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穷举法详细
第三讲穷举法
一、穷举法的基本概念
穷举方法是基于计算机特点而进行解题的思维方法。
一般是在一时找不出解决问题的更好途径(即从数学上找不到求解的公式或规则)时,可以根据问题中的的部分条件(约束条件)将所有可能解的情况列举出来,然后通过一一验证是否符合整个问题的求解要求,而得到问题的解。
这样解决问题的方法我们称之为穷举算法。
穷举算法特点是算法简单,但运行时所花费的时间量大。
有些问题所列举出来的情况数目会大得惊人,就是用高速的电子计算机运行,其等待运行结果的时间也将使人无法忍受。
因此,我们在用穷举方法解决问题时,应尽可能将明显的不符合条件的情况排除在外,以尽快取得问题的解。
二、穷举算法模式
穷举算法模式:
(1)问题解的可能搜索的范围:
用循环或循环嵌套结构实现
(2)写出符合问题解的条件。
(3)能使程序优化的语句,以便缩小搜索范围,减少程序运行时间。
三、使用穷举法设计算法
穷举法应用很多,比如一些密码破译软件通常就是用的穷举算法。
如在QQ上,OicqPassOver这个工具穷举你的口令,它根据机器性能最高可以每秒测试20000个口令,如果口令简单,一分钟内,密码就会遭到破译。
下面我们来以三个例子说明穷举法的具体应用。
实例一:
古希腊人认为因子的和等于它本身的数是一个完全数(自身因子除外),例如28的因子是1、2、4、7、14,且1+2+4+7+14=28,则28是一个完全数,编写一个程序求2~1000内的所有完全数。
分析:
(1)本题是一个搜索问题,搜索范围2~1000,找出该范围内的完全数;
(2)完全数必须满足的条件:
因子的和等于该数据的本身。
(3)问题关键在于将该数的因子一一寻找出来,并求出因子的和。
程序如下:
Programp3_1;
Vara,b,s:
integer;
Begin
Fora:
=2to1000do
Begin
S:
=0;
Forb:
=1toa-1do
Ifamodb=0thens:
=s+b;{分解因子并求和}
Ifa=sthenbegin
Write(a,‘=’,1,);
Forb:
=2toa-1do
Ifamodb=0thenwrite(’+’,b);
Writeln;
End;
End;
End.
当程序运行后,输出结果:
6=1+2+3
28=1+2+4+7+14
496=1+2+4+8+16+31+62+124+248
实例二:
(第七届全国青少年信息学(计算机)奥林匹克分区联赛初赛试题)
在A,B两个城市之间设有N个路站(如下图中的S1,且N<100),城市与路站之间、路站和路站之间各有若干条路段(各路段数≤20,且每条路段上的距离均为一个整数)。
A,B的一条通路是指:
从A出发,可经过任一路段到达S1,再从S1出发经过任一路段,…最后到达B。
通路上路段距离之和称为通路距离(最大距离≤1000)。
当所有的路段距离给出之后,求出所有不同距离的通路个数(相同距离仅记一次)。
例如:
下图所示是当N=1时的情况:
从A到B的通路条数为6,但因其中通路5+5=4+6,所以满足条件的不同距离的通路条数为5。
算法说明:
本题采用穷举算法。
数据结构:
N:
记录A,B间路站的个数
数组D(I,0)记录第I-1到第I路站间路段的个数
D(I,1),D(I,2),…记录每个路段距离
数组G记录可取到的距离
PROGRAMCHU7_6;
VARI,J,N,S:
INTEGER;
B:
ARRAY[0..100]OFINTEGER;
D:
ARRAY[0..100,0..20]OFINTEGER;
G:
ARRAY[0..1000]OF0..1;
BEGIN
READLN(N);
FORI:
=1TON+1DO
BEGIN
READLN(D[I,0]);
FORJ:
=1TOD[I,0]DO READLN(D[I,J]);
END;
D[0,0]:
=1;
FORI:
=1TON+1DO B[I]:
=1;
B[0]:
=0;
FORI:
=0TO1000DO G[I]:
=0;
WHILE ① DO
BEGIN
S:
=0;
FORI:
=1TON+1DO
S:
= ②
G[S]:
=1;J:
=N+1;
WHILE ③ DOJ:
=J-1;
B[J]:
=B[J]+1;
FORI:
=J+1TON+1DO B[I]:
=1;
END;
S:
=0;
FORI:
=1TO1000DO
④ ;
WRITELN(S);READLN;
END.
答案:
①B[0]=0 ②S+D[I,B[I]];③B[J]=D[J,0]④S:
=S+G[I]
实例三(第八届全国青少年信息学奥林匹克联赛(NOIP2002)试题)
将n个整数分成k组(k≤n,要求每组不能为空),显然这k个部分均可得到一个各自的和s1,s2,……sk,定义整数P为:
P=(S1-S2)2+(S1一S3)2+……+(S1-Sk)2+(s2-s3)2+……+(Sk-1-Sk)2
问题求解:
求出一种分法,使P为最小(若有多种方案仅记一种)
程序说明:
数组:
a[1],a[2],...A[N]存放原数
s[1],s[2],...,s[K]存放每个部分的和
b[1],b[2],...,b[N]穷举用临时空间
d[1],d[2],...,d[N]存放最佳方案
程序:
program exp4;
Var i,j,n,k :
integer;
a :
array [1..100] of integer;
b,d:
array [0..100] of integer;
s :
array[1..30] of integer;
begin
readln(n,k);
for I:
=1 to n do read(a[I]);
for I:
=0 to n do b[I]:
=1;
cmin:
=1000000;
while (b[0]=1) do
begin
for I:
=1 to k do ①
for I:
=1 to n do
②
sum:
=0;
for I:
=1 to k-1 do
for j:
= ③
sum:
=sum+(s[I]-s[j])*(s[I]-s[j]);
if ④ then
begin
cmin:
=sum;
for I:
=1 to n do d[I]:
=b[I];
end;
j:
=n;
while ⑤ do j:
=j-1;
b[j]:
=b[j]+1;
for I:
=j+1 to n do ⑥
end;
writeln(cmin);
for I:
=1 to n do write(d[I]:
40);
writeln;
end.
四、穷举算法的深入应用
实例一:
一根29厘米长的尺子,只允许在上面刻七个刻度,要能用它量出1~29厘米的各种长度。
试问这根尺的刻度应该怎样选择?
分析:
(1)从1~29厘米中选择七个刻度的所有可能情况数是:
C729=29·28·26·25·24·23=29·9·26·5·2·23=29·26·23·90=1560780
1·2·3·4·5·6·7
(2)对于每一组刻度的选择都需要判断是否能将1~29厘米的各种刻度量出来,例如选择的刻度为:
a1,a2,a3,a4,a5a,6,a7那么能量出的刻度为:
a1,29-a1;2
a2,a2-a1,29-a2;3
a3,a3-a1,a3-a2,29-a3;4
a4,a4-a1,a4-a2,a4-a3,29-a4;5
a5,a5-a1,a5-a2,a5-a3,a5-a4,29-a5;6
a6,a6-a1,a6-a2,a6-a3,a6-a4,a6-a5,29-a6;7
a7-a1,a7-a2,a7-a2,a7-a3,a7-a4,a7-a5,a7-a6,29-a7;8
共可量出2+3+4+5+6+7+8种刻度,即35种刻度,事实上其中有许多刻度是重复的,不可能复盖1~29。
例如:
取a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7为1,3,6,10,15,21,28
能量出的刻度为:
1,28
3,2,26
6,5,3,23
10,9,7,4,19
15,14,12,9,5,14
21,20,18,15,11,6,8
28,27,25,22,18,13,7,1
缺16,17,24(29即尺子长度)
如果找出了刻度a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7那么我们可以利用其对称性29-a1,29-a2,29-a3,29-a4,29-a5,29-a6,29-a7,也是一组解,所以求解过程中可仅考虑a1 很显然要使1,28两种刻度能量出来,则在七个刻度就必须有1或28;这样就可设a1=1(或a1=28)。 本题就变成了只要在2~27中选取六个刻度问题了。 其刻度选择的数目为C626=26·25·24·23·22·21=26·5·23·11·7=230230 1·2·3·4·5·6 这样解的范围就从百万变成了十万的数量级,大大减少运行次数。 因此,我们在用穷举法求问题解时,应注意程序的优化,尽可能减少搜索时间。 {程序优化} (3)为了判定七个刻度是否能够度量1~29的所有长度,可以用集合的方法,也可以用数组的0,1数据判断。 下面的程序使用了数组的0,1方法。 Programp12_2; Constn=29;m=1; Vara: array[1..7]ofinteger; b: array[1..n]of0..1;{记录能量的刻度} f: Boolean; I,j: integer; BEGIN a[1]: =m; fora[2]: =2ton-7do fora[3]: =a[2]+1ton-6do fora[4]: =a[3]+1ton-5do fora[5]: =a[4]+1ton-4do fora[6]: =a[5]+1ton-3do fora[7]: =a[6]+1ton-2do begin fori: =1to29dob[i]: =0; fori: =1TO7do begin b[a[i]]: =1;b[n-a[i]]: =1;b[n]: =1;{初始化} forj: =i+1TO7dob[abs(a[j]-a[i])]: =1 end; j: =0; f
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