学年高中数学人教A版必修三教学案第二章 章末小结与测评 Word版含答案.docx
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学年高中数学人教A版必修三教学案第二章章末小结与测评Word版含答案
应用抽样方法抽取样本时,应注意以下几点:
(1)用随机数法抽样时,对个体所编的号码位数要相等.当问题所给位数不相等时,以位数较多的为准,在位数较少的数前面添“0”,凑齐位数.
(2)用系统抽样抽样时,如果总体容量N能被样本容量n整除,抽样间隔为k=,如果总体容量N不能被样本容量n整除,先用简单随机抽样剔除多余个体,抽样间隔为k=.
(3)几种抽样方法的适用范围:
当总体容量较小,样本容量也较小时,可采用抽签法;当总体容量较大,样本容量较小时,可采用随机数法;当总体容量较大,样本容量也较大时,可采用系统抽样;当总体中个体差异较显著时,可采用分层抽样.
[典例1] 选择合适的抽样方法抽样,写出抽样过程.
(1)有30个篮球,其中甲厂生产的有21个,乙厂生产的有9个,抽取10个入样;
(2)有甲厂生产的30个篮球,其中一箱21个,另一箱9个,抽取3个入样;
(3)有甲厂生产的300个篮球,抽取10个入样;
(4)有甲厂生产的300个篮球,抽取30个入样.
解:
(1)总体由差异明显的两个层次组成,需选用分层抽样法.
第一步:
确定抽取个数.因为=,所以甲厂生产的篮球应抽取21×=7(个),乙厂生产的篮球应抽取9×=3(个);
第二步:
用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球7个,乙厂生产的篮球3个,这些篮球便组成了我们要抽取的样本.
(2)总体容量较小,用抽签法.
第一步:
将30个篮球用随机方式分段,分段为1,2,…,30;
第二步:
将以上30个分段分别写在大小、形状相同的小纸条上,揉成小球,制成号签;
第三步:
把号签放入一个不透明的袋子中,充分搅匀;
第四步:
从袋子中逐个不放回抽取3个号签,并记录上面的号码;
第五步:
找出和所得号码对应的篮球,这些篮球便组成了我们要抽取的样本.
(3)总体容量较大,样本容量较小,宜用随机数表法.
第一步:
将300个篮球用随机方式分段,分段为001,002,…,300;
第二步:
在随机数表中随机的确定一个数作为开始,如第8行第29列的数“7”开始,任选一个方向作为读数方向,比如向右读;
第三步:
从数“7”开始向右读,每次读三位,凡不在001~300中的数跳过去不读,遇到已经读过的数也跳过去不读,便可依次得到286,211,234,297,207,013,027,086,284,281这10个号码,这就是所要抽取的10个样本个体的号码,找出和所得号码对应的篮球便组成我们要抽取的样本.
(4)总体容量较大,样本容量也较大宜用系统抽样法.
第一步:
将300个篮球用随机方式分段,分段为000,001,002,…,299,并分成30段.
第二步:
在第一段000,001,002,…,009这十个分段中用简单随机抽样抽出一个(如002)作为始号码;
第三步:
将分段为002,012,022,…,292的个体抽出,组成样本.
[对点训练]
1.某高级中学有学生270人,其中一年级108人,二、三年级各81人.现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案,使用简单随机抽样和分层抽样时,将学生按一、二、三年级依次统一分段为1,2,…,270;使用系统抽样时,将学生统一随机分段为1,2,…,270,并将整个分段依次分为10段.如果抽得的号码有下列四种情况:
①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250;
②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265;
③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254;
④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.
关于上述样本的下列结论中,正确的是( )
A.②③都不能为系统抽样 B.②④都不能为分层抽样
C.①④都可能为系统抽样D.①③都可能为分层抽样
解析:
选D 按分层抽样时,在一年级抽取108×=4(人),在二年级、三年级各抽取81×=3(人),则在号码段1,2,…,108中抽取4个号码,在号码段109,110,…,189中抽取3个号码,在号码段190,191,…,270中抽取3个号码,①②③符合,所以①②③可能是分层抽样,④不符合,所以④不可能是分层抽样;按系统抽样时,抽取出的号码应该是“等距”的,①③符合,②④不符合,所以①③都可能为系统抽样,②④都不能为系统抽样.
本考点主要利用统计表、统计图分析估计总体的分布规律.要熟练掌握绘制统计图表的方法,明确图表中有关数据的意义是正确分析问题的关键,从图形与图表中获取有关信息并加以整理,是近年来高考命题的热点.
[典例2] 样本容量为100的频率分布直方图如图所示.
根据样本的频率分布直方图估计样本数据落在[6,10)内的频数为a,样本数据落在[2,10)内的频率为b,则a,b分别是( )
A.32,0.4B.8,0.1
C.32,0.1D.8,0.4
解析:
选A 落在[6,10)内的频率为0.08×4=0.32,
100×0.32=32,∴a=32,
落在[2,10)内的频率为(0.02+0.08)×4=0.4.∴b=0.4.
[对点训练]
2.如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位:
℃)数据得到的样本频率分布直方图,其中平均气温的范围是[20.5,26.5].样本数据的分组为[20.5,21.5),[21.5,22.5),[22.5,23.5),[23.5,24.5),[24.5,25.5),[25.5,26.5].已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数是11,则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为________.
解析:
设样本容量为n,则n×(0.1+0.12)×1=11,所以n=50,故所求的城市数为50×0.18=9.
答案:
9
样本的数字特征可分为两大类,一类反映样本数据的集中趋势,包括样本平均数、众数、中位数;另一类反映样本数据的波动大小,包括样本方差及标准差.通常,我们用样本的数字特征估计总体的数字特征.有关样本平均数及方差的计算和应用是高考考查的热点.
[典例3] 甲、乙两人在相同的条件下各射靶10次,每次射靶成绩(单位:
环)如图所示:
(1)填写下表:
平均数
中位数
命中9环以上
甲
7
________
1
乙
________
________
3
(2)请从四个不同的角度对这次测试进行分析:
①结合平均数和方差,分析偏离程度;
②结合平均数和中位数,分析谁的成绩好些;
③结合平均数和命中9环以上的次数,看谁的成绩好些;
④结合折线图上两人射击命中环数及走势,分析谁更有潜力.
解:
(1)甲的射靶环数从小到大排列为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9,
∴中位数为7环.
乙的射靶环数依次为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10,
∴乙=(2+4+6+8+7+7+8+9+9+10)=7(环).
乙的射靶环数从小到大排列为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10,
∴中位数是=7.5(环).
于是填充后的表格,如图所示:
平均数
中位数
命中9环以上
甲
7
7
1
乙
7
7.5
3
(2)s=[(5-7)2+(6-7)2×2+(7-7)2×4+(8-7)2×2+(9-7)2]=1.2,
s=[(2-7)2+(4-7)2+(6-7)2+(7-7)2×2+(8-7)2×2+(9-7)2×2+(10-7)2]=5.4.
①甲、乙的平均数相同,均为7,但s<s,说明甲偏离平均数的程度小,而乙偏离平均数的程度大.
②甲、乙的平均数相同,而乙的中位数比甲大,说明乙射靶环数的优秀次数比甲多.
③甲、乙的平均数相同,而乙命中9环以上(包含9环)的次数比甲多2次,可知乙的射靶成绩比甲好.
④从折线图上看,乙的成绩呈上升趋势,而甲的成绩在平均线上波动不大,说明乙的状态在提升,更有潜力.
[对点训练]
3.从一堆苹果中任取5只,称得它们的质量如下(单位:
克):
125,124,121,123,127,则该样本标准差s=________(克)(用数字作答).
解析:
先求平均数==124(克),则样本标准差
s=
==2.
答案:
2
1.分析两个变量的相关关系时,我们可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系,还可利用最小二乘法求出回归方程.把样本数据表示的点在直角坐标系中作出,构成的图叫做散点图.从散点图上,我们可以分析出两个变量是否存在相关关系.如果这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近,那么就说这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线,直线方程叫做回归方程.
2.回归方程的应用
利用回归方程可以对总体进行预测,虽然得到的结果不是准确值,但我们是根据统计规律得到的,因而所得结果的正确率是最大的,所以可以大胆地利用回归方程进行预测.
[典例4] 某产品的广告支出x(单位:
万元)与销售收入y(单位:
万元)之间有下列所示对应的数据:
广告支出x(万元)
1
2
3
4
销售收入y(万元)
12
28
44
60
(1)画出表中数据的散点图;
(2)求出y对x的回归方程;
(3)若广告费为9万元,则销售收入约为多少万元?
解:
(1)依表中数据,画出散点图如图.
(2)观察散点图可知,各点大致分布在一条直线附近,所以变量x,y线性相关.将相关数据列表如下:
i
1
2
3
4
xi
1
2
3
4
yi
12
28
44
60
xiyi
12
56
132
240
x
1
4
9
16
=2.5,=36,
iyi=440,=30
设回归方程为=x+,于是
===16,
=-=36-16×2.5=-4,
∴y对x的回归方程为=16x-4.
(3)当广告费为9万元时,=16×9-4=140(万元),
即广告费为9万元时,销售收入约为140万元.
[对点训练]
4.为了解儿子身高与其父亲身高的关系,随机抽取5对父子的身高数据如下:
父亲身高x/cm
174
176
176
176
178
儿子身高y/cm
175
175
176
177
177
则y对x的线性回归方程为( )
A.=x-1B.=x+1
C.=88+xD.=176
解析:
选C 由题意得==176(cm),==176(cm),由于(,)一定满足线性回归方程,经验证知选C.
(时间:
120分钟满分:
150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列各选项中的两个变量具有相关关系的是( )
A.长方体的体积与边长
B.大气压强与水的沸点
C.人们着装越鲜艳,经济越景气
D.球的半径与表面积
解析:
选C A、B、D均为函数关系,C是相关关系.
2.下列说法错误的是( )
A.在统计里,最常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法
B.一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据
C.平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势
D.一组数据的方差越大,说明这组数据的波动越大
解析:
选B 平均数不大于最大值,不小于最小值.
3.(2016·开封高一检测)某学校有老师200人,男学生1200人,女学生1000人,现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本,已知女学生一共抽取了80人,则n的值是( )
A.193B.192C.191D.190
解析:
选B =80,解得n=
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