高等数学第三章微分中值定理与导数的应用题库附带答案.docx
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高等数学第三章微分中值定理与导数的应用题库附带答案
第三章微分中值定理与导数的应用
一、选择题
1、()
2、()
3、()
4、在区间[-1,1]上满足罗尔定理条件的函数是()
(A)(B)(C)(D)
5、设f(x)和g(x)都在x=a处取得极大值,F(x)=f(x)g(x),则F(x)在x=a处()
(A)必取得极大值(B)必取得极小值(C)不取极值(D)不能确定是否取得极值
6、()
(A)[-1,1](B)[0,1](C)[-2,2](D)
7、的凹区间是()
(A)(B)(C)(D)
8、函数在处连续,若为的极值点,则必有().
(A)(B)(C)或不存在(D)不存在
9、当a=()时,()
(A)1(B)2(C)(D)0
10、()
11、()
二、填空题
1、.
2、.
3、_____________________.
4、函数f(x)=x在[0,3]上满足罗尔定理的条件,由罗尔定理确定的罗尔中值点=.
5、设曲线y=a以点(1,3)为拐点,则数组(a,b)=.
6、函数在区间[2,0]上的最大值为,最小值为.
7、函数在[]上的罗尔中值点=.
8、在区间[1,3]的拉格朗日中值点ξ=_______________.
9、.
10、。
11、y=x+,-5的最小值为.
12、 的单调减区间是.
13、在且仅在区间______________上单调増.
14、函数f(x)=x+2cosx在区间[0,]上的最大值为.
15、函数y=的单调减少区间是.
16、已知点(1,3)是曲线的拐点,则a=,b=.
17、 .
三、计算题
1、。
2、求极限.
3、求函数y=2的单调区间、凹凸区间、拐点.
4、设常数,试判别函数在内零点的个数.
5、求函数的单调区间和极值.。
6..
7..
8.求曲线的单调区间和凹凸区间..
9.求曲线的单调区间和凹凸区间.
10.求函数图形的凹凸区间及拐点.
11、.
12、求函数的单调区间、极值、凹凸区间和拐点.
13、.
14、
15、讨论函数的单调性和凹凸性.
16、求曲线的凹凸区间和拐点.
17.求函数在区间上的最大值与最小值.
18.求函数在区间[-2,0]上的最大值和最小值.
19.试确定常数a、b、c的值,使曲线在x=2处取到极值,且与直线
相切于点(1,0).
四.综合题(第1-2题每题6分,第3题8分,总计20分)
1.证明:
当x时,.
2、.
3、证明:
.
4、设在[0,1]上可导,f(x)=(x-1),求证:
存在x(0,1),使.
5、试用拉格朗日中值定理证明:
当时,.
6、证明:
当时,.
7、.
8、证明:
当x>0时,有1+.
9、证明当.
10、证明:
若,则.
11、
12、证明:
多项式在[0,1]内不可能有两个零点.
13、证明当.
14、
答案:
一、选择
1、A2、D3、A4、D5、D6、B7、A8、C9、B10、A11、A
二、填空
1、
2、
3、
4、2
5、
6、2,1
7、
8、
9、
10、
11、
12、
13、-14
14、
15、
16、
17、
三、计算题
1、解:
令可得驻点:
……2分
列表可得
函数的单调递增区间为,单调递减区间为……5分
极大值为极小值……7分
2、解:
原式=……6分
3、解:
令可得驻点:
……2分
列表可得
函数的单调递增区间为,单调递减区间为……4分
又令得.……5分
所以凸区间为,凹区间为.拐点为.……7分
4、解:
……1分
当时,,所以在上单调增加;……2分
又,充分接近于0时,,……3分
故在内有且仅有一个零点.……4分
同理,在内也有且仅有一个零点.……6分
5、解:
解可得驻点:
……2分
列表可得
函数的单调递增区间为,单调递减区间为……5分
极大值为极小值……7分
6、解:
原式=……2分
=……4分
=……6分
7、解:
当单调增加时,函数单调减少,
所以函数也是单调减少。
……2分
在区间函数是单调的减函数。
所以当时,函数取得最大值;……4分
所以当时,函数取得最小值。
……6分
8、解:
令,于是。
当时,,函数单调增加;
当时,,函数单调减少。
……2分
所以函数的单调增区间为:
;
函数的单调减区间为:
。
……4分
而令,于是。
……5分
函数的凸区间为:
;函数的凹区间为:
。
……6分
9、解:
因为
,
所以令得到。
……2分
函数的单调增区间为:
;
函数的单调减区间为:
。
……4分
又由于
,
于是函数的凸区间为:
函数的凹区间为:
。
……6分
10、解:
因为:
,……2分
令,得到:
。
所以函数的单调增区间为:
,
函数的单调减区间为:
。
……4分
函数的凸区间为:
,
函数的凹区间为:
。
函数的拐点为:
。
……6分
11、解:
……3分
令得从而得曲线的可能为
,又二阶导数在该两点左右异号。
所以为曲线的
拐点……6分
12、解:
令
令……3分
列表如下
x
x=1
(1,2)
x=2
(2,3)
x=3
+
0
-
-
-
0
+
-
-
-
0
+
+
+
y=f(x)
单调增,凹
极大值
f
(1)=0
单调减,凹
拐点
(2,-2)
单调减,凸
极小值
f(3)=-4
单调增,凸
……7分
13、解:
令……3分
比较函数在端点和驻点处的函数值,得为
……6分
14、解:
令,得,…….3分
列表如下
x
-1
(-1,0)
0
(0,1)
1
-
-
-
0
+
+
+
-
0
+
+
+
0
-
单调递减
凹区间
拐点
单调递减
凸区间
极小值点
单调递增
凸区间
拐点
单调递增
凹区间
……7分
15、解:
x
(0,e)
+
0
-
-
-
-
-
-
0
+
单调递增,凹函数
极大值
单调递减,凹函数
拐点
单调递减,凸函数
…….6分
16、解:
,拐点为……4分
凹区间为凸区间为(-1,1)……6分
17、解:
由于……2分
所以,函数在[-1,3]上的驻点为。
……3分
当x=0时,y=2,x=2时,y=-14……5分
而x=-1时,y=-2,x=3时,y=11……7分
所以函数的最大值为11,最小值为-14……8分
18、解:
由于……2分
所以,函数在[-2,0]上的驻点为。
……3分
当x=-1时,y=3,而x=--2时,y=--1,x=0时,y=1……5分
所以函数的最大值为3,最小值为-1……6分
19、解:
根据已知条件得……4分
解上面方程组得……7分
四、综合题
(1)证:
令,
显然在区间上连续的,可导的。
并且……2分
由于
,
对于任意的,。
所以函数在区间上单调增函数。
……4分
于是对于任意的,有
,
即为:
……6分
(2)证:
令
所以
(3)证:
令……4分
所以f(x)恒为常数,
又,从而……6分
(4)证:
因为在[0,1]上可导,所以f(x)=(x-1)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导。
……4分
根据拉格朗日中值定理,至少存在一点x(0,1),使……8分
(5)证:
设,则……1分
对用拉格朗日中值定理得,其中……4分
而,所以……6分
(6)证:
令……1分
则。
……3分
因为当时,,……4分
所以在上是严格单调连续递增函数,并且,……5分
故当时,,即。
……6分
(7)证:
令……1分
对利用柯西中值定理存在
使得……3分
即……4分
又由于,,所以……6分
(8)证:
令
……2分
故时,即……5分
从而……6分
(9)证:
令
因为……4分
故时,,即……6分
(10)证:
令
……2分
则在的范围中是可导的,且。
,
对于任意的,有。
所以函数在的范围中是单调上升的。
……4分
于是,对于任意的,有
,
即:
。
……6分
(11)证:
令
显然函数在区间上连续并且可导。
……2分
且有:
。
而且对于任意的,……4分
所以对于任意的,
,
于是原不等式成立。
……6分
(12)证:
假设函数在区间上至少存
在两个不同的零点。
……2分
函数在区间上连续,可导。
于是有
。
……4分
根据罗尔中值定理,则存在一点,
使得
,
显然这是不可能的。
所以假设不成立。
……6分
(13)证:
令……4分
所以当x>1时,f(x)>f
(1)=0,即有……6分
(14)证:
令……3分
所以,即…….6分
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