是解题的关键.
6.如图,在⊙O中,直径AB⊥弦CD于点E,连接AC,BC,点F是BA延长线上的一点,且∠FCA=∠B.
(1)求证:
CF是⊙O的切线;
(2)若AE=4,tan∠ACD=
,求AB和FC的长.
(1)见解析;
(2)⑵AB=20,CF
40
1)连接OC,根据圆周角定理证明
OC⊥CF即可;
(2)通过正切值和圆周角定理,以及∠FCA=∠B求出CE、BE的长,即可得到AB长,然
后根据直径和半径的关系求出OE的长,再根据两角对应相等的两三角形相似(或射影定
理)证明△OCE∽△CFE,即可根据相似三角形的对应线段成比例求解.
详解:
⑴证明:
连结OC
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°
∴∠B+∠BAC=90°
∵OA=OC
∴∠BAC=∠OCA
∵∠B=∠FCA
∴∠FCA+∠OCA=90°
即∠OCF=90°
∵C在⊙O上
∴CF是⊙O的切线
⑵∵AE=4,tan∠ACD
AE1
EC2
∴CE=8
∵直径AB⊥弦CD于点E
∴?
?
ADAC
∵∠FCA=∠B
∴∠B=∠ACD=∠FCA
∴∠EOC=∠ECA
∴tan∠B=tan∠ACD=CE=1
BE2
∴BE=16
∴AB=20
∴OE=AB÷
2-AE=6
∵CE⊥AB
∴∠CEO=∠FCE=90°
∴△OCE∽△CFE
∴OCOECFCE
即10=6CF8
∴CF
此题主要考查了圆的综合知识,关键是熟知圆周角定理和切线的判定与性质,结合
相似三角形的判定与性质和解直角三角形的知识求解,利用数形结合和方程思想是解题的
突破点,有一定的难度,是一道综合性的题目.
7.某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂,维修人员为更换管道,需要确定管道圆形截
面的半径.如图,若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm,水最深的地方的高度为
4cm,求这个圆形截面的半径.
【答案】10cm
先过圆心O作半径CO⊥AB,交AB于点D设半径为r,得出AD、OD的长,在
Rt△AOD中,根据勾股定理求出这个圆形截面的半径.
解:
过点O作OC⊥AB于D,交⊙O于C,连接OB,
∵OC⊥AB
11
∴BD=AB=×
16=8cm
22
由题意可知,CD=4cm
∴设半径为xcm,则OD=(x﹣4)cm
在Rt△BOD中,
由勾股定理得:
OD2+BD2=OB2
(x﹣4)2+82=x2
解得:
x=10.
答:
这个圆形截面的半径为10cm.
此题考查了垂经定理和勾股定理,关键是根据题意画出图形,再根据勾股定理进行求解.
8.如图.在△ABC中,∠C=90°
,AC=BC,AB=30cm,点P在AB上,AP=10cm,点E从点P出发沿线段PA以2cm/s的速度向点A运动,同时点F从点P出发沿线段PB以1cm/s的速度向点B运动,点E到达点A后立刻以原速度沿线段AB向点B运动,在点E、F运动过程
中,以EF为边作正方形EFGH,使它与△ABC在线段AB的同侧,设点E、F运动的时间为t(s)(0<t<20).
(1)当点H落在AC边上时,求t的值;
(2)设正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S.①试求S关于t的函数表达式;
②以
点C为圆心,1t为半径作⊙C,当⊙C与GH所在的直线相切时,求此时S的值.
9t2?
(0
t
2)
(1)t=2s或10s;
(2)①S=
7t2
50t50(2
10)
t2
40t
400?
(10
20)
;
②100cm2.
(1)如图1中,当0<t≤5时,由题意AE=EH=EF,即10﹣2t=3t,t=2;
如图2中,当5<t<20时,AE=HE,2t﹣10=10﹣(2t﹣10)+t,t=10;
(2)分四种切线讨论a、如图3中,当0<t≤2时,重叠部分是正方形EFGH,S=(3t)
2=9t2.b、如图4中,当2<t≤5时,重叠部分是五边形EFGMN.c、如图5中,当5<t<
10时,重叠部分是五边形EFGMN.d、如图6中,当10<t<20时,重叠部分是正方形
EFGH.分别计算即可;
②分两种情形分别列出方程即可解决问题.
(1)如图1中,当0<t≤5时,由题意得:
AE=EH=EF,即10﹣2t=3t,t=2
如图2中,当5<t<20时,AE=HE,2t﹣10=10﹣(2t﹣10)+t,t=10.
综上所述:
t=2s或10s时,点H落在AC边上.
(2)①如图3中,当0<t≤2时,重叠部分是正方形EFGH,S=(3t)2=9t2
如图4中,当2<t≤5时,重叠部分是五边形EFGMN,S=(3t)2﹣1(5t﹣10)2=﹣
7
t2+50t﹣50.
如图5中,当5<t<10时,重叠部分是五边形EFGMN,S=(20﹣t)2﹣1(30﹣3t)2=﹣
7t2+50t﹣50.
如图6中,当10<t<20时,重叠部分是正方形EFGH,S=(20﹣t)2=t2﹣40t+400.
9t2?
S=
7t2
50t
50(2
10).
t2
②如图7中,当
0<t≤5时,
t+3t=15,解得:
t=
30,此时S=100cm2,当5<t<20时,
27
t+20﹣t=15,解得:
t=10,此时S=100.
当⊙C与GH所在的直线相切时,求此时S的值为100cm2
本题考查了圆综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、切线的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,注意不能漏解,属于中考压轴题.
9.阅读下列材料:
如图1,⊙O1和⊙O2外切于点C,AB是⊙O1和⊙O2外公切线,A、B为切点,求证:
AC⊥BC
过点C作⊙O1和⊙O2的内公切线交AB于D,
∵DA、DC是⊙O1的切线
∴DA=DC.
∴∠DAC=∠DCA.
同理∠DCB=∠DBC.
又∵∠DAC+∠DCA+∠DCB+∠DBC=180°
∴∠DCA+∠DCB=90.°
即AC⊥BC.
根据上述材料,解答下列问题:
(1)在以上的证明过程中使用了哪些定理?
请写出两个定理的名称或内容;
(2)以AB所在直线为x轴,过点C且垂直于AB的直线为y轴建立直角坐标系(如图
2),已知A、B两点的坐标为(﹣4,0),(1,0),求经过A、B、C三点的抛物线y=ax2+bx+c的函数解析式;
(3)根据
(2)中所确定的抛物线,试判断这条抛物线的顶点是否落在两圆的连心
O1O2
上,并说明理由.
(1
)见解析;
2)y
x2;
(3)见解析
1)由切线长相等可知用了切线长定理;
由三角形的内角和是
180°
,可知用
了三角形内角和定理;
(2)先根据勾股定理求出
C点坐标,再用待定系数法即可求出经过
A、B、C三点的抛物
线的函数解析式;
(3)过C作两圆的公切线,交
AB于点D,由切线长定理可求出
D点坐标,根据C,D
两点的坐标可求出过C,D两点直线的解析式,根据过一点且互相垂直的两条直线解析式的
关系可求出过两圆圆心的直线解析式,再把抛物线的顶点坐标代入直线的解析式看是否适
合即可.
(1)DA、DC是eO1的切线,
∴DA=DC.应用的是切线长定理;
DACDCA
DCB
DBC180o,应用的是三角形内角和定理.
(2)设C点坐标为(0,y),则AB2
AC2
BC2,
y2,
即41
4y212
即25172y2,解得y=2(舍去)或y=-2.
故C点坐标为(0,-2),
设经过A、B、C三点的抛物线的函数解析式为
yax2
bxc,
a
16a
4b
c
则ab
解得b
2,
c2
故所求二次函数的解析式为y
3x2.
(3)过C作两圆的公切线
CD交AB于D,则AD=BD=CD,由A(-4,0),B(1,0)可知D(
3,0),
设过CD两点的直线为y=kx+b,则
3k
b
k
解得
2,
故此一次函数的解析式为y
4x
∵过O1,O2
的直线必过C点且与直线y
2垂直,
故过O1,O2的直线的解析式为
y
3x
由
(2)中所求抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为
3,
25),
8
25
O1O2上.
代入直线解析式得
故这条抛物线的顶点落在两圆的连心
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