初三中考数学复习提纲知识点Word文件下载.docx
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<0且Δ≥0a、c同号,a、b同号且Δ≥0.
6.求根法因式分解二次三项式公式:
注意:
当Δ<0时,二次三项式在实数范围内不能分解.
ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)或ax2+bx+c=
.
7.求一元二次方程的公式:
x2-(x1+x2)x+x1x2=0.注意:
所求出方程的系数应化为整数.
8.平均增长率问题--------应用题的类型题之一(设增长率为x):
(1)第一年为a,第二年为a(1+x),第三年为a(1+x)2.
(2)常利用以下相等关系列方程:
第三年=第三年或第一年+第二年+第三年=总和.
9.分式方程的解法:
10.二元二次方程组的解法:
※11.几个常见转化:
;
解三角形
1.三角函数的定义:
在RtΔABC中,如∠C=90°
,那么
sinA=
cosA=
tanA=
cotA=
2.余角三角函数关系------“正余互化公式”如∠A+∠B=90°
那么:
sinA=cosB;
cosA=sinB;
tanA=cotB;
cotA=tanB.
3.同角三角函数关系:
sin2A+cos2A=1;
tanA·
cotA=1.※tanA=
※cotA=
4.函数的增减性:
在锐角的条件下,正弦,正切函数随角的增大,函数值增大;
余弦,余切函数随角的增大,函数值反而减小.
5.特殊角的三角函数值:
如图:
这是两个特殊的直角三角形,通过设k,它可以推出特殊角的直角三角函数
值,要熟练记忆它们.
∠A
0°
30°
45°
60°
90°
sinA
0
1
cosA
tanA
1
不存在
cotA
※6.函数值的取值范围:
在0°
90°
时.
正弦函数值范围:
01;
余弦函数值范围:
10;
正切函数值范围:
0无穷大;
余切函数值范围:
无穷大0.
7.解直角三角形:
对于直角三角形中的五个元素,可以“知二可求三”,但“知二”中至少应该有一个是边.
※8.关于直角三角形的两个公式:
Rt△ABC中:
若∠C=90°
9.坡度:
i=1:
m=h/l=tanα;
坡角:
α.
10.方位角:
11.仰角与俯角:
12.解斜三角形:
已知“SAS”“SSS”“ASA”“AAS”条件的任意三角形都可以经过“斜化直”求出其余的边和角.
※13.解符合“SSA”条件的三角形:
若三角形存在且符合“SSA”条件,则可分三种情况:
(1)∠A≥90°
,图形唯一可解;
(2)∠A<90°
,∠A的对边大于或等于它的已知邻边,图形唯一可解;
(3)∠A<90°
,∠A的对边小于它的已知邻边,图形分两类可解.
14.解三角形的基本思路:
(1)“斜化直,一般化特殊”-------加辅助线的依据;
(2)合理设“辅助元k”,并利用k进一步转化是分析三角形问题的常用方法-------转化思想;
(3)三角函数的定义,几何定理,公式,相似形等都存在着大量的相等关系,利用其列方程(或方程组)是解决数学问题的常用方法---------方程思想.
函数及其图象
一函数基本概念
1.函数定义:
设在某个变化过程中,有两个变量x,、y,如对x的每一个值,y都有唯一的值与它对应,那么就说y是x的函数,x是自变量.
※2.相同函数三个条件:
(1)自变量范围相同;
(2)函数值范围相同;
(3)相同的自变量值所对应的函数值也相同.
※3.函数的确定:
对于y=kx2(k≠0),如x是自变量,这个函数是二次函数;
如x2是自变量,这个函数是一次函数中的正比例函数.
4.平面直角坐标系:
(1)平面上点的坐标是一对有序实数,表示为:
M(x,y),x叫横坐标,y叫纵坐标;
(2)一点,两轴,(四半轴),四象限,象限中点的坐标符号规律如右图:
(3)x轴上的点纵坐标为0,y轴上的点横坐标为0;
即“x轴上的点纵为0,y轴上的点横为0”;
反之也
成立;
(4)象限角平分线上点M(x,y)的坐标特征:
x=y<
M在一三象限角平分线上;
x=-y<
M在二四象限角平分线上.
(5)对称两点M(x1,y1),N(x2,y2)的坐标特征:
关于y轴对称的两点<
横相反,纵相同;
关于x轴对称的两点<
纵相反,横相同;
关于原点对称的两点<
横、纵都相反.
5.坐标系中常用的距离几个公式-------“点求距”
(1)如图,轴上两点M、N之间的距离:
MN=|x1-x2|=x大-x小,PQ=|y1-y2|=y大-y小.
(2)如图,象限上的点M(x,y):
到y轴距离:
dy=|x|;
到x轴距离:
dx=|y|;
(3)如图,轴上的点M(0,y)、N(x,0)到原点的距离:
MO=|y|;
NO=|x|.
※(4)如图,平面上任意两点M(x2,y2)、N(x2,y2)之间的距离:
※6.几个直线方程:
y轴<
直线x=0;
x轴<
直线y=0;
与y轴平行,距离为∣a∣的直线<
直线x=a;
与x轴平行,距离为∣b∣的直线<
直线y=b.
7.函数的图象:
(1)把自变量x的一个值作为点的横坐标,把与它对应的函数值y作为点的纵坐标,组成一对有序实数对,在平面坐标系中找出点的位置,这样取得的所有的点组成的图形叫函数的图象;
(2)图象上的点都适合函数解析式,适合函数解析式的点都在函数图象上;
由此可得“图象上的点就能代入”-------重要代入!
(3)坐标平面上,横轴叫自变量轴,纵轴叫函数轴;
利用已知的图象,可由自变量值查出函数值,也可由函数值查出自变量值;
可由自变量取值范围查出对应函数值取值范围,也可由函数值取值范围查出对应自变量取值范围;
(4)函数的图象由左至右如果是上坡,那么y随x增大而增大(叫递增函数);
函数的图象由左至右如果是下坡,那么y随x增大而减小(叫递减函数).
8.自变量取值范围与函数取值范围:
一次函数
1.一次函数的一般形式:
y=kx+b.(k≠0)
2.关于一次函数的几个概念:
y=kx+b(k≠0)的图象是
一条直线,所以也叫直线y=kx+b,图象必过y轴上的点(0,b)和x轴上的点(-b/k,0);
如图,这两个点也是画直线图象时应取的两个点.b叫直线y=kx+b(k≠0)在y轴上的截距,b的本质是直线与y轴交点的纵坐标,知道截距即知道解析式中b的值.
=kx+b(k≠0)中,k,b符号与图象位置的关系:
4.两直线平行:
两直线平行<
k1=k2※两直线垂直<
k1k2=-1.
5.直线的平移:
若m>0,n>0,那么一次函数y=kx+b图象向上平移m个单位长度得y=kx+b+m;
向下平移n个单位长度得y=kx+b-n(直线平移时,k值不变).
6.函数习题的四个基本功:
(1)式求点:
已知某直线的具体解析式,设y=0,可求出直线与x轴的交点坐标(x0,0);
设x=0,可求出直线与y轴的交点坐标(0,y0);
已知两条直线的具体解析式,可通过列二元一次方程组求出两直线的交点坐标(x0,y0);
交点坐标的本质是一个方程组的公共解;
(2)点求式:
已知一次函数图象上的两个点,可设这个函数为y=kx+b,然后代入这两个点的坐标,得到关于k、b的两个方程,通过解方程组求出k、b,从而求出解析式------待定系数法;
(3)距求点:
已知点M(x0,y0)到x轴,y轴的距离和所在象限,可求出点M的坐标;
已知坐标轴上的点P到原点的距离和所在半轴,可求出点P的坐标;
(4)点求距:
函数题经常和几何相结合,利用点的坐标与它所在的象限或半轴特征可求有关线段的长,从而使得函数问题几何化.
正比例函数
1.正比例函数的一般形式:
y=kx(k≠0);
属于一次函数的特殊情况;
(即b=0的一次函数)它的图象是一条过原点的直线;
也叫直线y=kx.
2.画正比例函数的图象:
正比例函数y=kx(k≠0)的图象必过
(0,0)点和(1,k)点,注意:
如图,这两个点也是画正比例
函数图象时应取的两个点,即列表如右:
=kx(k≠0)中,k的符号与图象位置的关系:
4.求正比例函数解析式:
已知正比例函数图象上的一点,可设这个正比例函数为y=kx,把已知点的坐标代入后,可求k,从而求出具体的函数解析式------待定系数法.
二次函数
1.二次函数的一般形式:
y=ax2+bx+c.(a≠0)
2.关于二次函数的几个概念:
二次函数的图象是抛物线,所以也叫抛物线y=ax2+bx+c;
抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界,一半图象上坡,另一半图象下坡;
其中c叫二次函数在y轴上的截距,即二次函数图象必过(0,c)点.
3.y=ax2(a≠0)的特性:
当y=ax2+bx+c(a≠0)中的b=0且c=0时二次函数为y=ax2(a≠0);
这个二次函数是一个特殊的二次函数,有下列特性:
(1)图象关于y轴对称;
(2)顶点(0,0);
(3)y=ax2(a≠0)可以经过补0看做二次函数的一般式,顶点式和双根式,即:
y=ax2+0x+0,y=a(x-0)2+0,y=a(x-0)(x-0).
4.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象及几个重要点的公式:
5.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,a、b、c与Δ的符号与图象的关系:
(1)a>0<
抛物线开口向上;
a<0<
抛物线开口向下;
(2)c>0<
抛物线从原点上方通过;
c=0<
抛物线从原点通过;
c<0<
抛物线从原点下方通过;
(3)a,b异号<
对称轴在y轴的右侧;
a,b同号<
对称轴在y轴的左侧;
b=0<
对称轴是y轴;
(4)Δ>0<
抛物线与x轴有两个交点;
Δ=0<
抛物线与x轴有一个交点(即相切);
Δ<0<
抛物线与x轴无交点.
6.求二次函数的解析式:
已知二次函数图象上三点的坐标,可设解析式y=ax2+bx+c,并把这三点的坐标代入,解关于a、b、c的三元一次方程组,求出a、b、c的值,从而求出解析式-------待定系数法.
8.二次函数的顶点式:
y=a(x-h)2+k(a≠0);
由顶点式可直接得出二次函数的顶点坐标(h,k),对称轴方程x=h和函数的最值y最值=k.
9.求二次函数的解析式:
已知二次函数的顶点坐标(x0,y0)和图象上的另一点的坐标,可设解析式为y=a(x-x0)2+y0,再代入另一点的坐标求a,从而求出解析式.(注意:
习题无特殊说明,最后结果要求化为一般式)
10.二次函数图象的平行移动:
二次函数一般应先化为顶点式,然后才好判断图象的平行移动;
y=a(x-h)2+k的图象平行移动时,改变的是h,k的值,a值不变,具体规律如下:
k值增大<
图象向上平移;
k值减小<
图象向下平移;
(x-h)值增大<
图象向左平移;
(x-h)值减小<
图象向右平移.
11.二次函数的双根式:
(即交点式)y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0);
由双根式直接可得二次函数图象与x轴的交点(x1,0),(x2,0).
12.求二次函数的解析式:
已知二次函数图象与x轴的交点坐标(x1,0),(x2,0)和图象上的另一点的坐标,可设解析式为y=a(x-x1)(x-x2),再代入另一点的坐标求a,从而求出解析式.(注意:
习题最后结果要求化为一般式)
13.二次函数图象的对称性:
已知二次函数图象上的点与对称轴,可利用图象的对称性求出已知点的对称点,这个对称点也一定在图象上.
反比例函数
1.反比例函数的一般形式:
图象叫双曲线.
※2.关于反比例函数图象的性质:
反比例函数y=kx-1中自变量x不能取0,故函数图象与y轴无交点;
函数值y也不会是0,故图象与x轴也不相交.
3.反比例函数中K的符号与图象所在象限的关系:
4.求反比例函数的解析式:
已知反比例函数图象上的一点,即可设解析式y=kx-1,代入这一点可求k值,从而求出解析式.
函数综合题
1.数学思想在函数问题中的应用:
数学思想经常在函数问题中得到体现,例如:
分析函数习题常常需要先估画符合题意的图象,利用数形结合降低难度;
而点求式、式求点、点求距、距求点等基本操作则是转化思想在函数中应用;
当函数问题与几何问题相结合时,方程思想则成为解决问题的基本思路;
函数习题中,当图象与图形不唯一、点位置不唯一、可知条件不唯一时,往往造成函数问题的分类.
2.数学方法在函数问题中的应用:
建立坐标系、建立新函数、函数问题几何化、挖掘隐含条件、分类讨论、相等关系找方程、不等关系找不等式、等量代换、配方、换元、待定系数法、等各种数学方法在函数中经常得到应用,了解这些数学方法是十分必要的.
3.函数与方程的关系:
正比例函数y=kx(k≠0)、一次函数y=kx+b(k≠0)都可以看作二元一次方程,而二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)可以看作二元二次方程,反比例函数
可以看作分式方程,这些函数图象之间的交点,就是把它们联立为方程组时的公共解.
4.二次函数与一元二次方程的关系:
(1)如二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中的Δ>0时,图象与x轴相交,函数值y=0,此时,二次函数转化为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),这个方程的两个根x1、x2是二次函数y=ax2+bx+c与x轴相交两点的横坐标,交点坐标为(x1,0)(x2,0);
(2)当研究二次函数的图象与x轴相交时的有关问题时,应立即把函数转化为它所对应的一元二次方程,此时,一元二次方程的求根公式,Δ值,根系关系等都可用于这个二次函数.
(3)如二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中的Δ>0时,图象与x轴相交于两点A(x1,0),B(x2,0)有重要关系式:
OA=|x1|,OB=|x2|,若需要去掉绝对值符号,则必须据题意做进一步判断;
同样,图象与y轴交点C(0,c),也有关系式:
OC=|c|.
5.二元二次方程组解的判断:
一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组,若消去一个未知数,则转化为一元二次方程,此时的Δ值将决定原方程组解的情况,即:
方程组有两个解;
Δ=0<
方程组有一个解;
方程组无实解.
初三数学应知应会的知识点(圆)
几何A级概念:
(要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明)
1.垂径定理及推论:
如图:
有五个元素,“知二可推三”;
需记忆其中四个定理,
即“垂径定理”“中径定理”“弧径定理”“中垂定理”.
几何表达式举例:
∵CD过圆心
∵CD⊥AB
2.平行线夹弧定理:
圆的两条平行弦所夹的弧相等.
3.“角、弦、弧、距”定理:
(同圆或等圆中)
“等角对等弦”;
“等弦对等角”;
“等角对等弧”;
“等弧对等角”;
“等弧对等弦”;
“等弦对等(优,劣)弧”;
“等弦对等弦心距”;
“等弦心距对等弦”.
(1)∵∠AOB=∠COD
∴AB=CD
(2)∵AB=CD
∴∠AOB=∠COD
4.圆周角定理及推论:
(1)圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半;
(2)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;
(如图)
(3)“等弧对等角”“等角对等弧”;
(4)“直径对直角”“直角对直径”;
(5)如三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.(如图)
(1)
(2)(3)(4)
(1)∵∠ACB=
∠AOB
∴……………
(2)∵AB是直径
∴∠ACB=90°
(3)∵∠ACB=90°
∴AB是直径
(4)∵CD=AD=BD
∴ΔABC是RtΔ
5.圆内接四边形性质定理:
圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外
角都等于它的内对角.
∵ABCD是圆内接四边形
∴∠CDE=∠ABC
∠C+∠A=180°
6.切线的判定与性质定理:
有三个元素,“知二可推一”;
需记忆其中四个定理.
(1)经过半径的外端并且垂直于这条
半径的直线是圆的切线;
(2)圆的切线垂直于经过切点的半径;
※(3)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;
※(4)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
(1)∵OC是半径
∵OC⊥AB
∴AB是切线
(2)∵OC是半径
∵AB是切线
∴OC⊥AB
(3)……………
7.切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线,
它们的切线长相等;
圆心和这一
点的连线平分两条切线的夹角.
∵PA、PB是切线
∴PA=PB
∵PO过圆心
∴∠APO=∠BPO
8.弦切角定理及其推论:
(1)弦切角等于它所夹的弧对的圆周角;
(2)如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等;
(3)弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.(如图)
(1)
(2)
(1)∵BD是切线,BC是弦
∴∠CBD=∠CAB
(2)
∵ED,BC是切线
∴∠CBA=∠DEF
9.相交弦定理及其推论:
(1)圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的乘积相等;
(2)如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项.
(1)∵PA·
PB=PC·
PD
∴………
(2)∵AB是直径
∵PC⊥AB
∴PC2=PA·
PB
10.切割线定理及其推论:
(1)从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项;
(2)从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.
(1)∵PC是切线,
PB是割线
(2)∵PB、PD是割线
∴PA·
11.关于两圆的性质定理:
(1)相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦;
(2)如果两圆相切,那么切点一定在连心线上.
(1)∵O1,O2是圆心
∴O1O2垂直平分AB
(2)∵⊙1、⊙2相切
∴O1、A、O2三点一线
12.正多边形的有关计算:
(1)中心角n,半径RN,边心距rn,
边长an,内角n,边数n;
(2)有关计算在RtΔAOC中进行.
公式举例:
(1)n=
(2)
几何B级概念:
(要求理解、会讲、会用,主要用于填空和选择题)
一基本概念:
圆的几何定义和集合定义、弦、弦心距、弧、等弧、弓形、弓形高
三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、三角形的内心、圆心角、圆周角、弦
切角、圆的切线、圆的割线、两圆的内公切线、两圆的外公切线、两圆的内(外)
公切线长、正多边形、正多边形的中心、正多边形的半径、正多边形的边心距、正
多边形的中心角.
二定理:
1.不在一直线上的三个点确定一个圆.
2.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆.
3.正n边形的半径和边心距把正n边形分为2n个全等的直角三角形.
三公式:
1.有关的计算:
(1)圆的周长C=2πR;
(2)弧长L=
(3)圆的面积S=πR2.
(4)扇形面积S扇形=
(5)弓形面积S弓形=扇形面积SAOB±
ΔAOB的面积.(如图)
2.圆柱与圆锥的侧面展开图:
(1)圆柱的侧面积:
S圆柱侧=2πrh;
(r:
底面半径;
h:
圆柱高)
(2)圆锥的侧面积:
S圆锥侧=
.(L=2πr,R是圆锥母线长;
r是底面半径)
四常识:
1.圆是轴对称和中心对称图形.
2.圆心角的度数等于它所对弧的度数.
3.三角形的外心两边中垂线的交点三角形的外接圆的圆心;
三角形的内心两内角平分线的交点三角形的内切圆的圆心.
4.直线与圆的位置关系:
(其中d表示圆心到直线的距离;
其中r表示圆的半径)
直线与圆相交d<r;
直线与圆相切d=r;
直线与圆相离d>r.
5.圆与圆的位置关系:
(其中d表示圆心到圆心的距离,其中R、r表示两个圆的半径且R≥r)
两圆外离d>R+r;
两圆外切d=R+r;
两圆相交R-r<d<R+r;
两圆内切d=R-r;
两圆内含d<R-r.
6.证直线与圆相切,常利用:
“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径”的方法加辅助线.
7.关于圆
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