第五届全员杯初中组试题.docx
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第五届全员杯初中组试题
<全员杯命题组命题>QQ群群号:
105314727
第五届全员杯网络数学竞赛
初中组
2019年8月3日20:
30–23:
00
满分:
150分
时间:
2019年8月3日20:
30–23:
00
时长:
2½小时
4)请在考试时间之内把答案交给A收卷者1或A收卷者2,逾期无效
5)若对试题内容有异议,请联系负责人
一、填空题
1.(6分)十万元奖金失踪案书接上回,上回说到:
爆燥管理怒出十万元奖金,重奖全员杯初中组第一名.考试前一天晚上,爆燥管理带来了十万元奖金.就在此时,意外发生了……
已知当中只有1人说的全是实话,1人说的全是谎话(爆燥管理除外,括号内的话不计).以上出现的人中只有1人偷了十万元,小偷可能是(填昵称).
(命题组会发存余的50元作为第一名奖金,其他名次奖金不受影响)(全员供题)
2.(6分)在直角边长为1的等腰直角三角形△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴
QQ𝐴𝐴群群号:
105𝐴𝐴3𝐴𝐴14727
.请写出𝑥𝑥与𝑦𝑦满足的关系式(必须是等式):
有45两°
个点𝐷𝐷与𝐸𝐸,其中𝐷𝐷更靠近𝐴𝐴,𝐸𝐸更靠近𝐴𝐴,设𝐴𝐴𝐷𝐷=𝑥𝑥,𝐴𝐴𝐸𝐸=𝑦𝑦,且∠𝐷𝐷𝐴𝐴𝐸𝐸=
.
(航供题)
5.(8分)如图所示,抛物线
12与抛物线
12
𝑦𝑦2=𝑎𝑎2
围成了一个封闭区域.有一条动直线
(),它与区域边界的两个交点
是与.在封闭区域(含边界)中再取一点,
22
则△𝑃𝑃𝑄𝑄𝑅𝑅面积的最大值为.√
(提示:
对于正数𝑥𝑥,𝑦𝑦,𝑧𝑧有不等式𝑥𝑥+𝑦𝑦+𝑧𝑧≥33𝑥𝑥𝑦𝑦𝑧𝑧成立)
6.(7分)已知实数𝑥𝑥是方程7291/𝑥𝑥+4⋅2161/𝑥𝑥=641/𝑥𝑥的解,则
(洛灵供题)
𝑥𝑥的值为.
(鸣蝉供题)
7.(8分)在下图所示的几何图形中,共有个三角形.
(图图供题)
8.(8分)设函数
𝑦𝑦2=⎧⎩−−1𝑥𝑥93,+1
𝑥𝑥𝑥𝑥≤>00
在𝑦𝑦1的图像上取一点𝐴𝐴,在𝑦𝑦2的图像上取一点𝐴𝐴,则线段𝐴𝐴𝐴𝐴的最小长度是.
(提示:
不要求将所有𝑛𝑛一一列出(事实上有无穷多个,也不可能一一列出),而是说
当然,诸如“使3为整数的一切正整数𝑛𝑛”这种投机取巧的答案是不被接受的.)
二、解答题
10.数论(10分):
(LiBr供题)
11.平面几何(15分):
(图图供题)
8皆四点共线.𝐴𝐴𝐴𝐴=5,𝐴𝐴𝐴𝐴=7,𝐴𝐴𝐴𝐴=
12.代数(15分):
(Evans供题)
13.组合(20分):
(图图供题)
某届全员杯共有名参赛者参加.比赛开始前,从这人中任意取人,则人中总
14.女装(25分):
(GYY供题)
湾湾女装店开业2周年.为了庆祝,湾湾决定举办一个活动,一位顾客可以与其进行三场数学游戏,只要湾湾输掉两场,就要女装作为惩罚.这时,狡猾的图图站了出来,与湾湾进行如下的三场游戏:
第一场
图图选择一个质数𝑝𝑝,如果存在实数𝑥𝑥0使𝑝𝑝得𝑝𝑝−1<𝑥𝑥0<𝑝𝑝且自变量值取𝑥𝑥0时𝑦𝑦=0,则
第二场
湾湾选择一个满足𝑚𝑚=2𝑘𝑘的数𝑚𝑚,其中𝑘𝑘是整2数.如果存在实数𝑥𝑥0使得且自变量值取𝑥𝑥0
已知函数
第三场
𝑦𝑦=𝑥𝑥2020+〇𝑥𝑥2019+⋯+〇𝑥𝑥+1,
其中〇内是待填数.湾湾与图图轮流向每个〇内填数,具体填哪一个〇可以任选,但只能
填空的〇.湾湾先填,如果填完后不存在实数0使得,则湾湾胜,否则图图胜.问:
湾湾能否逃过女装?
—全卷完—
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