初中几何知识归纳Word文件下载.docx

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5．平分线：

从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

①性质：

角平分线上的点到角的两边距离相等。

②逆定理：

在角的内部，到角的两边距离相等的点在角平分线上。

（③三角形的内心 

：

利用角的平分线的性质定理可以导出：

三角形的三个内角的角平分线交于一点，此点叫做三角形的内心，它到三边的距离相等。

）

6．余角和补角

①余角：

两个角的和等于90度，这两个角互为余角。

即其中每一个是另一个角的余角。

②补角：

两个角的和等于180度，这两个角互为补角。

即其中一个是另一个角的补角。

③补角的性质：

等角的补角相等

④余角的性质：

等角的余角相等

　相交线与平行线

一、相交线两条直线相交，形成4个角。

1．邻补角：

两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线。

具有这种关系的两个角，互为邻补角。

如：

∠1、∠2。

2．对顶角：

两个角有一个公共顶点，并且一个角的两条边，分别是另一个角的两条边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角。

∠1、∠3。

3．对顶角相等。

二、垂线

1．垂直：

如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。

2．垂线：

垂直是相交的一种特殊情形，两条直线垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。

3．垂足：

两条垂线的交点叫垂足。

4．垂线特点：

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

5．点到直线的距离：

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离。

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

三、同位角、内错角、同旁内角（两条直线被第三条直线所截形成8个角。

1．同位角：

在两条直线的上方，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位角。

∠1和∠5。

2．内错角：

在在两条直线之间，又在直线EF的两侧，具有这种位置关系的两个角叫内错角。

∠3和∠5。

3．同旁内角：

在在两条直线之间，又在直线EF的同侧，

具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。

∠3和∠6。

四、平行线

（一）平行线

1.平行：

两条直线不相交。

互相平行的两条直线，互为平行线。

a∥b（在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

） 

2．平行公理：

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

3.平行公理推论：

①平行于同一直线的两条直线互相平行。

②在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。

（二）平行线的判定：

1.同位角相等，两直线平行。

2.内错角相等，两直线平行。

3.同旁内角互补，两直线平行。

（三）平行线的性质

1.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

2.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。

3.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。

4.两条平行线被第三条直线所截，外错角相等。

以上性质可简单说成：

1.两条直线平行，同位角相等。

2.两条直线平行，内错角相等。

3.两条直线平行，同旁内角互补。

第二部分三角形

三角形

知识点1 

三角形的边、角关系 

①三角形任何两边之和大于第三边；

②三角形任何两边之差小于第三边；

③三角形三个内角的和等于180°

；

④三角形三个外角的和等于360°

⑤三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；

⑥三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

知识点2 

三角形的主要线段和外心、内心 

①三角形的角平分线、中线、高；

②三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心，三角形的外心到各顶点的距离相等；

③三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，三角形的内心到三边的距离相等；

④连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

知识点3 

等腰三角形 

等腰三角形的识别：

①有两边相等的三角形是等腰三角形；

②有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）；

③三边相等的三角形是等边三角形；

④三个角都相等的三角形是等边三角形；

⑤有一个角是60°

的等腰三角形是等边三角形。

等腰三角形的性质：

①等边对等角；

②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；

③等腰三角形是轴对称图形，底边的中垂线是它的对称轴；

④等边三角形的三个内角都等于60°

。

知识点4 

直角三角形 

直角三角形的识别：

①有一个角等于90°

的三角形是直角三角形；

②有两个角互余的三角形是直角三角形；

③勾股定理的逆定理：

如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

直角三角形的性质：

①直角三角形的两个锐角互余；

②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

③勾股定理：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

知识点5 

全等三角形 

定义、判定、性质

一、与三角形有关的线段

（一）三角形

1.三角形：

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。

记作：

△ABC

2．三角形三边的关系：

两边之和大于第三边。

三角形的两边的差一定小于第三边。

（二）三角形的高、中线与角平分线

1.高：

从三角形的顶点向它所对的边做垂线，所得的线段叫三角形这个边上的高。

2．中线：

连接项点和它所对的边的中点，所得的线段叫三角形这个边上的中线。

3．角平分线：

三角形一个顶角的平分线与它所对的边相交，所得的线段叫三角形的角平分线。

4．三角形的中位线：

连接三角形两边中点的线段。

三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。

（三）　三角形的稳定性三角形具有稳定性，四边形没有稳定性。

二、与三角形有关的角

1．内角：

三角形的内角和等于180。

2．外角：

三角形一边与另一边的延长线组成的角叫三角形的外角。

①三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

②三角形一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

三、多边形及其内角和

1.多边形：

由有一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形 

2．多边形内角：

多边形相邻两边组成的角叫做它的内角，

3．外角：

多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

4．对角线：

连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

5．凸多边形：

画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，否则就是凹多边形。

6．正多边形各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

7．如果说四边形的一对角互补，那么另一组角也互补。

8．多边形的内角和：

n边形的内角和等于180°

×

（n-2） 

9．多边形的外角和等于360。

（n边形的边=（内角和÷

180°

）+2 

过n边形一个顶点有（n-3）条对角线 

n边形过一个顶点引出所有对角线后，把多边形分成n-2个三角形）

等腰三角形

1．等腰三角形：

有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。

（相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。

2．等腰三角形的性质 

（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）。

（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

3．判定：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

（简称“等角对等边”）。

4．等边三角形 

三条边都相等的三角形叫做等边三角形。

5．等边三角形的性质 

等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°

6．判定 

①三个角都相等的三角形是等边三角形。

②有一个角是60°

直角三角行

1.勾股定理：

命题1:

如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。

2．勾股定理的逆定理：

如果三角形三边长a,b,c满足a2＋b2=c2。

，那么这个三角形是直角三角形。

3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

　全等三角形

一、全等形 

能够完全重合的两个图形叫做全等形。

二、全等三角形 

１．全等三角形：

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

（两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

２．全等三角形的符号表示、读法 

△ＡＢＣ与△Ａ′Ｂ′Ｃ′全等记作△ＡＢＣ≌△Ａ′Ｂ′Ｃ′，“≌”读作“全等于”。

（两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上，这样对应的两个字母为端点的线段是对应边；

对应的三个字母表示的角是对应角）。

３．全等三角形的性质 

全等三角形的对应边相等，对应角相等。

二、三角形全等的判定：

1．三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“ＳＳＳ”。

2．两边和他们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“ＳＡＳ”。

3．两角和他们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ＡＳＡ”。

4．两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“ＡＡＳ”。

5．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“ＨＬ”。

（ＳＳＡ、ＡＡＡ不能识别两个三角形全等，识别两个三角形全等时，必须有边的参与，如果有两边和一角对应相等时，角必须是两边的夹角。

三、相似三角形

1．性质：

平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。

2．判定.①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

②如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

③如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

（①三边对应成比例②两个三角形的两个角对应相等；

③两边对应成比例,且夹角相等；

④相似三角形的一切对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。

3．相似三角形应用

视点：

眼睛的位置；

仰角：

视线与水平线的夹角；

盲区：

看不到的区域。

4．相似三角形的周长与面积：

①相似三角形周长的比等于相似比。

②相似多边形周长的比等于相似比。

③相似三角形面积的比等于相似比的平方。

④相似多边形面积的比等于相似比的平方。

第四部分四边形

一、平行四边行（第十九章）

（一）平行四边形的性质

1.平行四边形定义：

有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2.平行四边形的性质：

①平行四边形的对边相等；

②平行四边形的对角相等。

③平行四边形的对角线互相平分。

（二）平行四边形的判定

1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形

2.对角线互相平分的四边形是平行四边形；

3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

4.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

二、特殊的平行四边形

（一）矩形

1．矩形的定义：

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2．矩形的性质：

①矩形的四个角都是直角；

②矩形的对角线平分且相等。

AC=BD

3．矩形判定定理：

①有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

②对角线相等的平行四边形是矩形。

③有三个角是直角的四边形是矩形。

4．黄金矩形：

宽和长的比是

（约为0.618）的矩形叫做。

（二）菱形

1．菱形的定义：

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2．菱形的性质：

①菱形的四条边都相等；

②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

3．菱形的判定定理：

①一组邻边相等的平行四边形是菱形。

②对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

③四条边相等的四边形是菱形。

S菱形=1/2×

ab（a、b为两条对角线）

（三）正方形

1．正方形定义：

一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。

2．正方形的性质：

四条边都相等，四个角都是直角。

3．正方形判定定理：

①邻边相等的矩形是正方形。

②有一个角是直角的菱形是正方形。

三、梯形

1．梯形：

一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

2．直角梯形：

有一个角是直角的梯形

3．等腰梯形：

两腰相等的梯形。

4．等腰梯形的性质：

①等腰梯形同一底边上的两个角相等；

②等腰梯形的两条对角线相等。

5．等腰梯形判定定理：

①同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。

6．解梯形问题常用的辅助线：

如图

四、课题学习重心

重心：

是物体的质量中心，能够保持物体平衡的点就是重心。

（是一个平衡点）①线段的重心就是线段的中点。

②平行四边形的重心是它的两条对角线的交点。

③三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心。

第五部分圆

一、圆的相关概念（第二十四章）

1、圆的定义：

在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

2、圆的几何表示：

以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”

二、弦、弧等与圆有关的定义

（1）弦：

连接圆上任意两点的线段叫做弦。

（如图中的AB）

（2）直径：

经过圆心的弦叫做直径。

（如途中的CD）直径等于半径的2倍。

（3）半圆：

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

（4）弧、优弧、劣弧：

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“

”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。

大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；

小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）

三、垂径定理及其推论

1．垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：

圆的两条平行弦所夹的弧相等。

四、圆的对称性

1、圆的轴对称性：

圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

2、圆的中心对称性：

圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

1、圆心角：

顶点在圆心的角叫做圆心角。

2、弦心距：

从圆心到弦的距离叫做弦心距。

3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。

推论：

在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

六、圆周角定理及其推论

1、圆周角：

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

2、圆周角定理：

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

同弧或等弧所对的圆周角相等；

同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

半圆（或直径）所对的圆周角是直角；

90°

的圆周角所对的弦是直径。

推论3：

如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

七、点和圆的位置关系

设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：

d<

r

点P在⊙O内；

d=r

点P在⊙O上；

d>

点P在⊙O外。

八、过三点的圆

1、过三点的圆：

不在同一直线上的三个点确定一个圆。

2、三角形的外接圆：

经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。

3、三角形的外心：

三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。

4、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）：

圆内接四边形对角互补。

十、直线与圆的位置关系

直线和圆有三种位置关系，具体如下：

（1）相交：

直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；

（2）相切：

直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，

（3）相离：

直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：

直线l与⊙O相交

r；

直线l与⊙O相切

d=r；

直线l与⊙O相离

十一、切线的判定和性质

1、切线的判定定理：

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

2、切线的性质定理：

圆的切线垂直于经过切点的半径。

十二、切线长定理

1、切线长：

在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

2、切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

十三、三角形的内切圆

1、三角形的内切圆：

与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

2、三角形的内心：

三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。

十四、圆和圆的位置关系

1、圆和圆的位置关系：

如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。

如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。

如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。

2、圆心距：

两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。

3、圆和圆位置关系的性质与判定

设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么

两圆外离

R+r

两圆外切

d=R+r

两圆相交

R-r<

R+r（R≥r）

两圆内切

d=R-r（R>

r）

两圆内含

R-r（R>

4、两圆相切、相交的重要性质：

如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；

相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

十五、正多边形和圆

1、正多边形的定义：

各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

2、正多边形和圆的关系：

只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

十六、与正多边形有关的概念

1、正多边形的中心：

正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

2、正多边形的半径：

正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。

3、正多边形的边心距：

正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。

4、中心角：

正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。

十七、正多边形的对称性

1、正多边形的轴对称性：

正多边形都是轴对称图形。

一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。

2、正多边形的中心对称性：

边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。

3、正多边形的画法：

先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。

十八、弧长和扇形面积

1、弧长公式：

n°

的圆心角所对的弧长l的计算公式为

2、扇形面积公式：

其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长。

3、圆锥的侧面积：

其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的地面半径。

4、弦切角定理：

弦切角：

圆的切线与经过切点的弦所夹的角，叫做弦切角。

弦切角定理：

弦切角等于弦与切线

夹的弧所对的圆周角。

即：

∠BAC=∠ADC

5、切割线定理

PA为⊙O切线，PBC为⊙O割线，

则

第六部分图形变换

平移（第四章）

一、平移:

平移是指在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移变换（简称平移），平移不改变物体的形状和大小。

二、平移的性质 

①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同。

②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点。

连接各组对应点的线段平行且相等。

轴对称（第十二章）

一、轴对称

1．轴对称图形 

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴。

折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

2．线段的垂直平分线 

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 

3．轴对称的性质：

1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

（或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 

4．线段垂直平分线的性质：

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

（或者说与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。

二、作轴对称图形

1．归纳1：

由一个平面图形可以得到它关于一条直线L成对称轴的图形，这个图形与原图形的大小、形状，完全相同。

新图形上的每一点，都是原图形上某一点关于直线L的对称点。

连接任意一对对应点的线段都被对称轴垂直平分。

2．归纳2：

几何图形都可以看做由点组成，我们只要分别做出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得以原图形的轴对称图形；

对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要做出图形中的一些特殊点（如线段的端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。

轴对称变换 

由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换。

3．用坐标表示轴对称：

（1）点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标为P′（x，-y）；

（2）点P（x,y）关于y轴对称的点的坐标为P″（-x，y）。

中心对称（第二十三章旋转）

一、旋转

1、定义：

把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。

2、性质

（1）对应点到旋转中心的距离相等。

（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

⑶旋转前后的图形全等。

二、中心对称

把一个图形绕着某一个点旋转180°

，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

（1）关于中心对称的两个图形是全等形。