学年高中数学第1章计数原理11基本计数原理学案新人教B版选修23Word格式文档下载.docx
- 文档编号:20971921
- 上传时间:2023-01-26
- 格式:DOCX
- 页数:11
- 大小:98.44KB
学年高中数学第1章计数原理11基本计数原理学案新人教B版选修23Word格式文档下载.docx
《学年高中数学第1章计数原理11基本计数原理学案新人教B版选修23Word格式文档下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《学年高中数学第1章计数原理11基本计数原理学案新人教B版选修23Word格式文档下载.docx(11页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
3
利用分类加法计数原理计数
高二
(1)班有学生50人,其中男生30人,女生20人;
高二
(2)班有学生60人,其中男生30人,女生30人;
高二(3)班有学生55人,其中男生35人,女生20人.
(1)从高二
(1)班或
(2)班或(3)班中选一名学生任校学生会主席,有多少种不同的选法?
(2)从高二
(1)班、
(2)班男生中或从高二(3)班女生中选一名学生任校学生会体育部长,有多少种不同的选法?
【解】
(1)从高二
(1)班中选一名学生任校学生会主席,有50种选法;
从高二
(2)班中选一名学生任校学生会主席,有60种选法;
从高二(3)班中选一名学生任校学生会主席,有55种选法,由分类加法计数原理得,从高二
(1)班或
(2)班或(3)班中选一名学生任校学生会主席,有50+60+55=165种选法.
(2)从高二
(1)班男生中选一名学生任校学生会体育部长有30种选法;
从高二
(2)班男生中选一名学生任校学生会体育部长有30种选法;
从高二(3)班女生中选一名学生任校学生会体育部长有20种选法,由分类加法计数原理得,从高二
(1)班、
(2)班男生中或从高二(3)班女生中选一名学生任校学生会体育部长,不同的选法有30+30+20=80种.
利用分类加法计数原理计数时的解题流程
若x,y∈N+,且x+y≤6,试求有序自然数对(x,y)的个数.
解:
按x的取值进行分类,x=1时,y=1,2,…,5,共构成5个有序自然数对.
x=2时,y=1,2,…,4,共构成4个有序自然数对.
……
x=5时,y=1共构成1个有序自然数对.根据分类加法计数原理,共有N=5+4+3+2+1=15个有序自然数对.
利用分步乘法计数原理计数[学生用书P2]
从-2,-1,0,1,2,3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y=ax2+bx+c的系数a,b,c,则可以组成抛物线的条数为多少?
扫一扫 进入91导学网()
分步乘法计数原理
【解】 由题意知a不能为0,故a的值有5种选法;
b的值也有5种选法;
c的值有4种选法.
由分步乘法计数原理得:
5×
4=100条.
1.若本例中的二次函数图象开口向下,则可以组成多少条抛物线?
需分三步完成,第一步确定a有两种方法,第二步确定b有5种方法,第三步确定c有4种方法,故可组成2×
4=40条抛物线.
2.若从本例的六个数字中选2个作为椭圆
+
=1的参数m,n,则可以组成椭圆的个数是多少?
据条件知m>
0,n>
0,且m≠n,故需分两步完成,第一步确定m,有3种方法,第二步确定n,有2种方法,故确定椭圆的个数为3×
2=6个.
利用分步乘法计数原理计数时的解题流程
1.如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A.24 B.18
C.12D.9
解析:
选B.由题意可知E→F共有6种走法,F→G共有3种走法,由分步乘法计数原理知,共有6×
3=18种走法,故选B.
2.从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取三个不同元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A,B,C,所得直线经过坐标原点的有________条.
该题实质上就是给A,B,C赋值.但首先要搞清楚直线过原点所隐含的条件,即C=0,所以,下面只需安排A,B.从1,2,3,5,7,11这6个数中任取2个作为A,B的值,分为两步:
第一步取一个数作为A,有6种;
第二步从剩下的5个数中取一个数作为B,有5种.
所以由分步乘法计数原理得:
直线的条数为6×
5=30.
30
两个计数原理的综合应用
甲同学有5本不同的数学书、4本不同的物理书、3本不同的化学书,现在乙同学向甲同学借书,
(1)若借1本书,则有多少种借法?
(2)若每科各借1本书,则有多少种借法?
(3)若任借2本不同学科的书,则有多少种借法?
【解】
(1)需完成的事情是“借1本书”,所以借给乙数学、物理、化学书中的任何1本,都可以完成这件事情.根据分类加法计数原理,共有5+4+3=12种借法.
(2)需完成的事情是“每科各借1本书”,意味着要借给乙3本书,只有从数学、物理、化学三科中各借1本,才能完成这件事情.根据分步乘法计数原理,共有5×
4×
3=60种借法.
(3)需完成的事情是“从三种学科的书中借2本不同学科的书”,可分三类:
第1类,借1本数学书和1本物理书,只有2本书都借,事情才能完成,根据分步乘法计数原理,有5×
4=20种借法;
第2类,借1本数学书和1本化学书,有5×
3=15种借法;
第3类,借1本物理书和1本化学书,有4×
3=12种借法.
根据分类加法计数原理,共有20+15+12=47种借法.
利用两个计数原理解题时的三个注意点
(1)当题目无从下手时,可考虑要完成的这件事是什么,即怎样做才算完成这件事,然后给出完成这件事的一种或几种方法,从这几种方法中归纳出解题方法.
(2)分类时标准要明确,做到不重不漏,有时要恰当画出示意图或树形图,使问题的分析更直观、清楚,便于探索规律.
(3)综合问题一般是先分类再分步.
在7名学生中,有3名会下象棋但不会下围棋,有2名会下围棋但不会下象棋,另2名既会下象棋又会下围棋,现在从7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛,共有多少种不同的选法?
选参加象棋比赛的学生有两种方法:
在只会下象棋的3人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选;
选参加
围棋比赛的学生也有两种选法:
在只会下围棋的2人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选.互相搭配,可得四类不同的选法.
从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛,同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有3×
2=6种选法;
从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛,同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有3×
从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛有2×
2=4种选法;
2名既会下象棋又会下围棋的学生分别参加象棋比赛和围棋比赛有2种选法.
所以共有6+6+4+2=18种选法.所以共有18种不同的选法.
————————————————————————————————————————————————
1.如果完成一件事有两类方案,这两类方案彼此之间是相互独立的,无论哪一类方案中的哪一种方法都能单独完成这件事,求能完成这件事的方法种数就用分类加法计数原理.
2.如果完成一件事需要分成多个步骤,各个步骤都是不可缺少的,需要依次完成所有步骤,才能完成这件事,而完成每一个步骤有若干种不同的方法,求能完成这件事的方法种数就用分步乘法计数原理.
用两个计数原理解决具体问题时,首先要分清是“分类”还是“分步”,其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准,在“分类”时要做到“不重不漏”,在“分步”时要正确设计“分步”的程序,注意步与步之间的连续性.
1.已知两条异面直线a,b上分别有5个点和8个点,则这13个点可以确定不同的平面的个数是( )
A.40 B.13
C.10D.16
选B.直线a与b上的8个点可分别确定8个不同的平面;
直线b与a上的5个点可分别确定5个不同的平面.故可确定5+8=13个不同的平面.
2.一个学习小组有4名男生,5名女生,任选1名当组长,共有__________种选法;
选男、女生各1名当组长,共有____________种选法.
选1名当组长分为两类:
第一类,从4名男生中选1名共有4种选法,第二类,从5名女生中选1名共有5种选法,一共有4+5=9种选法;
选男、女生各1名当组长可分为两步:
第一步是选1名男生,有4种选法,第二步是选1名女生,有5种选法,则有4×
5=20种选法.
9 20
3.在一块并排共10垄的田地上,选择2垄分别种植A、B两种作物,每种作物种植1垄,为了有利于作物生长,要求A、B两种作物的间隔不小于6垄,则不同的选垄方法有________种(结果用数字作答).
把空的6垄看作一个整体,A、B两种作物可在其余4垄上种植,不同的选垄方法为(3+2+1)×
2=12种.
12
[A 基础达标]
1.从A地到B地要经过C地和D地,从A地到C地有3条路,从C地到D地有2条路,从D地到B地有4条路,则从A地到B地不同走法的种数是( )
A.3+2+4=9 B.1
C.3×
2×
4=24D.1+1+1=3
选C.由题意从A地到B地需过C、D两地,实际就是分三步完成任务,用分步乘法计数原理.
2.在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,能被5整除的有( )
A.512个 B.192个C.240个 D.108个
选D.能被5整除的四位数,可分为两类:
一类是末位为0,由分步乘法计数原理,共有5×
3=60个.
二类是末位为5,由分步乘法计数原理共有4×
3=48个.由分类加法计数原理得60+48=108个.
3.若三角形三边均为正整数,其中一边长为4,另外两边长分别为b,c,且满足b≤4≤c,则这样的三角形有( )
A.10个B.14个
C.15个D.21个
选A.当b=1时,c=4;
当b=2时,c=4,5;
当b=3时,c=4,5,6;
当b=4时,c=4,5,6,7.
故共有10个这样的三角形.
4.将1,2,3,…,9这9个数字填在如图的9个空格中,要求每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大.当3,4固定在图中的位置时,填写空格的方法为( )
A.6种B.12种
C.18种D.24种
选A.因为每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大,数字1、2、9只有一种填法,5只能填在右上角或左下角,5填好后与之相邻的空格可填6、7、8任一个;
余下两个数字按从小到大只有一种方法.共有2×
3=6种结果,故选A.
5.如图,用五种不同的颜色分别给A,B,C,D四个区域涂色,相邻区域必须涂不同颜色,若允许同一种颜色多次使用,则不同的涂色方法共有多少种( )
A.280B.180
C.96D.60
选B.按区域分四步:
第一步:
A区域有5种颜色可选;
第二步:
B区域有4种颜色可选;
第三步:
C区域有3种颜色可选;
第四步:
由于可重复使用区域A中已有过的颜色,故也有3种颜色可选用.由分步乘法计数原理,共有5×
3×
3=180种涂色方法.
6.有10本不同的数学书,9本不同的语文书,8本不同的英语书,从中任取两本不同类的书,共有________种不同的取法.
分三类,第一类:
取数学和语文书,有10×
9=90种;
第二类:
取数学书和英语书,有10×
8=80种;
第三类:
取语文书和英语书,有9×
8=72种,故共有90+80+72=242种.
242
7.现要排一份5天的值班表,每天安排1个人值班,共有5个人,每个人可以值多天班或不值班,但相邻两天不能由同1个人值班,此值班表共有________种不同的排法.
分5步进行:
第1步,排第1天,可排5个人中的任何1个人,有5种排法;
第2步,排第2天,此时排剩余4个人中的任何1个人,有4种排法;
第3步到第5步,也就是第3天至第5天,每天的值班排法数都与第2天的排法数相同.
只有上述5个步骤都完成后,才能完成排值班表这件事,根据分步乘法计数原理,共有5×
4=1280种不同的排法.
1280
8.甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军,且每门学科只有1名冠军产生,则有________种不同的冠军获得情况.
可先举例说出其中的一种情况,如数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军分别是甲、甲、丙,可见研究的对象是“3门学科”,只有3门学科各产生1名冠军,才算完成了这件事,而4名同学不一定每人都能获得冠军,故完成这件事分三步:
第1步,产生第1个学科冠军,它一定被其中1名同学获得,有4种不同的获得情况;
第2步,产生第2个学科冠军,因为夺得第1个学科冠军的同学还可以去争夺第2个学科的冠军,所以第2个学科冠军也是由4名同学去争夺,有4种不同的获得情况;
第3步,同理,产生第3个学科冠军,也有4种不同的获得情况.
由分步乘法计数原理知,共有4×
4=43=64种不同的冠军获得情况.
64
9.如图所示,一只蚂蚁沿着长方体的棱,从顶点A爬到相对顶点C1,求其中经过三条棱的路线有多少条?
分三类:
第一类,经过AB,有2×
1=2条;
第二类,经过AD,有2×
第三类,经过AA1,有2×
1=2条.根据分类加法计数原理,共有2+2+2=6条路线.
10.已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},a,b∈M,P(a,b)表示平面上的点.
(1)P可表示平面上多少个不同的点?
(2)P可表示平面上多少个第二象限内的点?
(3)P可表示多少个不在直线y=x上的点?
(1)确定平面上的点P(a,b)可分两步完成:
第一步,确定a的值,共有6种方法;
第二步,确定b的值,也有6种方法.根据分步乘法计数原理,所求点的个数是6×
6=36个.
(2)确定第二象限内的点,可分两步完成:
第一步,确定a的值,由于a<
0,所以有3种方法;
第二步,确定b的值,由于b>
0,所以有2种方法.根据分步乘法计数原理,第二象限内的点的个数是3×
(3)点P(a,b)在直线y=x上的充要条件是a=b.因此a和b必须在集合M中取同一元素,共有6种取法,即在直线y=x上的点有6个.结合
(1)可得不在直线y=x上的点共有36-6=30个.
[B 能力提升]
11.用1,2,3三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须全部使用,且同一数字不能相邻出现,这样的四位数有( )
A.36个B.18个
C.9个D.6个
选B.分3步完成,1,2,3这三个数中必有某一个数字被重复使用2次.第1步,确定哪一个数字被重复使用2次,有3种方法;
第2步,把这2个相同的数字排在四位数不相邻的两个位置上,有3种方法;
第3步,将余下的2个数字排在四位数余下的两个位置上,有2种方法.故有3×
2=18个不同的四位数.
12.某外语组有9人,每人至少会英语和日语中的一门,其中7人会英语,3人会日语,从中选出会英语和日语的各一人,有________种不同的选法.
共分三类:
第一类,当选出的会英语的人既会英语又会日语时,选会日语的人有2种选法;
第二类,当选出的会日语的人既会英语又会日语时,选会英语的人有6种选法;
第三类,当既会英语又会日语的人不参与选择时,则需从只会日语和只会英语的人中各选一人,有2×
6=12种选法.
故共有2+6+12=20种选法.
20
13.用n种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图甲、乙),要求在①,②,③,④四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色.
(1)若n=6,为甲着色时共有多少种不同方法?
(2)若为乙着色时共有120种不同方法,求n.
完成着色这件事,共分四个步骤,可依次考虑为①,②,③,④着色时各自的方法数,再由分步乘法计数原理确定总的着色方法数.
(1)为①着色有6种方法,为②着色有5种方法,为③着色有4种方法,为④着色也有4种方法.所以共有着色方法6×
4=480种.
(2)与
(1)的区别在于与④相邻的区域由两块变成了三块,同理,不同的着色方法数是n(n-1)(n-2)(n-3).由n(n-1)(n-2)(n-3)=120,
所以(n2-3n)(n2-3n+2)-120=0.
即(n2-3n)2+2(n2-3n)-12×
10=0.
所以n2-3n-10=0.所以n=5.
14.(选做题)把1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的五位数,并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列.
(1)43251是这个数列的第几项?
(2)这个数列的第96项是多少?
(3)求这个数列的各项和.
将由1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的五位数按万位数字分类,共五类,每类组成的数字数为:
1=24个.
(1)万位数字为4,且比43251小的数的个数有:
1+3×
1+2+1=15个,
所以43251是这个数列的第3×
24+15+1=88项.
(2)因为96=4×
24,
所以这个数列的第96项是45321.
(3)因为五位数可写为:
a×
104+b×
103+c×
102+d×
10+e,
所以这个数列的各项和为:
(5+4+3+2+1)×
(10000+1000+100+10+1)×
24=3999960.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 学年 高中数学 计数 原理 11 基本 新人 选修 23
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)