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=i*2;
whiIej<
50000do
begin{筛选法}p[j]:
inc(j,i);
inc(i);
l:
=0;
fori:
=1to50000doifp[i]thenbegininc(l);
pr[l]:
=i;
{getprime}
functionprime(x:
longint):
boolean;
vari:
beginprime:
=1toldoifpr[i]>
=xthenbreakelseifxmodpr[i]=0thenexit;
{prime}
二、图论算法1.最小生成树
A.Prim算法:
procedureprim(v0:
integer);
var
lowcost,closest:
array[1..maxn]ofinteger;
i,j,k,min:
beginfori:
=1tondobeginlowcost:
=cost[v0,i];
closest:
=v0;
=1ton-1dobegin
{寻找离生成树最近的未加入顶点k}min:
=maxlongint;
forj:
=1tondo
if(lowcost[j]<
min)and(lowcost[j]<
>
0)thenbeginmin:
=lowcost[j];
k:
=j;
lowcost[k]:
{将顶点k加入生成树}
{生成树中增加一条新的边k到closest[k]}
{修正各点的lowcost和closest值}
ifcost[k,j]<
lwocost[j]thenbegin
lowcost[j]:
=cost[k,j];
closest[j]:
=k;
{prim}
B.Kruskal算法:
(贪心)按权值递增顺序删去图中的边,若不形成回路则将此边加入最小生成树。
functionfind(v:
{返回顶点v所在的集合}
vari:
=1;
while(i<
=n)and(notvinvset)doinc(i);
ifi<
=nthenfind:
=ielsefind:
procedurekruskal;
tot,i,j:
=1tondovset:
=;
{初始化定义n个集合,第I个集合包含一个元素I}p:
=n-1;
q:
tot:
{p为尚待加入的边数,q为边集指针}sort;
e.len
{对所有边按权值递增排序,存于e中,e.vl与e.v2为边I所连接的两个顶点的序号,
为第I条边的长度}
whilep>
0dobegini:
=find(e[q].v1);
=find(e[q].v2);
ifi<
jthenbegin
inc(tot,e[q].len);
vset:
=vset+vset[j];
vset[j]:
=[];
dec(p);
inc(q);
writeln(tot);
2.最短路径
A.标号法求解单源点最短路径:
a:
array[1..maxn,1..maxn]ofinteger;
b:
{b指顶点i到源点的最短路径}mark:
array[1..maxn]ofboolean;
procedurebhf;
best,best_j:
fillchar(mark,sizeof(mark),false);
mark[1]:
b[1]:
{1为源点}
repeat
best:
Ifmarkthen{对每一个已计算出最短路径的点}
if(notmark[j])and(a[i,j]>
0)then
if(best=0)or(b+a[i,j]<
best)thenbegin
=b+a[i,j];
best_j:
ifbest>
0thenbegin
b[best_j]:
=best;
mark[best_j]:
untilbest=0;
{bhf}
B.Floyed算法求解所有顶点对之间的最短路径:
procedurefloyed;
j的前驱结点}
ifa[l,j]>
0thenp[l,j]:
=lelsep[l,j]:
=O;
{p[l,j]表示I到j的最短路径上
fork:
=1tondo{枚举中间结点}
ifa[i,k]+a[j,k]<
a[i,j]thenbegin
a[i,j]:
=a[i,k]+a[k,j];
p[l,j]:
=p[k,j];
C.Dijkstra算法:
b,pre:
{pre指最短路径上I的前驱结点}mark:
proceduredijkstra(v0:
=1tondobegin
d:
=a[v0,i];
ifd<
0thenpre:
=v0elsepre:
mark[v0]:
repeat{每循环一次加入一个离1集合最近的结点并调整其他结点的参数}min:
=maxint;
u:
{u记录离1集合最近的结点}
if(notmark)and(d<
min)thenbegin
u:
min:
=d;
ifu<
mark[u]:
if(notmark)and(a[u,i]+d[u]<
d)thenbegin
=a[u,i]+d[u];
pre:
=u;
untilu=0;
3.计算图的传递闭包
ProcedureLonglink;
Var
T:
array[1..maxn,1..maxn]ofboolean;
Begin
Fillchar(t,sizeof(t),false);
Fork:
ForI:
Forj:
=1tondoT[I,j]:
=t[I,j]or(t[I,k]andt[k,j]);
End;
4.无向图的连通分量
A.深度优先
proceduredfs(now,color:
integer);
begin
ifa[now,i]andc=0thenbegin{对结点I染色}c:
=color;
dfs(I,color);
B宽度优先(种子染色法)
5.关键路径
几个定义:
顶点1为源点,n为汇点。
若Ee[j]=El[j],则活动j为关键活动,由关键活动组成的路径为关键路径。
求解方法:
a.从源点起topsort,判断是否有回路并计算Ve;
b.从汇点起topsort,求Vl;
c.算Ee和El;
6.拓扑排序
找入度为0的点,删去与其相连的所有边,不断重复这一过程。
NO.
例寻找一数列,其中任意连续p项之和为正,任意q项之和为负,若不存在则输出
7.回路问题
Euler回路(DFS)
定义:
经过图的每条边仅一次的回路。
(充要条件:
图连同且无奇点)
Hamilton回路定义:
经过图的每个顶点仅一次的回路。
一笔画充要条件:
图连通且奇点个数为0个或2个。
9.判断图中是否有负权回路Bellman-ford算法
x,y,t分别表示第I条边的起点,终点和权。
共n个结点和m条边。
procedurebellman-ford
=0ton-1dod:
=+infinitive;
d[0]:
=1ton-1do
=1tomdo{枚举每一条边}
ifd[x[j]]+t[j]<
d[y[j]]thend[y[j]]:
=d[x[j]]+t[j];
=1tomdo
d[y[j]]thenreturnfalseelsereturntrue;
10.第n最短路径问题*第二最短路径:
每举最短路径上的每条边,每次删除一条,然后求新图的最短路径,取这些路径中最短的一条即为第二最短路径。
*同理,第n最短路径可在求解第n-1最短路径的基础上求解。
三、背包问题
*部分背包问题可有贪心法求解:
计算Pi/Wi
数据结构:
w:
第i个背包的重量;
P:
第i个背包的价值;
1.0-1背包:
每个背包只能使用一次或有限次(可转化为一次):
A.求最多可放入的重量。
NOIP2001装箱问题
有一个箱子容量为v(正整数,owvw20000),同时有n个物品(o<
nW30),每个物品有
一个体积(正整数)。
要求从n个物品中,任取若千个装入箱内,使箱子的剩余空间为最小。
l搜索方法
proceduresearch(k,v:
{搜索第k个物品,剩余空间为v}
vari,j:
ifv<
bestthenbest:
=v;
ifv-(s[n]-s[k-1])>
=bestthenexit;
{s[n]为前n个物品的重量和}
ifk<
=nthenbegin
ifv>
w[k]thensearch(k+1,v-w[k]);
search(k+1,v);
lDP
F[I,j]为前i个物品中选择若干个放入使其体积正好为j的标志,为布尔型。
实现:
将最优化问题转化为判定性问题
f[I,j]=f[i-1,j-w](w<
=j<
=v)边界:
f[0,0]:
=true.
=wtovdoF[I,j]:
=f[I-1,j-w];
优化:
当前状态只与前一阶段状态有关,可降至一维。
F[0]:
F1:
=f;
=wtovdo
Iff[j-w]thenf1[j]:
F:
=f1;
End;
B.求可以放入的最大价值。
F[I,j]为容量为I时取前j个背包所能获得的最大价值。
F[i,j]=max{f[i—[j],j-1]+p[j],f[i,j-1]}
C.求恰好装满的情况数。
DP:
Procedureupdate;
varj,k:
c:
=0tondo
ifa[j]>
0then
ifj+now<
=ntheninc(c[j+now],a[j]);
=c;
2.可重复背包
A求最多可放入的重量。
状态转移方程为
f[I,j]=f[1-1,j-w*k](k=1..jdivw)
USACO1.2ScoreInflation
进行一次竞赛,总时间T固定,有若干种可选择的题目,每种题目可选入的数量不限,每种题目有一个ti(解答此题所需的时间)和一个si(解答此题所得的分数),现要选择若干题目,使解这些题的总时间在T以内的前提下,所得的总分最大,求最大的得分。
*易想到:
f[i,j]=max{f[i-k*w[j],j-1]+k*p[j]}(0<
=k<
=idivw[j])
其中f[i,j]表示容量为i时取前j种背包所能达到的最大值。
*实现:
FillChar(f,SizeOf(f),0);
Fori:
=1ToMDo
=1ToNDo
Ifi-problem[j].time>
=0Then
t:
=problem[j].point+f[i-problem[j].time];
Ift>
fThenf:
=t;
Writeln(f[M]);
End.
Ahoi2001Problem2求自然数n本质不同的质数和的表达式的数目。
思路一,生成每个质数的系数的排列,在一一测试,这是通法。
proceduretry(dep:
cal;
{此过程计算当前系数的计算结果,now为结果}ifnow>
nthenexit;
{剪枝}
ifdep=l+1thenbegin{生成所有系数}cal;
ifnow=ntheninc(tot);
exit;
=0tondivpr[dep]dobeginxs[dep]:
try(dep+1);
xs[dep]:
思路二,递归搜索效率较高proceduretry(dep,rest:
vari,j,x:
if(rest<
=0)or(dep=l+1)thenbegin
ifrest=0theninc(tot);
=0torestdivpr[dep]dotry(dep+1,rest-pr[dep]*i);
{main:
try(1,n);
}思路三:
可使用动态规划求解
USACO1.2moneysystem
V个物品,背包容量为n求放法总数。
转移方程:
=1tondivnowdo
ifj+now*k<
=ntheninc(c[j+now*k],a[j]);
{main}
read(now);
{读入第一个物品的重量}
{a为背包容量为i时的放法总数}
whilei<
=ndobegin
inc(i,now);
{定义第一个物品重的整数倍的重量a值为1,作为初值}fori:
=2tovdo
update;
{动态更新}
writeln(a[n]);
四、排序算法
1.快速排序:
procedureqsort(l,r:
vari,j,mid:
=l;
=r;
mid:
=a[(l+r)div2];
{将当前序列在中间位置的数定义为中间数}repeat
whilea[i]<
middoinc(i);
{在左半部分寻找比中间数大的数}
whilea[j]>
middodec(j);
{在右半部分寻找比中间数小的数}
=jthenbegin{若找到一组与排序目标不一致的数对则交换它们}t:
=a[i];
a[i]:
=a[j];
a[j]:
inc(i);
dec(j);
{继续找}
untili>
j;
ifl<
jthenqsort(l,j);
{若未到两个数的边界,则递归搜索左右区间}
rthenqsort(i,r);
{sort}
B.插入排序:
思路:
当前a[1]..a[i-1]已排好序了,现要插入a使a[1]..a有序。
procedureinsert_sort;
=2tondobegin
a[0]:
=i-1;
whilea[0]<
a[j]dobegin
a[j+1]:
=j-1;
=a[0];
{inset_sort}
c•选择排序:
proceduresort;
vari,j,k:
=i+1tondo
ifa>
a[j]thenswap(a,a[j]);
D.冒泡排序
procedurebubble_sort;
=ndowntoi+1do
ifa[j]<
a[j-1]thenswap(a[j],a[j-1]);
{每次比较相邻元素的关系}end;
E•堆排序:
proceduresift(i,m:
{调整以i为根的子树成为堆,m为结点总数}vark:
a[O]:
=2*i;
{在完全二叉树中结点i的左孩子为2*i,右孩子为2*i+1}whilek<
=mdobegin
if(k<
m)and(a[k]<
a[k+1])theninc(k);
{找出a[k]与a[k+1]中较大值}ifa[0]<
a[k]thenbegina:
=a[k];
k:
endelsek:
=m+1;
{将根放在合适的位置}
procedureheapsort;
varj:
=ndiv2downto1dosift(j,n);
=ndownto2dobeginswap(a[1],a[j]);
sift(1,j-1);
F.归并排序
{a为序列表,tmp为辅助数组}proceduremerge(vara:
listtype;
p,q,r:
{将已排序好的子序列a[p..q]与a[q+1..r]合并为有序的tmp[p..r]}
varI,j,t:
tmp:
begint:
=p;
=q+1;
{t为tmp指针,I,j分别为左右子序列的指针}while(t<
=r)dobegin
if(i<
=q){左序列有剩余}and((j>
r)or(a<
=a[j])){满足取左边序列当前元素的要求}thenbegin
tmp[t]:
endelsebegintmp[t]:
inc(j);
inc(t);
=ptordoa:
=tmp;
{merge}
proceduremerge_sort(vara:
p,r:
{合并排序a[p..r]}
varq:
beginifp<
rthenbeginq:
=(p+r-1)div2;
merge_sort(a,p,q);
merge_sort(a,q+1,r);
merge(a,p,q,r);
merge_sort(a,1,n);
end.
G基数排序思想:
对每个元素按从低位到高位对每一位进行一次排序
五、高精度计算
高精度数的定义:
type
hp=array[1..maxlen]ofinteger;
1.高精度加法
procedureplus(a,b:
hp;
varc:
hp);
vari,len:
fillchar(c,sizeof(c),0);
ifa[0]>
b[0]thenlen:
=a[0]elselen:
=b[0];
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