因式分解的常用方法及练习题.docx
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因式分解的常用方法及练习题
(
因式分解的常用方法
一、提公因式法.:
ma+mb+mc=m(a+b+c)
二、公式法.
在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如:
(1)平方差公式:
(a+b)(a-b)=a2-b2
(2)完全平方公式:
(a±b)2=a2±2ab+b2
(3)立方和公式:
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
{
(4)立方差公式:
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
(5)完全立方公式:
(a±b)³=a³±3a²b+3ab²±b³
下面再补充两个常用的公式:
(6)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;
(7)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca);
三、十字相乘法.
(一)二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式:
进行分解。
|
特点:
(1)二次项系数是1;
(2)常数项是两个数的乘积;
(3)一次项系数是常数项的两因数的和。
例5、分解因式:
#
练习5、分解因式
(1)
(2)(3)
}
练习6、分解因式
(1)
(2)(3)
】
(二)二次项系数不为1的二次三项式——
条件:
(1)
(2)
(3)
分解结果:
=
例7、分解因式:
~
练习7、分解因式:
(1)
(2)
^
(3)(4)
|
(三)二次项系数为1的齐次多项式
例8、分解因式:
^
分析:
将看成常数,把原多项式看成关于的二次三项式,利用十字相乘法进行分解。
18b
1-16b
8b+(-16b)=-8b
解:
=
=
练习8、分解因式
(1)
(2)(3)
》
(四)二次项系数不为1的齐次多项式
例9、例10、
:
1-2y把看作一个整体1-1
2-3y1-2
(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-3
解:
原式=解:
原式=
练习9、分解因式:
(1)
(2)
$
综合练习10、
(1)
(2)
(
(3)(4)
(5)(6)
"
(7)(8)
#
(9)(10)
,
四、分组分解法.
¥
(一)分组后能直接提公因式
例1、分解因式:
分析:
从“整体”看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解,但从“局部”看,这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,然后再考虑两组之间的联系。
解:
原式=
=每组之间还有公因式!
=
例2、分解因式:
解法一:
第一、二项为一组;解法二:
第一、四项为一组;
~
第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
解:
原式=原式=
==
==
练习:
分解因式1、2、
.
(二)分组后能直接运用公式
例3、分解因式:
分析:
若将第一、三项分为一组,第二、四项分为一组,虽然可以提公因式,但提完后就能继续分解,所以只能另外分组。
例4、分解因式:
?
解:
原式=解:
原式=
==
==
练习:
分解因式3、4、
>
综合练习:
(1)
(2)
:
(3)(4)
¥
(5)(6)
…
(7)(8)
(9)(10)
:
^
五、换元法。
例13、分解因式
(1)
(2)
解:
(1)设2005=,则原式=
=
=
(2)型如的多项式,分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
—
原式=
设,则
∴原式==
==
练习13、分解因式
(1)
(2)
六、添项、拆项、配方法。
例15、分解因式
(1)
|
解法1——拆项。
解法2——添项。
原式=原式=
======
==
练习15、分解因式
(1)
(2)(3)
]
、
第二部分:
习题大全
经典一:
,
一、填空题
1.把一个多项式化成几个整式的_______的形式,叫做把这个多项式分解因式。
2分解因式:
m3-4m=.
3.分解因式:
x2-4y2=_______.
4、分解因式:
=_________________。
5.将xn-yn分解因式的结果为(x2+y2)(x+y)(x-y),则n的值为.
6、若,则=_________,=__________。
二、选择题
`
7、多项式的公因式是()
A、B、C、D、
8、下列各式从左到右的变形中,是因式分解的是()
A、B、
C、D、
10.下列多项式能分解因式的是()
(A)x2-y(B)x2+1(C)x2+y+y2(D)x2-4x+4
11.把(x-y)2-(y-x)分解因式为()
·
A.(x-y)(x-y-1)B.(y-x)(x-y-1)
C.(y-x)(y-x-1)D.(y-x)(y-x+1)
12.下列各个分解因式中正确的是()
A.10ab2c+6ac2+2ac=2ac(5b2+3c)
B.(a-b)2-(b-a)2=(a-b)2(a-b+1)
C.x(b+c-a)-y(a-b-c)-a+b-c=(b+c-a)(x+y-1)
D.(a-2b)(3a+b)-5(2b-a)2=(a-2b)(11b-2a)
?
13.若k-12xy+9x2是一个完全平方式,那么k应为()
三、把下列各式分解因式:
14、15、
16、17、
、
18、19、;
五、解答题
20、如图,在一块边长=的正方形纸片中,挖去一个边长=的正方形。
求纸片剩余部分的面积。
…
21、如图,某环保工程需要一种空心混凝土管道,它的规格是内径,外径长。
利用分解因式计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土(取,结果保留2位有效数字)
?
22、观察下列等式的规律,并根据这种规律写出第(5)个等式。
"
1.分解因式(1+y)²-2x²(1+y²)+x4(1-y)²
2.证明:
对于任何数x,y,下式的值都不会为33
x5+3x4y-5x3y2+4xy4+12y5
:
因式分解小结
因式分解的一般步骤是:
(1)通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有无公因式可提,其次看能否直接利用乘法公式;如前两个步骤都不能实施,可用分组分解法,分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解;
(2)若上述方法都行不通,可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项(添项)等方法;
1.通过基本思路达到分解多项式的目的
例1.分解因式
)
分析:
这是一个六项式,很显然要先进行分组,此题可把分别看成一组,此时六项式变成二项式,提取公因式后,再进一步分解;也可把,,分别看成一组,此时的六项式变成三项式,提取公因式后再进行分解。
解一:
原式
解二:
原式=
2.通过变形达到分解的目的
例1.分解因式
解一:
将拆成,则有
{
解二:
将常数拆成,则有
3.在证明题中的应用
例:
求证:
多项式的值一定是非负数
分析:
现阶段我们学习了两个非负数,它们是完全平方数、绝对值。
本题要证明这个多项式是非负数,需要变形成完全平方数。
证明:
<
设,则
4.因式分解中的转化思想
例:
分解因式:
分析:
本题若直接用公式法分解,过程很复杂,观察a+b,b+c与a+2b+c的关系,努力寻找一种代换的方法。
解:
设a+b=A,b+c=B,a+2b+c=A+B
说明:
在分解因式时,灵活运用公式,对原式进行“代换”是很重要的。
?
中考点拨
1、在中,三边a,b,c满足求证:
【
2、若x为任意整数,求证:
的值不大于100。
3、将
:
试卷(因式分解)
一、填空:
(30分)
1、若是完全平方式,则的值等于_____。
2、则=____=____3、与的公因式是_
4、若=,则m=_______,n=_________。
5、在多项式中,可以用平方差公式分解因式的
<
有________________________,其结果是_____________________。
6、若是完全平方式,则m=_______。
7、
8、已知则
9、若是完全平方式M=________。
10、,
11、若是完全平方式,则k=_______。
14、若则___。
12、若的值为0,则的值是________。
13、若则=_____。
15、方程,的解是________。
【
二、选择题:
(10分)
1、多项式的公因式是()
A、-a、B、C、D、
2、若,则m,k的值分别是()
A、m=—2,k=6,B、m=2,k=12,C、m=—4,k=—12、Dm=4,k=12、
3、下列名式:
中能用平方差公
式分解因式的有()
A、1个,B、2个,C、3个,D、4个
?
4、计算的值是()
A、B、
三、分解因式:
(30分)
1、2、3、4、
5、6、7、8、
四、代数式求值(15分)
1、已知,,求的值。
2、若x、y互为相反数,且,求x、y的值
3、已知,求的值
五、计算:
(15)
(1)
(2) (3)
六、试说明:
(8分)
1、对于任意自然数n,都能被动24整除。
2、两个连续奇数的积加上其中较大的数,所得的数就是夹在这两个连续奇数之间的偶数与较大奇数的积。
七、利用分解因式计算(8分)
1、一种光盘的外D=厘米,内径的d=厘米,求光盘的面积。
(结果保留两位有效数字)
2、正方形1的周长比正方形2的周长长96厘米,其面积相差960平方厘米求这两个正方形的边长。
八、老师给了一个多项式,甲、乙、丙、丁四个同学分别对这个多项式进行了描述:
甲:
这是一个三次四项式
乙:
三次项系数为1,常数项为1。
丙:
这个多项式前三项有公因式
丁:
这个多项式分解因式时要用到公式法
若这四个同学描述都正确请你构造一个同时满足这个描述的多项式,并将它分解因式。
(4分)
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- 因式分解 常用 方法 练习题